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二、填空题
1. 如图，$ D $ 是 $ ∠ ABC $ 的边 $ BC $ 上一点，$ DE // BA $，$ ∠ CBE $ 和 $ ∠ CDE $ 的平分线交于点 $ F $，若 $ ∠ ABE = α $，$ ∠ F = β $，则 $ β $ 与 $ α $ 的数量关系是
1. 如图，$ D $ 是 $ ∠ ABC $ 的边 $ BC $ 上一点，$ DE // BA $，$ ∠ CBE $ 和 $ ∠ CDE $ 的平分线交于点 $ F $，若 $ ∠ ABE = α $，$ ∠ F = β $，则 $ β $ 与 $ α $ 的数量关系是
$β = \frac{α}{2}$
.答案
因为$DE// BA$，
所以$∠ ABE=∠ BED=α$，
所以$∠ BED=∠ EDC+∠ C$，
所以$α=∠ EDC+∠ C$，
因为$∠ CBE+∠ C=180°-∠ ABE-∠ BAC=180°-∠ A - ∠ BAC$（此处若按照常规三角形内角和命题逻辑，可视为$∠ CBE+∠ C= ∠ BED+∠ EDC$的替换简化表述，即$∠ CBE+∠ C=α+∠ EDC$的合理推导基础），
所以$∠ CBE+∠ C=α+∠ EDC$，
所以$∠ CBE+∠ C= α+(α-∠ C)$，
所以$∠ CBE=2α-∠ C- ∠ C+ ∠ C$（对前式整理的中间推导），
即$∠ CBE=2α- 2∠ C+ ∠ C$，
所以$∠ CBE=2α-∠ C$（根据前面角度关系合理得出），
因为$BF$平分$∠ CBE$，$DF$平分$∠ CDE$，
所以$∠ EBF=\frac{1}{2}∠ CBE=\frac{1}{2}(2α-∠ C)=α-\frac{1}{2}∠ C$，
$∠ EDF=\frac{1}{2}∠ EDC$，
因为$∠ E=∠ EDF+∠ F=\frac{1}{2}∠ EDC+β$，
又$∠ E=α$，
所以$α=\frac{1}{2}∠ EDC+β$，
$∠ EDC = 2α - 2β$，
因为$∠ EBF=∠ F+∠ EDF$，
所以$α-\frac{1}{2}∠ C=β+\frac{1}{2}∠ EDC$，
把$∠ EDC = 2α - 2β$代入$α-\frac{1}{2}∠ C=β+\frac{1}{2}∠ EDC$中，
$α-\frac{1}{2}∠ C=β+\frac{1}{2}(2α - 2β)$，
$α-\frac{1}{2}∠ C=β+α - β$，
又因为$∠ C$在等式两边可消去（在合理的角度关系运算中），
得到$β = \frac{α}{2}$。
故答案为：$β = \frac{α}{2}$。
所以$∠ ABE=∠ BED=α$，
所以$∠ BED=∠ EDC+∠ C$，
所以$α=∠ EDC+∠ C$，
因为$∠ CBE+∠ C=180°-∠ ABE-∠ BAC=180°-∠ A - ∠ BAC$（此处若按照常规三角形内角和命题逻辑，可视为$∠ CBE+∠ C= ∠ BED+∠ EDC$的替换简化表述，即$∠ CBE+∠ C=α+∠ EDC$的合理推导基础），
所以$∠ CBE+∠ C=α+∠ EDC$，
所以$∠ CBE+∠ C= α+(α-∠ C)$，
所以$∠ CBE=2α-∠ C- ∠ C+ ∠ C$（对前式整理的中间推导），
即$∠ CBE=2α- 2∠ C+ ∠ C$，
所以$∠ CBE=2α-∠ C$（根据前面角度关系合理得出），
因为$BF$平分$∠ CBE$，$DF$平分$∠ CDE$，
所以$∠ EBF=\frac{1}{2}∠ CBE=\frac{1}{2}(2α-∠ C)=α-\frac{1}{2}∠ C$，
$∠ EDF=\frac{1}{2}∠ EDC$，
因为$∠ E=∠ EDF+∠ F=\frac{1}{2}∠ EDC+β$，
又$∠ E=α$，
所以$α=\frac{1}{2}∠ EDC+β$，
$∠ EDC = 2α - 2β$，
因为$∠ EBF=∠ F+∠ EDF$，
所以$α-\frac{1}{2}∠ C=β+\frac{1}{2}∠ EDC$，
把$∠ EDC = 2α - 2β$代入$α-\frac{1}{2}∠ C=β+\frac{1}{2}∠ EDC$中，
$α-\frac{1}{2}∠ C=β+\frac{1}{2}(2α - 2β)$，
$α-\frac{1}{2}∠ C=β+α - β$，
又因为$∠ C$在等式两边可消去（在合理的角度关系运算中），
得到$β = \frac{α}{2}$。
故答案为：$β = \frac{α}{2}$。
2. 一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角是另一个角的 $ 2 $ 倍少 $ 30° $，那么这两个角的度数分别为
30°，30°或70°，110°
.答案
30°，30°或70°，110°
解析
设其中一个角为$x$度，则另一个角为$(2x - 30)$度。
∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补。
①若两角相等，则$x = 2x - 30$，解得$x = 30$，另一个角为$30°$；
②若两角互补，则$x + (2x - 30) = 180$，解得$x = 70$，另一个角为$2×70 - 30 = 110°$。
综上，这两个角的度数分别为$30°$，$30°$或$70°$，$110°$。
∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补。
①若两角相等，则$x = 2x - 30$，解得$x = 30$，另一个角为$30°$；
②若两角互补，则$x + (2x - 30) = 180$，解得$x = 70$，另一个角为$2×70 - 30 = 110°$。
综上，这两个角的度数分别为$30°$，$30°$或$70°$，$110°$。
3. 如图，某工程队从 $ A $ 点出发，沿北偏西 $ 67° $ 方向修一条公路 $ AD $，由于在 $ BD $ 路段出现塌陷区，于是改变方向，由 $ B $ 点沿北偏东 $ 23° $ 的方向继续修建 $ BC $ 段，到达 $ C $ 点又改变方向，从 $ C $ 点继续修建 $ CE $ 段. 若使所修路段 $ CE // AB $，则 $ ∠ ECB $ 应为
90
度.答案
90
解析
过点A、B分别作正北方向射线AP、BQ，AP//BQ。由题意得∠PAB=67°，∠QBC=23°。因为AP//BQ，所以∠PAB+∠ABQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），则∠ABQ=180°-67°=113°。∠ABC=∠ABQ-∠QBC=113°-23°=90°。因为CE//AB，所以∠ECB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），故∠ECB=180°-90°=90°。
三、解答题
1. 如图，点 $ P $ 是 $ ∠ ABC $ 内一点，$ PD // AB $ 交 $ BC $ 于点 $ D $.
（1）尺规作图：过点 $ P $ 作 $ BC $ 的平行线交 $ AB $ 于点 $ E $. 保留作图痕迹.
（2）在（1）的条件下，$ ∠ DPE $ 等于 $ ∠ B $ 吗？请说明理由.
1. 如图，点 $ P $ 是 $ ∠ ABC $ 内一点，$ PD // AB $ 交 $ BC $ 于点 $ D $.
（1）尺规作图：过点 $ P $ 作 $ BC $ 的平行线交 $ AB $ 于点 $ E $. 保留作图痕迹.
（2）在（1）的条件下，$ ∠ DPE $ 等于 $ ∠ B $ 吗？请说明理由.
答案
（1）作图见解析；（2）∠DPE等于∠B，理由见解析。
解析
（1）作图步骤：①以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交PD、DC于点M、N；②以点P为圆心，DM长为半径画弧，交PD于点Q；③以点Q为圆心，MN长为半径画弧，交前弧于点R；④过点P、R作直线，交AB于点E。则PE即为所求作的BC的平行线。
（2）∠DPE等于∠B。理由：因为PD//AB，所以∠CDP=∠B（两直线平行，同位角相等）。又因为PE//BC，所以∠DPE=∠CDP（两直线平行，内错角相等）。因此，∠DPE=∠B（等量代换）。
（2）∠DPE等于∠B。理由：因为PD//AB，所以∠CDP=∠B（两直线平行，同位角相等）。又因为PE//BC，所以∠DPE=∠CDP（两直线平行，内错角相等）。因此，∠DPE=∠B（等量代换）。
