【跟踪练习】
1. 已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为.
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，图中的直角三角形有.

1. 11或13 【解析】当3是腰长时，三角形的三边长分别为3,3,5，能组成三角形，周长=3+3+5=11；当3是底边长时，三角形的三边长分别为3,5,5，能组成三角形，周长=3+5+5=13。综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13。
2. $△ ABC,△ ABD,△ AED,△ ACD$ 【解析】因为$∠ BAC=90°$，所以$△ ABC$是直角三角形。因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$，所以$△ ABD,△ AED,△ ACD$都是直角三角形，即图中的直角三角形有$△ ABC,△ ABD,△ AED,△ ACD$。

【典型例题 2】(1)如图 ,$△ ABC$ 的三条边上的中线 $AD,BE,CF$ 相交于点 $G$,且 $AG:GD=2:1$,若 $S_{△ ABC}=12$,则图中阴影部分的面积之和是.
(2)如图 ,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AC$边上的高$BD=4$,$P$为$BC$上一点,$PE ⊥ AC$于点$E$,$PF ⊥ AB$于点$F$,则$PE+PF$的值为.
【解析】(1)因为等底同高的两个三角形面积相等,所以 $S_{△ BFG}=S_{△ AFG},S_{△ AEG}=S_{△ CEG},S_{△ BDG}=S_{△ CDG}$.
因为 $AG:GD=2:1$,
所以 $S_{△ ABG}:S_{△ BDG}=2:1$,
所以 $S_{△ BFG}=S_{△ BDG}$.
这样,三条中线把$△ ABC$分成了六个面积都相等的小三角形,故图中阴影部分的面积之和为 $12÷6×2=4$.

(1)4 (2)4
(2)连接AP(图略),
因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$,
所以$\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}AB· PF+\frac{1}{2}AC· PE$.
因为$AB=AC$,
所以$PE+PF=BD=4$.

3.如图，$△ ABC$中BC边上的高是 （）

A.BD
B.AE
C.BE
D.CF

（第3题图）
4.如图，在$△ ABC$中，点$D,E,F$分别为$BC,AD,CE$的中点，且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为 $\mathrm{cm}^2$

（第4题图）

3. B 【解析】$△ ABC$中BC边上的高即由顶点A到BC的垂线段。
4. 1 【解析】因为点E,D分别为AD,BC的中点，所以$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm}^2)$。因为点F为EC的中点，所以$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm}^2)$。

【典型例题3】如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB＞∠ B$,$AD$平分$∠ BAC$,$P$为线段$AD$上的任意一点,$EP ⊥ AD$交直线$BC$于点$E$.

(1)若$∠ B=35°$,$∠ ACB=75°$,求$∠ E$的度数;
(2)猜想$∠ B$,$∠ ACB$,$∠ E$的数量关系,并证明.
思路导引 (1)先求出$∠ BAC$的度数,进而得到$∠ BAD$的度数,然后利用三角形内角和定理的推论求得$∠ ADE$的度数,最后利用直角三角形的性质求得$∠ E$的度数.
(2)先利用三角形内角和定理得到$∠ B$,$∠ ACB$与$∠ BAC$的数量关系,再利用三角形内角和定理的推论得到$∠ B$,$∠ BAD$和$∠ ADC$的数量关系,最后利用直角三角形的性质得到$∠ ADC$与$∠ E$的数量关系,从而求得$∠ B$,$∠ ACB$,$∠ E$的数量关系.
【解】(1)在$△ ABC$中,因为$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-35°-75°=70°$,
又$AD$平分$∠ BAC$,
所以$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2} × 70°=35°$,
所以$∠ ADE=∠ B+∠ BAD=35°+35°=70°$.
因为$EP ⊥ AD$,
所以$∠ EPD=90°$,
所以$∠ E=90°-∠ ADE=90°-70°=20°$.
(2)$∠ E=\frac{1}{2}(∠ ACB-∠ B)$.
证明:由题意,得$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=∠ B + \frac{1}{2}∠ BAC = ∠ B + \frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ ACB)=90°+\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ ACB$.
因为$EP ⊥ AD$,
所以$∠ EPD=90°$,
所以$∠ E=90°-∠ ADC=90°-(90°+\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ ACB)=\frac{1}{2}(∠ ACB-∠ B)$.

解：
(1) 在$△ ABC$中，
$\because ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 35° - 75° = 70°$，
又$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$，
由三角形外角性质得$∠ ADE = ∠ B + ∠ BAD = 35° + 35° = 70°$。
$\because EP ⊥ AD$，
$\therefore ∠ EPD = 90°$，
$\therefore ∠ E = 90° - ∠ ADE = 90° - 70° = 20°$。
(2) 猜想：$∠ E = \frac{1}{2}(∠ ACB - ∠ B)$，证明如下：
由三角形外角性质得$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC$，
又$\because$ 在$△ ABC$中，$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + \frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ ACB) = 90° + \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ ACB$。
$\because EP ⊥ AD$，
$\therefore ∠ EPD = 90°$，
$\therefore ∠ E = 90° - ∠ ADC = 90° - (90° + \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ ACB) = \frac{1}{2}(∠ ACB - ∠ B)$。