22 中考新考法 新定义问题 在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(a,b),B(c,d)$,若$c-a=d-b≠0$,则称点$A$与点$B$互为“等差点”,例如:点$A(-1,3)$,点$B(2,6)$,因为$2-(-1)=6-3≠0$,所以点$A$与点$B$互为“等差点”.
(1)若点$A$的坐标是$(4,-2)$,则在点$B_1(2,0),B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$中,点$A$的“等差点”为点;
(2)若点$A$的坐标是$(5,-3)$,其“等差点”$B$在坐标轴上,求点$B$的坐标;
(3)若点$A(-3,2m)$与点$B(6,-n)$互为“等差点”,且$m,n$互为相反数,求点$B$的坐标.

(1)$B_2$ 和 $ B_3 $
(2)①当点 $ B $ 在 $ x $ 轴上时,设 $ B(t,0) $,由题意,得 $ t-5=0-(-3) $,解得 $ t=8 $,
∴$ B(8,0) $.
②当点 $ B $ 在 $ y $ 轴上时,设 $ B(0,b) $,由题意,得 $ 0-5=b-(-3) $,解得 $ b=-8 $,
∴$ B(0,-8) $.
综上所述,A的“等差点”$ B $ 的坐标为 $ (8,0) $ 或 $ (0,-8) $.
(3)由题意,得 $ 6-(-3)=-n-2m $,
∴$ 2m=-n-9 $.
∵$ m,n $ 互为相反数,
∴$ m+n=0 $,解得 $ m+n+m=-9 $,
∴$ m=-9 $,$ n=9 $,
∴$ B(6,-9) $.

23 中考新考法 新定义问题 定义:在平面直角坐标系xOy中,将P(x,y)经过变换后得到P'(x',y'),其中$x'=kx+b$,$y'=by+k$(k,b为常数且$k≠b$),我们把这种变换称为"G变换",记作为$G(x,y)=(x',y')$.例如:当$k=1,b=2$时,$G(2,3)=(4,7)$.
(1)当$k=2,b=-1$时,$G(-2,3)=$;若$G(3,1)=(-3,1)$,则$k^b=$;
(2)点M(x,y)是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点,点M(x,y)经过"G变换"得到M'(x',y'),若点M与M'重合,请求出点M的坐标;
(3)已知点A(2,1),B$(m-\dfrac{5}{2},t)$,C$(m+\dfrac{1}{2},m+\dfrac{n}{2})$经过"G变换"的对应点分别是D(5,4),E,F.若$BE// x$轴,且点F落在x轴上,求三角形CEF的面积.

(1)$(-5,-1)$ $-8$ [解析]当 $ k=2,b=-1 $ 时,$ G(-2,3)=(-2×2-1,3×(-1)+2)=(-5,-1) $.若 $ G(3,1)=(-3,1) $,则 $ \begin{cases} 3k+b=-3, \\ b+k=1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k=-2, \\ b=3, \end{cases} $
∴$ k^b=(-2)^3=-8 $.
(2)由题意,得点 $ M(x,y) $ 变换为 $ M'(kx+b,by+k) $.
∵点 $ M(x,y) $ 是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点,
∴$ x=y $.
∵点 $ M $ 与 $ M' $ 重合,
∴$ kx+b=bx+k $,即 $ (k-b)x=k-b $.
∵$ k≠b $,
∴$ x=1 $.
∴点 $ M $ 的坐标为 $ (1,1) $.
(3)由题意得 $ \begin{cases} 2k+b=5, \\ b+k=4, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k=1, \\ b=3. \end{cases} $
∵$ B(m-\frac{5}{2},t) $,$ C(m+\frac{1}{2},m+\frac{n}{2}) $ 经过“G变换”的对应点分别是 $ E,F $,
∴$ E(m+\frac{1}{2},3t+1) $,$ F(m+\frac{7}{2},3m+\frac{3n}{2}+1) $.
∵$ BE// x $ 轴,且点 $ F $ 落在 $ x $ 轴上,
∴$ \begin{cases} t=3t+1, \\ 3m+\frac{3n}{2}+1=0, \end{cases} $
∴$ t=-\frac{1}{2} $,$ 3m+\frac{3n}{2}=-1 $,
∴$ C(m+\frac{1}{2},-\frac{1}{3}) $,$ E(m+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) $,$ F(m+\frac{7}{2},0) $.
∴三角形 $ CEF $ 的面积为 $ \frac{1}{2} × [-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})] × [(m+\frac{7}{2})-(m+\frac{1}{2})] = \frac{1}{4} $.

24 中考新考法 存在性问题探究 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(0,2)$,过点$(-1,0)$作$x$轴的垂线$l$,点$A$关于直线$l$的对称点为$B$.
(1)点$B$的坐标为.
(2)已知点$C(-3,-2)$,点$D(1,-2)$,在图中描出点$B,C,D$,顺次连接点$A,B,C,D$.
①在四边形$ABCD$内部有一点$P$,满足$S_{△ PAD}=S_{△ PBC}$且$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$,则此时点$P$的坐标为,$S_{△ PAB}=$.
②在四边形$ABCD$外部是否存在点$Q$,满足$S_{△ QAD}=S_{△ QBC}$且$S_{△ QAB}=S_{△ QCD}$?若存在,直接写出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)$(-2,2)$
(2)如图:
①$(-1,-\frac{2}{3})$ $\frac{8}{3}$ [解析]
∵$ S_{△PAD}=S_{△PBC} $ 且 $ S_{△PAB}=S_{△PCD} $,$ BC=AD $,$ CD=2AB $,
∴点 $ P $ 在直线 $ l $ 上,且到 $ AB $ 的距离是到 $ CD $ 距离的 2 倍.
∵点 $ P $ 在四边形 $ ABCD $ 的内部,
∴$ 2-\frac{2}{3}×(2+2)=-\frac{2}{3} $,
∴$ P(-1,-\frac{2}{3}) $.
∴$ S_{△PAB}=\frac{1}{2}×2×(2+\frac{2}{3})=\frac{8}{3} $.
②存在.理由如下:
∵$ S_{△QAD}=S_{△QBC} $ 且 $ S_{△QAB}=S_{△QCD} $,$ BC=AD $,$ CD=2AB $,
∴点 $ Q $ 在直线 $ l $ 上,且到 $ AB $ 的距离是到 $ CD $ 距离的 2 倍.
∵$ Q $ 在四边形 $ ABCD $ 的外部,
∴$ -2-(2+2)=-6 $,
∴$ Q(-1,-6) $.