11. 如图，已知∠1=120°，则∠3−∠2=.

11.60°

12. 将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数是.

12.75°

13. 如图，已知∠MON=80°，OE平分∠MON，A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点(点A，B，C都不与点O重合)，连接AB，AC，AC交线段OB于点D.当AB⊥OM，且△ABD有两个相等的角时，∠OAC的度数为.

13.40°或10°或25° 解析:如图,因为∠MON=80°,OE平分∠MON,所以∠MOE=$\frac{1}{2}$∠MON=40°.因为AB⊥OM,所以∠OAB=90°,所以∠1=180° - ∠OAB - ∠MOE=50°.当△ABD有两个相等的角时,分类讨论如下:① 若∠2=∠1=50°,则∠OAC=∠OAB - ∠2=40°;② 若∠3=∠1=50°,则∠2=180° - ∠1 - ∠3=80°,所以∠OAC=∠OAB - ∠2=10°;③ 若∠2=∠3,则∠2=∠3=$\frac{1}{2}$(180° - ∠1)=65°,所以∠OAC=∠OAB - ∠2=25°.综上所述,∠OAC的度数为40°或10°或25°.

易错警示
注意分类讨论,避免漏解.

14. 在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
（1）如图①，猜想∠AOC与∠ODC之间的数量关系，并证明；
（2）如图②，作△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
① 求证：BF//OD；
② 若∠F=35°，求∠BAC的度数.

14.(1)∠AOC=∠ODC.证明如下:因为△ABC三个内角的平分线交于点O,所以∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA)=$\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC),所以∠AOC=180° - (∠OAC+∠OCA)=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=90°+∠OBD.因为OD⊥OB,所以∠BOD=90°,所以∠ODC=∠BOD+∠OBD=90°+∠OBD,所以∠AOC=∠ODC.
(2)① 因为BF平分∠ABE,∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC,所以∠FBE=$\frac{1}{2}$∠ABE=$\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC)=90° - ∠OBD.因为∠BOD=90°,所以∠ODB=180° - ∠BOD - ∠OBD=90° - ∠OBD,所以∠FBE=∠ODB,所以BF//OD.
② 因为∠FBE=∠F+∠BCF,∠ABE=∠BAC+∠ACB,所以∠F=∠FBE - ∠BCF,∠BAC=∠ABE - ∠ACB.因为∠ABE=2∠FBE,∠ACB=2∠BCF,∠F=35°,所以∠BAC=2(∠FBE - ∠BCF)=2∠F=70°.

15. 新素养 推理能力 如图，已知∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC和外角∠ACF.给出下列结论：
① AD//BC；② ∠ACB=2∠ADB；③ ∠ADC=90°−∠ABD；④ DB平分∠ADC；⑤ ∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC.其中正确的有()

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

15.B 解析:因为AD平分∠CAE,所以∠CAE=2∠DAE.因为∠CAE=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,所以∠CAE=2∠ABC,所以∠DAE=∠ABC,所以AD//BC,故①正确;因为AD//BC,所以∠ADB=∠CBD.因为BD平分∠ABC,所以∠ABC=2∠CBD,所以∠ABC=2∠ADB.因为∠ABC=∠ACB,所以∠ACB=2∠ADB,故②正确;因为CD平分∠ACF,所以∠ACF=2∠DCF.因为AD//BC,所以∠ADC=∠DCF,所以∠ACF=2∠ADC.因为∠ACB=∠ABC,∠ABC=2∠ABD,所以∠ACB=2∠ABD.因为∠ACB+∠ACF=180°,所以2∠ABD+2∠ADC=180°,所以∠ABD+∠ADC=90°,所以∠ADC=90° - ∠ABD,故③正确;若DB平分∠ADC,则∠ADC=2∠ADB=2∠CBD=2∠ABD.又∠ADC=90° - ∠ABD,所以2∠ABD=90° - ∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠ABC=60°.又∠ABC的度数不确定,故④错误;因为∠ACF=∠BAC+∠ABC,∠DCF=∠BDC+∠CBD,∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF,所以∠BDC+∠CBD=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC).因为∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC,所以∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC,故⑤正确.综上所述,其中正确的结论有4个.

16. (2025·江苏淮安期末)如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=.

16.180° 解析:因为∠ABC=∠1+∠E,∠ACB=∠2+∠F,∠BAC=∠3+∠D,所以∠ABC+∠ACB+∠BAC=∠1+∠E+∠2+∠F+∠3+∠D.因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,所以∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=180°.

17. 新趋势 推导探究 如图，在△ABC中，E是内角∠ABC与∠ACB平分线的交点，F是外角∠MBC与∠NCB平分线的交点，A₁是内角∠ABC与外角∠ACD平分线的交点.
(1)若∠A=70°，则∠A₁EC=，∠BFC=；
(2)猜想∠BEC与∠BFC之间的数量关系，并证明；
(3)若∠A=m°，在前面的情况下，继续作∠A₁BC与∠A₁CD的平分线交于点A₂，∠A₂BC与∠A₂CD的平分线交于点A₃……以此类推，∠A₂₀₂₄BC与∠A₂₀₂₄CD的平分线交于点A₂₀₂₅，试探求∠A₂₀₂₅的度数.(用含m的式子表示)

17.(1)55° 55° 解析:因为∠A=70°,所以∠ABC+∠ACB=180° - ∠A=110°.因为E是∠ABC与∠ACB平分线的交点,所以∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB,所以∠A₁EC=∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=55°.因为F是∠MBC与∠NCB平分线的交点,所以∠FBC=$\frac{1}{2}$∠MBC=$\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC),∠FCB=$\frac{1}{2}$∠NCB=$\frac{1}{2}$(180° - ∠ACB),所以∠BFC=180° - (∠FBC+∠FCB)=180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC+180° - ∠ACB)=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=55°.
(2)∠BEC+∠BFC=180°.证明如下:由(1),得∠A₁EC=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB),∠BFC=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB),所以∠A₁EC=∠BFC.因为∠BEC+∠A₁EC=180°,所以∠BEC+∠BFC=180°.
(3)因为∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD,∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC,所以∠A₁=∠A₁CD - ∠A₁BC=$\frac{1}{2}$(∠ACD - ∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A=$(\frac{m}{2})$°.同理可得∠A₂=∠A₂CD - ∠A₂BC=$\frac{1}{2}$(∠A₁CD - ∠A₁BC)=$\frac{1}{2}$∠A₁=$(\frac{m}{2²})$°……根据此规律可知∠A₂₀₂₅的度数为$(\frac{m}{2²⁰²⁵})$°.