12. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC = 13$,$BC = 10$,$EF垂直平分AC$,分别交$AC$,$AB于点E$,$F$. 若$D为BC$上一动点,$M为EF$上一动点,连接$CM$,$DM$,则$CM + DM$的最小值为( )


A.8
B.10
C.12
D.13

C [解析]如图，连接$AM$。

∵$EF$垂直平分$AC$，分别交$AC$，$AB$于点$E$，$F$，
$\therefore AM = CM$，
$\therefore CM + DM = AM + MD$，
∴当$A$，$M$，$D$三点共线，且$AD\perp BC$时，$CM + DM$取最小值。
∵$AB = AC = 13$，$BC = 10$，
∴当$AD\perp BC$时，$BD = \frac{1}{2}BC = 5$，则$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$，
即$CM + DM$的最小值为$12$。

13. 25的算术平方根是.

5 [解析]∵$5^{2} = 25$，
∴$25$的算术平方根是$5$。

14. 比较大小：$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$\frac{1}{2}$(填“＞”“＜”或“=”).

＞ [解析]∵$4 ＜ 5 ＜ 9$，
$\therefore \sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
$\therefore 1 ＜ \sqrt{5} - 1 ＜ 2$，
$\therefore \frac{\sqrt{5} - 1}{2} ＞ \frac{1}{2}$。

15. 在平面直角坐标系中,若点$P的坐标为(1,-2)$,则点$P$到原点的距离为______.

$\sqrt{5}$ [解析]若点$P$的坐标为$(1,-2)$，则点$P$到原点$(0,0)$的距离$OP = \sqrt{(0 - 1)^{2} + (0 + 2)^{2}} = \sqrt{5}$。

16. 已知二元一次方程组$\begin{cases}x - y = -4,\\x + 2y = 2\end{cases} $的解为unitable1 则在同一平面直角坐标系中,函数y = x + 4与$y = -\frac{1}{2}x + 1$的图象的交点坐标为______.

$(-2,2)$

17. 如图,已知$B中的实数与A$中的实数之间的对应关系是某个正比例函数,则图中$a$的值为.

$-\frac{2}{3}$ [解析]设该正比例函数的表达式为$y = kx$。
把$(1,-3)$代入，得$k = - 3$，
∴该正比例函数的表达式为$y = - 3x$。
把$y = 2$代入，得$2 = - 3x$，
解得$x = -\frac{2}{3}$，
即$a$的值为$-\frac{2}{3}$。

18. 如图,直线$y = \frac{4}{3}x + 8与x$轴、$y轴分别交于点A$,$B$,$P是OB$上的一点,若将$\triangle PAB沿AP$折叠,使点$B恰好落在x轴上的点B'$处,则直线$AP$的函数表达式为______.

$y = \frac{1}{2}x + 3$ [解析]令$x = 0$，则$y = 8$；令$y = 0$，
则$x = - 6$，
$\therefore A(-6,0)$，$B(0,8)$，
$\therefore AO = 6$，$BO = 8$，
$\therefore AB = \sqrt{AO^{2} + BO^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$。
由折叠的性质可得，$AB' = AB = 10$，$B'P = BP$，
$\therefore OB' = AB' - AO = 10 - 6 = 4$。
设$P(0,y)$，则$OP = y$，$B'P = BP = 8 - y$。
在$Rt\triangle POB'$中，由勾股定理，
得$y^{2} + 4^{2} = (8 - y)^{2}$，
解得$y = 3$，
$\therefore P(0,3)$。
设直线$AP$的函数表达式为$y = kx + b$。将$A(-6,0)$，$P(0,3)$分别代入，得
$\left\{\begin{array}{l}-6k + b = 0,\\ b = 3,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k = \frac{1}{2},\\ b = 3,\end{array}\right.$
∴直线$AP$的函数表达式为$y = \frac{1}{2}x + 3$。

19. (6分)计算：(1)$\sqrt{64} + \sqrt[3]{-27} + (3 - \pi)^0$；
(2)$\sqrt{(-6)^2} + |1 - \sqrt{2}| + \sqrt[3]{-8}$.

解：(1)原式$= 8 - 3 + 1 = 6$。
(2)原式$= 6 + \sqrt{2} - 1 + (-2) = 3 + \sqrt{2}$。

20. (6分)已知实数$a + 5$的算术平方根是2,$a + 3b$的立方根是2. 求：
(1)$a$,$b$的值；
(2)$a + b$的平方根.

解：(1)∵$a + 5$的算术平方根是$2$，
$\therefore a + 5 = 2^{2} = 4$，
$\therefore a = - 1$。
∵$a + 3b$的立方根是$2$，
$\therefore a + 3b = 2^{3} = 8$，
$\therefore b = 3$。
(2)由(1)，知$a = - 1$，$b = 3$，
$\therefore a + b = - 1 + 3 = 2$，
$\therefore a + b$的平方根是$\pm\sqrt{2}$。

21. (8分)如图,$∠A = ∠B$,$∠1 = ∠2$,$AE = BE$,点$D在边AC$上.
(1)求证：$\triangle AEC≌\triangle BED$；
(2)若$∠BDE = 68^{\circ}$,求$∠1$的度数.

(1)证明：∵$\angle 1 = \angle 2$，
$\therefore \angle 1 + \angle AED = \angle 2 + \angle AED$，
$\therefore \angle AEC = \angle BED$。
在$\triangle AEC$和$\triangle BED$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle A = \angle B,\\ AE = BE,\\ \angle AEC = \angle BED,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AEC\cong\triangle BED$()。
(2)由(1)，知$\triangle AEC\cong\triangle BED$，
$\therefore ED = EC$，$\angle ACE = \angle BDE = 68^{\circ}$，
$\therefore \angle EDC = \angle ACE = 68^{\circ}$，
$\therefore \angle 2 = 180^{\circ} - 68^{\circ} - 68^{\circ} = 44^{\circ}$，
$\therefore \angle 1 = \angle 2 = $。

解：(1)证明：∵$\angle 1 = \angle 2$，
$\therefore \angle 1 + \angle AED = \angle 2 + \angle AED$，
$\therefore \angle AEC = \angle BED$。
在$\triangle AEC$和$\triangle BED$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle A = \angle B,\\ AE = BE,\\ \angle AEC = \angle BED,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AEC\cong\triangle BED(ASA)$。
(2)由(1)，知$\triangle AEC\cong\triangle BED$，
$\therefore ED = EC$，$\angle ACE = \angle BDE = 68^{\circ}$，
$\therefore \angle EDC = \angle ACE = 68^{\circ}$，
$\therefore \angle 2 = 180^{\circ} - 68^{\circ} - 68^{\circ} = 44^{\circ}$，
$\therefore \angle 1 = \angle 2 = 44^{\circ}$。