登录
13.单项式$-2π xy^2$的系数和次数分别是（
A.$-2$和4
B.$2π$和3
C.$2$和4
D.$-2π$和3
D
）A.$-2$和4
B.$2π$和3
C.$2$和4
D.$-2π$和3
答案
13.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的定义，解题思路分为两步：第一步确定系数，系数是单项式中的数字因数，要注意π是固定常数，不属于字母，同时不能漏掉数字的符号；第二步计算次数，次数是单项式中所有字母的指数之和，要注意单独一个字母的指数是1，不是0，最后将得到的结果和选项匹配即可。
【解析】
根据单项式的相关定义求解：
1. 求系数：单项式的系数是指单项式中的数字因数，π是固定的常数，因此$-2π xy^2$中的数字因数为$-2π$，即该单项式的系数是$-2π$。
2. 求次数：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，该单项式的字母为$x$和$y$，$x$的指数是1，$y$的指数是2，因此次数为$1+2=3$。
综上，该单项式的系数为$-2π$，次数为3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的易错点有两个：一是误将π当作字母参与次数计算，二是确定系数时遗漏负号，掌握核心概念即可轻松答对。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的定义，解题思路分为两步：第一步确定系数，系数是单项式中的数字因数，要注意π是固定常数，不属于字母，同时不能漏掉数字的符号；第二步计算次数，次数是单项式中所有字母的指数之和，要注意单独一个字母的指数是1，不是0，最后将得到的结果和选项匹配即可。
【解析】
根据单项式的相关定义求解：
1. 求系数：单项式的系数是指单项式中的数字因数，π是固定的常数，因此$-2π xy^2$中的数字因数为$-2π$，即该单项式的系数是$-2π$。
2. 求次数：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，该单项式的字母为$x$和$y$，$x$的指数是1，$y$的指数是2，因此次数为$1+2=3$。
综上，该单项式的系数为$-2π$，次数为3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的易错点有两个：一是误将π当作字母参与次数计算，二是确定系数时遗漏负号，掌握核心概念即可轻松答对。
【难度系数】
0.8
14.下列说法:①$-\frac{2xy}{3}$的系数是－2；②$\frac{1}{π}$不是单项式；③$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y$是多项式；④$\frac{2}{5}mn^2$的次数是3；⑤$2^3x^2 - x -1$的次数是5；⑥$\frac{1}{x}$是代数式但不是单项式.其中正确的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
14.B
解析
【分析】
本题考查单项式、多项式、代数式的相关基础概念，解题思路是逐个分析6个说法，结合对应概念的定义判断正误，最后统计正确说法的数量，匹配对应选项即可。解题时需注意几个易错点：π是常数而非字母、单项式的次数仅统计字母的指数和、多项式的次数由最高次项的次数决定、分母含字母的式子不属于整式也不是单项式。
【解析】
结合相关定义逐个判断：
1. 对于①：单项式的系数是指单项式中的数字因数，$-\frac{2xy}{3}$的数字因数是$-\frac{2}{3}$，不是-2，故①错误；
2. 对于②：单独的数或字母都是单项式，$\frac{1}{π}$是常数，属于单项式，故②错误；
3. 对于③：几个单项式的和叫做多项式，$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y$是两个单项式的和，属于多项式，故③正确；
4. 对于④：单项式的次数是所有字母的指数和，$\frac{2}{5}mn^2$中m的指数是1，n的指数是2，总次数为$1+2=3$，故④正确；
5. 对于⑤：多项式的次数是最高次项的次数，$2^3x^2 - x -1$的最高次项是$2^3x^2$，次数为2，$2^3$是系数，其指数不计入次数，故⑤错误；
6. 对于⑥：$\frac{1}{x}$是用运算符号连接数和字母的式子，属于代数式，但它的分母含有字母，不是单项式，故⑥正确。
综上，正确的说法是③④⑥，共3个。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的相关概念
2. 多项式的相关概念
3. 代数式的定义
【点评】
本题侧重考查整式相关的基础概念辨析，易错点集中在对π的属性、单项式及多项式次数的计算、单项式的判定这几个部分，只要准确掌握核心概念的细节就能快速解题。
【难度系数】
0.6
本题考查单项式、多项式、代数式的相关基础概念，解题思路是逐个分析6个说法，结合对应概念的定义判断正误，最后统计正确说法的数量，匹配对应选项即可。解题时需注意几个易错点：π是常数而非字母、单项式的次数仅统计字母的指数和、多项式的次数由最高次项的次数决定、分母含字母的式子不属于整式也不是单项式。
【解析】
结合相关定义逐个判断：
1. 对于①：单项式的系数是指单项式中的数字因数，$-\frac{2xy}{3}$的数字因数是$-\frac{2}{3}$，不是-2，故①错误；
2. 对于②：单独的数或字母都是单项式，$\frac{1}{π}$是常数，属于单项式，故②错误；
3. 对于③：几个单项式的和叫做多项式，$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y$是两个单项式的和，属于多项式，故③正确；
4. 对于④：单项式的次数是所有字母的指数和，$\frac{2}{5}mn^2$中m的指数是1，n的指数是2，总次数为$1+2=3$，故④正确；
5. 对于⑤：多项式的次数是最高次项的次数，$2^3x^2 - x -1$的最高次项是$2^3x^2$，次数为2，$2^3$是系数，其指数不计入次数，故⑤错误；
6. 对于⑥：$\frac{1}{x}$是用运算符号连接数和字母的式子，属于代数式，但它的分母含有字母，不是单项式，故⑥正确。
综上，正确的说法是③④⑥，共3个。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的相关概念
2. 多项式的相关概念
3. 代数式的定义
【点评】
本题侧重考查整式相关的基础概念辨析，易错点集中在对π的属性、单项式及多项式次数的计算、单项式的判定这几个部分，只要准确掌握核心概念的细节就能快速解题。
【难度系数】
0.6
15. $-3x^2y - 2x^2y^2 + xy - 4$ 的最高次项为 .
答案
15.$-2x^2y^2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三个核心概念：一是多项式的每个项都包含它前面的符号，不能遗漏正负号；二是单项式的次数是该项中所有字母的指数之和；三是最高次项指的是多项式里次数最高的项。解题时先拆分出多项式的所有项，再分别计算每一项的次数，最后对比找出次数最高的项即可。
【解析】
首先拆分多项式$-3x^2y - 2x^2y^2 + xy - 4$的所有项，分别为：$-3x^2y$、$-2x^2y^2$、$xy$、$-4$。
接下来依次计算每一项的次数：
1. 项$-3x^2y$：$x$的指数是2，$y$的指数是1，次数为$2+1=3$；
2. 项$-2x^2y^2$：$x$的指数是2，$y$的指数是2，次数为$2+2=4$；
3. 项$xy$：$x$的指数是1，$y$的指数是1，次数为$1+1=2$；
4. 项$-4$是常数项，次数为0。
对比各项次数，最高次数为4，对应的最高次项是$-2x^2y^2$。
【答案】
$-2x^2y^2$
【知识点】
多项式的项、单项式的次数、最高次项
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握多项式相关的基础定义，计算项的次数时要注意是所有字母的指数和，同时不要遗漏项前面的符号。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确三个核心概念：一是多项式的每个项都包含它前面的符号，不能遗漏正负号；二是单项式的次数是该项中所有字母的指数之和；三是最高次项指的是多项式里次数最高的项。解题时先拆分出多项式的所有项，再分别计算每一项的次数，最后对比找出次数最高的项即可。
【解析】
首先拆分多项式$-3x^2y - 2x^2y^2 + xy - 4$的所有项，分别为：$-3x^2y$、$-2x^2y^2$、$xy$、$-4$。
接下来依次计算每一项的次数：
1. 项$-3x^2y$：$x$的指数是2，$y$的指数是1，次数为$2+1=3$；
2. 项$-2x^2y^2$：$x$的指数是2，$y$的指数是2，次数为$2+2=4$；
3. 项$xy$：$x$的指数是1，$y$的指数是1，次数为$1+1=2$；
4. 项$-4$是常数项，次数为0。
对比各项次数，最高次数为4，对应的最高次项是$-2x^2y^2$。
【答案】
$-2x^2y^2$
【知识点】
多项式的项、单项式的次数、最高次项
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握多项式相关的基础定义，计算项的次数时要注意是所有字母的指数和，同时不要遗漏项前面的符号。
【难度系数】
0.8
16.将下列代数式的序号填在相应的横线上.
①$a^2b + ab^2 + b^3$, ②$5a^2$, ③$\frac{a + b}{2}$, ④$-\frac{xy^2}{3}$,
⑤0, ⑥$-x + \frac{y}{3}$, ⑦$\frac{2xy}{a}$, ⑧$3x^2 + \frac{2}{y}$, ⑨$\frac{2}{x}$,
⑩$\frac{x}{2}$.
(1)单项式:
(2)多项式:
(3)整式:
(4)二项式:
①$a^2b + ab^2 + b^3$, ②$5a^2$, ③$\frac{a + b}{2}$, ④$-\frac{xy^2}{3}$,
⑤0, ⑥$-x + \frac{y}{3}$, ⑦$\frac{2xy}{a}$, ⑧$3x^2 + \frac{2}{y}$, ⑨$\frac{2}{x}$,
⑩$\frac{x}{2}$.
(1)单项式:
②④⑤⑩
;(2)多项式:
①③⑥
;(3)整式:
①②③④⑤⑥⑩
;(4)二项式:
③⑥
.答案
16.(1)②④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①②③④⑤⑥⑩ (4)③⑥
解析
【分析】
解题前先明确相关核心概念：1.单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，注意分母含字母的式子不是单项式；2.多项式：几个单项式的和叫做多项式；3.整式：单项式和多项式统称为整式，分母含字母的式子不属于整式；4.二项式：只含有两个项的多项式。解题时逐个对10个代数式按照上述概念判断，再对应分类填写即可。
【解析】
我们逐个分析每个代数式的属性：
①$a^2b + ab^2 + b^3$：是3个单项式的和，属于多项式、整式，共3个项，不属于二项式；
②$5a^2$：是数5与字母$a^2$的积，属于单项式、整式；
③$\frac{a + b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}$：是2个单项式的和，属于多项式、整式，共2个项，属于二项式；
④$-\frac{xy^2}{3}$：是数$-\frac{1}{3}$与字母$xy^2$的积，属于单项式、整式；
⑤0：单独的一个数，属于单项式、整式；
⑥$-x + \frac{y}{3}$：是2个单项式的和，属于多项式、整式，共2个项，属于二项式；
⑦$\frac{2xy}{a}$：分母含字母a，不属于整式，既不是单项式也不是多项式；
⑧$3x^2 + \frac{2}{y}$：分母含字母y，不属于整式，既不是单项式也不是多项式；
⑨$\frac{2}{x}$：分母含字母x，不属于整式，既不是单项式也不是多项式；
⑩$\frac{x}{2}$：是数$\frac{1}{2}$与字母x的积，属于单项式、整式。
据此对应分类：
(1)单项式：②④⑤⑩；
(2)多项式：①③⑥；
(3)整式：①②③④⑤⑥⑩；
(4)二项式：③⑥。
【答案】
(1)②④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①②③④⑤⑥⑩ (4)③⑥
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题是整式分类的基础题型，解题核心是准确掌握各类代数式的概念，尤其要注意分母含有字母的式子不属于整式，避免因概念混淆出现分类错误。
【难度系数】
0.8
解题前先明确相关核心概念：1.单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，注意分母含字母的式子不是单项式；2.多项式：几个单项式的和叫做多项式；3.整式：单项式和多项式统称为整式，分母含字母的式子不属于整式；4.二项式：只含有两个项的多项式。解题时逐个对10个代数式按照上述概念判断，再对应分类填写即可。
【解析】
我们逐个分析每个代数式的属性：
①$a^2b + ab^2 + b^3$：是3个单项式的和，属于多项式、整式，共3个项，不属于二项式；
②$5a^2$：是数5与字母$a^2$的积，属于单项式、整式；
③$\frac{a + b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}$：是2个单项式的和，属于多项式、整式，共2个项，属于二项式；
④$-\frac{xy^2}{3}$：是数$-\frac{1}{3}$与字母$xy^2$的积，属于单项式、整式；
⑤0：单独的一个数，属于单项式、整式；
⑥$-x + \frac{y}{3}$：是2个单项式的和，属于多项式、整式，共2个项，属于二项式；
⑦$\frac{2xy}{a}$：分母含字母a，不属于整式，既不是单项式也不是多项式；
⑧$3x^2 + \frac{2}{y}$：分母含字母y，不属于整式，既不是单项式也不是多项式；
⑨$\frac{2}{x}$：分母含字母x，不属于整式，既不是单项式也不是多项式；
⑩$\frac{x}{2}$：是数$\frac{1}{2}$与字母x的积，属于单项式、整式。
据此对应分类：
(1)单项式：②④⑤⑩；
(2)多项式：①③⑥；
(3)整式：①②③④⑤⑥⑩；
(4)二项式：③⑥。
【答案】
(1)②④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①②③④⑤⑥⑩ (4)③⑥
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题是整式分类的基础题型，解题核心是准确掌握各类代数式的概念，尤其要注意分母含有字母的式子不属于整式，避免因概念混淆出现分类错误。
【难度系数】
0.8
17.已知$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，多项式$-5x^2y^{m+1}+\frac{1}{3}xy^2-\frac{1}{4}x^3+6$是六次四项式，单项式$\frac{7}{2}x^{2n}y^{5-m}$的次数与这个多项式的次数相同，求$(a+b)m+m^n-(cd-n)^{2025}$的值。
答案
17.解:因为多项式$-5x^2y^{m+1}+\frac{1}{3}xy^2-\frac{1}{4}x^3+6$是六次四项式,所以$2+m+1=6$,解得$m=3$.因为单项式$\frac{7}{2}x^{2n}y^{5-m}$的次数与这个多项式的次数相同,所以$2n+5-m=6$,即$2n+5-3=6$,解得$n=2$.因为$a,b$互为相反数,$c,d$互为倒数,所以$a+b=0,cd=1$,所以$(a+b)m+m^n-(cd-n)^{2025}=0+9-(1-2)^{2025}=9-(-1)=10$.
解析
【分析】
解题时先梳理题中涉及的各个概念的性质：①互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1；②多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。首先根据六次四项式的定义求出m的值，再根据单项式与多项式次数相同的条件求出n的值，最后结合相反数、倒数的性质，将所有值代入待求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵ 多项式$-5x^2y^{m+1}+\frac{1}{3}xy^2-\frac{1}{4}x^3+6$是六次四项式，
∴ 最高次项$-5x^2y^{m+1}$的次数为6，即$2+m+1=6$，
解得$m=3$。
∵ 单项式$\frac{7}{2}x^{2n}y^{5-m}$的次数与多项式的次数相同，也为6，
∴ 单项式所有字母的指数和为6，即$2n+5-m=6$，
将$m=3$代入得$2n+5-3=6$，
解得$n=2$。
又
∵ a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴ $a+b=0$，$cd=1$。
将$a+b=0$、$cd=1$、$m=3$、$n=2$代入待求式：
$\begin{aligned}&(a+b)m+m^n-(cd-n)^{2025}\\=&0×3 + 3^2 - (1-2)^{2025}\\=&0+9-(-1)\\=&10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
相反数与倒数的性质；单项式与多项式的次数；代数式求值
【点评】
本题是基础概念综合题，核心是准确掌握各类代数基础概念的定义，先逐个求解出未知参数的取值，再代入计算即可，计算时注意负数的奇次幂结果为负。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题中涉及的各个概念的性质：①互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1；②多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。首先根据六次四项式的定义求出m的值，再根据单项式与多项式次数相同的条件求出n的值，最后结合相反数、倒数的性质，将所有值代入待求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵ 多项式$-5x^2y^{m+1}+\frac{1}{3}xy^2-\frac{1}{4}x^3+6$是六次四项式，
∴ 最高次项$-5x^2y^{m+1}$的次数为6，即$2+m+1=6$，
解得$m=3$。
∵ 单项式$\frac{7}{2}x^{2n}y^{5-m}$的次数与多项式的次数相同，也为6，
∴ 单项式所有字母的指数和为6，即$2n+5-m=6$，
将$m=3$代入得$2n+5-3=6$，
解得$n=2$。
又
∵ a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴ $a+b=0$，$cd=1$。
将$a+b=0$、$cd=1$、$m=3$、$n=2$代入待求式：
$\begin{aligned}&(a+b)m+m^n-(cd-n)^{2025}\\=&0×3 + 3^2 - (1-2)^{2025}\\=&0+9-(-1)\\=&10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
相反数与倒数的性质；单项式与多项式的次数；代数式求值
【点评】
本题是基础概念综合题，核心是准确掌握各类代数基础概念的定义，先逐个求解出未知参数的取值，再代入计算即可，计算时注意负数的奇次幂结果为负。
【难度系数】
0.7
18.历史上的数学巨人欧拉最先把关于$ x $的多项式用记号$ f(x) $来表示，把$ x $等于某数$ a $时的多项式的值用$ f(a) $来表示，例如$ x=-1 $时，多项式$ f(x)=x^2 + 3x -5 $的值记为$ f(-1) $，则$ f(-1)=-7 $。已知$ f(x)=ax^5 + bx^3 + 3x + c $，且$ f(0)=-1 $。
(1)$ c=$
(2)若$ f(1)=2 $，求$ a+b $的值；
(3)若$ f(2)=9 $，求$ f(-2) $的值。
(1)$ c=$
-1
；(2)若$ f(1)=2 $，求$ a+b $的值；
(3)若$ f(2)=9 $，求$ f(-2) $的值。
答案
18.解:(1)$-1$
(2)因为$f(1)=2,c=-1$,所以$a+b+3-1=2$,所以$a+b=0$.
(3)因为$f(2)=9,c=-1$,所以$32a+8b+6-1=9$,所以$32a+8b=4$,所以$f(-2)=-32a-8b-6-1=-4-6-1=-11$.
(2)因为$f(1)=2,c=-1$,所以$a+b+3-1=2$,所以$a+b=0$.
(3)因为$f(2)=9,c=-1$,所以$32a+8b+6-1=9$,所以$32a+8b=4$,所以$f(-2)=-32a-8b-6-1=-4-6-1=-11$.
解析
【分析】
(1) 求c的值时，将x=0代入多项式表达式，此时所有含x的项均为0，仅剩常数项c，结合f(0)=-1即可直接求出c。
(2) 求a+b的值时，先将x=1代入多项式，再把已求出的c=-1代入所得等式，整理后就能算出a+b的结果。
(3) 求f(-2)的值时，先将x=2代入多项式，求出32a+8b的整体值，再代入x=-2，利用负数奇次幂为负的性质，将32a+8b的整体值代入计算即可，无需单独求出a、b的数值，可简化计算过程。
【解析】
(1) 把x=0代入$f(x)=ax^5 + bx^3 + 3x + c$，可得$f(0)=c$，已知$f(0)=-1$，因此$c=-1$。
(2) 把x=1代入$f(x)$，得$f(1)=a×1^5 + b×1^3 + 3×1 + c = a+b+3+c$。已知$f(1)=2$，$c=-1$，代入得$a+b+3-1=2$，整理得$a+b=0$。
(3) 把x=2代入$f(x)$，得$f(2)=a×2^5 + b×2^3 + 3×2 + c = 32a+8b+6+c$。已知$f(2)=9$，$c=-1$，代入得$32a+8b+6-1=9$，解得$32a+8b=4$。再把x=-2代入$f(x)$，得$f(-2)=a×(-2)^5 + b×(-2)^3 + 3×(-2) + c = -32a-8b-6+c$，将$32a+8b=4$、$c=-1$代入，得$f(-2)=-(32a+8b)-6+c=-4-6-1=-11$。
【答案】
(1)$-1$；(2)$0$；(3)$-11$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；乘方的性质
【点评】
本题考查代数式求值的基本方法，前两问可直接代入计算求解，第三问用到的整体代入思想是代数式求值类问题的常用技巧，能大幅简化运算，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 求c的值时，将x=0代入多项式表达式，此时所有含x的项均为0，仅剩常数项c，结合f(0)=-1即可直接求出c。
(2) 求a+b的值时，先将x=1代入多项式，再把已求出的c=-1代入所得等式，整理后就能算出a+b的结果。
(3) 求f(-2)的值时，先将x=2代入多项式，求出32a+8b的整体值，再代入x=-2，利用负数奇次幂为负的性质，将32a+8b的整体值代入计算即可，无需单独求出a、b的数值，可简化计算过程。
【解析】
(1) 把x=0代入$f(x)=ax^5 + bx^3 + 3x + c$，可得$f(0)=c$，已知$f(0)=-1$，因此$c=-1$。
(2) 把x=1代入$f(x)$，得$f(1)=a×1^5 + b×1^3 + 3×1 + c = a+b+3+c$。已知$f(1)=2$，$c=-1$，代入得$a+b+3-1=2$，整理得$a+b=0$。
(3) 把x=2代入$f(x)$，得$f(2)=a×2^5 + b×2^3 + 3×2 + c = 32a+8b+6+c$。已知$f(2)=9$，$c=-1$，代入得$32a+8b+6-1=9$，解得$32a+8b=4$。再把x=-2代入$f(x)$，得$f(-2)=a×(-2)^5 + b×(-2)^3 + 3×(-2) + c = -32a-8b-6+c$，将$32a+8b=4$、$c=-1$代入，得$f(-2)=-(32a+8b)-6+c=-4-6-1=-11$。
【答案】
(1)$-1$；(2)$0$；(3)$-11$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；乘方的性质
【点评】
本题考查代数式求值的基本方法，前两问可直接代入计算求解，第三问用到的整体代入思想是代数式求值类问题的常用技巧，能大幅简化运算，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
19.定义：$f(a,b)$是关于$a,b$的多项式，如果$f(a,b)=f(b,a)$，那么$f(a,b)$叫“对称多项式”.例如，如果$f(a,b)=a^2+a+b+b^2$，则$f(b,a)=b^2+b+a+a^2$，显然$f(a,b)=f(b,a)$，是“对称多项式”.
(1)试说明$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”；
(2)请写一个“对称多项式”，$f(a,b)=$
(3)如果$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$均为“对称多项式”，那么$f_1(a,b)+f_2(a,b)$一定是“对称多项式”吗？如果一定，请说明理由，如果不一定，请举例说明.
(1)试说明$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”；
(2)请写一个“对称多项式”，$f(a,b)=$
$a+b$
；(不多于四项)(3)如果$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$均为“对称多项式”，那么$f_1(a,b)+f_2(a,b)$一定是“对称多项式”吗？如果一定，请说明理由，如果不一定，请举例说明.
答案
19.解:(1)因为$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$,$f(b,a)=b^2-2ab+a^2$,所以$f(a,b)=f(b,a)$,故$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”.
(2)$f(a,b)=a+b$(答案不唯一).
(3)不一定是.理由:当$f_1(a,b)=a+b$,$f_2(a,b)=-a-b$时,都是对称多项式,而$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,是单项式,不是多项式.
(2)$f(a,b)=a+b$(答案不唯一).
(3)不一定是.理由:当$f_1(a,b)=a+b$,$f_2(a,b)=-a-b$时,都是对称多项式,而$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,是单项式,不是多项式.
解析
【分析】
(1) 判断是否为“对称多项式”需紧扣定义，先将原式中的a、b互换得到$f(b,a)$，再对比$f(a,b)$与$f(b,a)$是否相等即可；
(2) 写对称多项式只要满足a、b互换后式子不变即可，注意项数不超过4项，选择简单的形式填写即可；
(3) 要判断结论是否成立，若不成立只需举反例即可。可考虑两个对称多项式相加的结果不是多项式的情况，比如两个互为相反数的对称多项式相加得0，0是单项式不属于多项式，即可作为反例。
【解析】
(1) 已知$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$，将a和b互换得$f(b,a)=b^2-2ba+a^2$，显然$f(a,b)=f(b,a)$，因此$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”。
(2) 只需满足a、b互换后式子不变即可，例如$f(a,b)=a+b$，符合要求（答案不唯一）。
(3) 不一定是。举例验证：设$f_1(a,b)=a+b$，$f_2(a,b)=-a-b$，首先验证二者都是对称多项式：$f_1(b,a)=b+a=f_1(a,b)$，$f_2(b,a)=-b-a=-a-b=f_2(a,b)$，均符合定义；二者相加得$f_1(a,b)+f_2(a,b)=a+b+(-a-b)=0$，0是单项式，不属于多项式，因此不满足对称多项式的定义，故结论不一定成立。
【答案】
(1) 因为$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$,$f(b,a)=b^2-2ab+a^2$,所以$f(a,b)=f(b,a)$,故$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”。
(2) $a+b$（答案不唯一）
(3) 不一定是.理由:当$f_1(a,b)=a+b$,$f_2(a,b)=-a-b$时,都是对称多项式,而$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,是单项式,不是多项式。
【知识点】
新定义理解，多项式概念，整式加减
【点评】
本题以新定义为背景，考查对新概念的应用能力，同时结合了多项式判定、整式运算的知识点，整体难度不大，解题核心是紧扣题中给出的定义分析问题。
【难度系数】
0.7
(1) 判断是否为“对称多项式”需紧扣定义，先将原式中的a、b互换得到$f(b,a)$，再对比$f(a,b)$与$f(b,a)$是否相等即可；
(2) 写对称多项式只要满足a、b互换后式子不变即可，注意项数不超过4项，选择简单的形式填写即可；
(3) 要判断结论是否成立，若不成立只需举反例即可。可考虑两个对称多项式相加的结果不是多项式的情况，比如两个互为相反数的对称多项式相加得0，0是单项式不属于多项式，即可作为反例。
【解析】
(1) 已知$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$，将a和b互换得$f(b,a)=b^2-2ba+a^2$，显然$f(a,b)=f(b,a)$，因此$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”。
(2) 只需满足a、b互换后式子不变即可，例如$f(a,b)=a+b$，符合要求（答案不唯一）。
(3) 不一定是。举例验证：设$f_1(a,b)=a+b$，$f_2(a,b)=-a-b$，首先验证二者都是对称多项式：$f_1(b,a)=b+a=f_1(a,b)$，$f_2(b,a)=-b-a=-a-b=f_2(a,b)$，均符合定义；二者相加得$f_1(a,b)+f_2(a,b)=a+b+(-a-b)=0$，0是单项式，不属于多项式，因此不满足对称多项式的定义，故结论不一定成立。
【答案】
(1) 因为$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$,$f(b,a)=b^2-2ab+a^2$,所以$f(a,b)=f(b,a)$,故$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”。
(2) $a+b$（答案不唯一）
(3) 不一定是.理由:当$f_1(a,b)=a+b$,$f_2(a,b)=-a-b$时,都是对称多项式,而$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,是单项式,不是多项式。
【知识点】
新定义理解，多项式概念，整式加减
【点评】
本题以新定义为背景，考查对新概念的应用能力，同时结合了多项式判定、整式运算的知识点，整体难度不大，解题核心是紧扣题中给出的定义分析问题。
【难度系数】
0.7
