24. 聚焦中考过程性学习「2026山东潍坊期中改编，★★★」（14分）【给出定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆.
【观察发现】如图1,2,3,小莹发现任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖,从而得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论.

【问题解决】
(1)结合以上三个图形,你同意小莹的观点吗?若不同意,请写出你的发现.
(2)在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,则该矩形的最小覆盖圆的直径为.
(3)如图4,在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(-4,0),点C是y轴正半轴上的一个点,且∠BCA=45°,求△ABC的最小覆盖圆的半径.
(4)如图5,在四边形ACBD中,∠C=90°,∠D＞90°,∠ABD=45°,且AC=8 cm,BC=6 cm,BD=2√2 cm,若点E是四边形ACBD最小覆盖圆上的一点,求DE的最小值.

24.解析 (1)不同意小莹的观点.若三角形是锐角三角形或直角三角形,则其最小覆盖圆为其外接圆,若三角形为钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆.
(2)$3\sqrt{5}$.
(3)分析可知$△ ABC$是锐角三角形,则其最小覆盖圆为其外接圆,如图1,设$△ ABC$外接圆的圆心为点M,连接AM,BM,CM,过点M作$MN ⊥ AB$于点N,
$\because ∠ BCA=45°, \therefore ∠ BMA=2∠ BCA=90°$,
$\because A(2,0),B(-4,0), \therefore AB=6$,
$\because BM=AM,MN ⊥ AB, \therefore BN=AN=MN=3$,
$\therefore MA=MB=MC=3\sqrt{2}$,
$\therefore △ ABC$的最小覆盖圆的半径为$3\sqrt{2}$.
(4)由(1)知直角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆,$\because ∠ C=90°,∠ D＞90°, \therefore$ 四边形ACBD的最小覆盖圆是以AB为直径的圆,如图2,$\odot O$即为最小覆盖圆,此时,点D在圆内,要使DE最小,点E需在OD的延长线与$\odot O$的交点处.$\because AC=8 \mathrm{ cm},BC=6 \mathrm{ cm}, ∠ C=90°, \therefore AB=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm}), \therefore OB=OE=5 \mathrm{ cm}$.过点D作$DH ⊥ OB$于点H,$\because BD=2\sqrt{2} \mathrm{ cm},∠ ABD=45°, \therefore HB=HD=2 \mathrm{ cm}, \therefore OH=OB-HB=3 \mathrm{ cm}, \therefore OD=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}(\mathrm{cm}), \therefore DE=OE-OD=(5-\sqrt{13}) \mathrm{cm}$,即DE的最小值为$(5-\sqrt{13}) \mathrm{cm}$.