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13.若a为有理数，则下列各式总能成立的是（
A.$(-a)^2=a^2$
B.$-a^2=(-a)^2$
C.$(-a)^3=a^3$
D.$|-a^3|=a^3$
A
）A.$(-a)^2=a^2$
B.$-a^2=(-a)^2$
C.$(-a)^3=a^3$
D.$|-a^3|=a^3$
答案
13.A
解析
【分析】
本题可根据有理数乘方的符号法则、绝对值的非负性，结合a是任意有理数（可正、可负、可为0）的特点，逐个验证每个选项是否恒成立，进而选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：根据乘方的定义，$(-a)^2=(-a)×(-a)=a^2$，无论a取何有理数，该等式都成立。
B选项：$(-a)^2=a^2$，因此等式变为$-a^2=a^2$，仅当a=0时成立，a不为0时左边为负、右边为正，等式不成立，故B错误。
C选项：$(-a)^3=(-a)×(-a)×(-a)=-a^3$，因此等式变为$-a^3=a^3$，仅当a=0时成立，a不为0时两边互为相反数，等式不成立，故C错误。
D选项：左边$|-a^3|$是非负数，当a为负数时，$a^3$是负数，非负数不可能等于负数，例如a=-1时，左边$|-(-1)^3|=1$，右边$(-1)^3=-1$，等式不成立，故D错误。
综上，只有A选项的式子总能成立。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算，绝对值的性质
【点评】
本题考查乘方的符号规律与绝对值的性质，解题时注意不要默认a为正数，需考虑a为任意有理数的情况，通过举反例排除错误选项是这类题的常用方法。
【难度系数】
0.8
本题可根据有理数乘方的符号法则、绝对值的非负性，结合a是任意有理数（可正、可负、可为0）的特点，逐个验证每个选项是否恒成立，进而选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：根据乘方的定义，$(-a)^2=(-a)×(-a)=a^2$，无论a取何有理数，该等式都成立。
B选项：$(-a)^2=a^2$，因此等式变为$-a^2=a^2$，仅当a=0时成立，a不为0时左边为负、右边为正，等式不成立，故B错误。
C选项：$(-a)^3=(-a)×(-a)×(-a)=-a^3$，因此等式变为$-a^3=a^3$，仅当a=0时成立，a不为0时两边互为相反数，等式不成立，故C错误。
D选项：左边$|-a^3|$是非负数，当a为负数时，$a^3$是负数，非负数不可能等于负数，例如a=-1时，左边$|-(-1)^3|=1$，右边$(-1)^3=-1$，等式不成立，故D错误。
综上，只有A选项的式子总能成立。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算，绝对值的性质
【点评】
本题考查乘方的符号规律与绝对值的性质，解题时注意不要默认a为正数，需考虑a为任意有理数的情况，通过举反例排除错误选项是这类题的常用方法。
【难度系数】
0.8
14.当n是正整数时，$(-1)^{2n+1} - (-1)^{2n}$的值是（
A.2
B.$-2$
C.0
D.2或$-2$
B
）A.2
B.$-2$
C.0
D.2或$-2$
答案
14.B
解析
【分析】
解题时首先要明确：n为正整数时，2n表示偶数，2n+1表示奇数；再根据-1的乘方规律：-1的偶次幂为1，奇次幂为-1，将两个乘方的值代入原式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵n是正整数，
∴2n为偶数，2n+1为奇数，
根据有理数乘方的符号法则可得：
$(-1)^{2n+1}=-1$，$(-1)^{2n}=1$，
∴原式$=-1 - 1 = -2$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算；-1的乘方规律
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题核心是先判断指数的奇偶性，再利用-1的奇偶次幂的运算规律代入计算，掌握相关规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：n为正整数时，2n表示偶数，2n+1表示奇数；再根据-1的乘方规律：-1的偶次幂为1，奇次幂为-1，将两个乘方的值代入原式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵n是正整数，
∴2n为偶数，2n+1为奇数，
根据有理数乘方的符号法则可得：
$(-1)^{2n+1}=-1$，$(-1)^{2n}=1$，
∴原式$=-1 - 1 = -2$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算；-1的乘方规律
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题核心是先判断指数的奇偶性，再利用-1的奇偶次幂的运算规律代入计算，掌握相关规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15.一个数的立方等于这个数的本身，此数为
1,-1或0
；一个数的平方等于这个数的立方，此数为1或0
。答案
15.1,-1或0 1或0
解析
【分析】
解决本题可先将文字描述转化为等式，再结合有理数乘方的运算特点，选取0、±1这类特殊有理数代入验证，排除不满足条件的数，即可得到正确结果，注意不要漏解。
【解析】
第一空：设这个数为$x$，根据题意可得$x^3=x$。
分别代入特殊值验证：
当$x=0$时，$0^3=0$，符合要求；
当$x=1$时，$1^3=1$，符合要求；
当$x=-1$时，$(-1)^3=-1$，符合要求；
其余有理数的立方均不等于自身，因此该数为1，-1或0。
第二空：设这个数为$y$，根据题意可得$y^2=y^3$。
分别代入特殊值验证：
当$y=0$时，$0^2=0$，$0^3=0$，符合要求；
当$y=1$时，$1^2=1$，$1^3=1$，符合要求；
当$y=-1$时，$(-1)^2=1$，$(-1)^3=-1$，$1≠-1$，不符合要求；
其余有理数的平方均不等于自身的立方，因此该数为1或0。
【答案】
1,-1或0；1或0
【知识点】
有理数乘方运算；特殊数的乘方特征
【点评】
本题考查有理数乘方的相关性质，解题时采用特殊值代入验证的方法可以快速得到答案，注意考虑全面，避免遗漏0、-1这类特殊解。
【难度系数】
0.8
解决本题可先将文字描述转化为等式，再结合有理数乘方的运算特点，选取0、±1这类特殊有理数代入验证，排除不满足条件的数，即可得到正确结果，注意不要漏解。
【解析】
第一空：设这个数为$x$，根据题意可得$x^3=x$。
分别代入特殊值验证：
当$x=0$时，$0^3=0$，符合要求；
当$x=1$时，$1^3=1$，符合要求；
当$x=-1$时，$(-1)^3=-1$，符合要求；
其余有理数的立方均不等于自身，因此该数为1，-1或0。
第二空：设这个数为$y$，根据题意可得$y^2=y^3$。
分别代入特殊值验证：
当$y=0$时，$0^2=0$，$0^3=0$，符合要求；
当$y=1$时，$1^2=1$，$1^3=1$，符合要求；
当$y=-1$时，$(-1)^2=1$，$(-1)^3=-1$，$1≠-1$，不符合要求；
其余有理数的平方均不等于自身的立方，因此该数为1或0。
【答案】
1,-1或0；1或0
【知识点】
有理数乘方运算；特殊数的乘方特征
【点评】
本题考查有理数乘方的相关性质，解题时采用特殊值代入验证的方法可以快速得到答案，注意考虑全面，避免遗漏0、-1这类特殊解。
【难度系数】
0.8
16.若$x^2=81$,则$x=$
9或-9
.答案
16.9或-9
解析
【分析】
要求x的值，我们需要找到平方后结果等于81的数。根据有理数乘方的性质，正数的平方是正数，负数的平方也是正数，所以满足条件的数有两个，且互为相反数，解题时注意不要遗漏负数解即可。
【解析】
解：已知$x^2=81$，
计算可得：$9^2=9×9=81$，$(-9)^2=(-9)×(-9)=81$，
即$(\pm9)^2=81$，
因此$x=9$或$x=-9$。
【答案】
9或-9
【知识点】
有理数的乘方运算，平方的性质
【点评】
本题考查乘方运算的逆用，解题的关键是牢记互为相反数的两个数的平方相等，避免只写出正数解而漏写负数解。
【难度系数】
0.8
要求x的值，我们需要找到平方后结果等于81的数。根据有理数乘方的性质，正数的平方是正数，负数的平方也是正数，所以满足条件的数有两个，且互为相反数，解题时注意不要遗漏负数解即可。
【解析】
解：已知$x^2=81$，
计算可得：$9^2=9×9=81$，$(-9)^2=(-9)×(-9)=81$，
即$(\pm9)^2=81$，
因此$x=9$或$x=-9$。
【答案】
9或-9
【知识点】
有理数的乘方运算，平方的性质
【点评】
本题考查乘方运算的逆用，解题的关键是牢记互为相反数的两个数的平方相等，避免只写出正数解而漏写负数解。
【难度系数】
0.8
若$a^2=(-4)^2$，则a等于
4或-4
。答案
4或-4
解析
【分析】
解题时先计算等式右侧$(-4)^2$的结果，再根据平方运算的性质：互为相反数的两个数的平方相等，找到所有满足$a^2$等于该结果的$a$的值即可，注意不要遗漏负数解。
【解析】
第一步：计算等号右侧的乘方结果：
$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$，原等式可转化为$a^2=16$。
第二步：根据乘方的运算规则推导$a$的取值：
因为$4^2=4×4=16$，$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$，所以满足$a^2=16$的$a$的值为$4$或者$-4$。
【答案】
4或-4
【知识点】
有理数乘方运算，平方的性质
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题时容易只考虑正数解而遗漏负数解，牢记互为相反数的两个数的平方相等是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先计算等式右侧$(-4)^2$的结果，再根据平方运算的性质：互为相反数的两个数的平方相等，找到所有满足$a^2$等于该结果的$a$的值即可，注意不要遗漏负数解。
【解析】
第一步：计算等号右侧的乘方结果：
$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$，原等式可转化为$a^2=16$。
第二步：根据乘方的运算规则推导$a$的取值：
因为$4^2=4×4=16$，$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$，所以满足$a^2=16$的$a$的值为$4$或者$-4$。
【答案】
4或-4
【知识点】
有理数乘方运算，平方的性质
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题时容易只考虑正数解而遗漏负数解，牢记互为相反数的两个数的平方相等是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
17.计算：
(1)$-(-6)^2$；
(2)$(-2\dfrac{1}{3})^3$；
(3)$-\dfrac{2^3}{7}$；
(4)$-\dfrac{3^2}{(-4)^3}$。
(1)$-(-6)^2$；
(2)$(-2\dfrac{1}{3})^3$；
(3)$-\dfrac{2^3}{7}$；
(4)$-\dfrac{3^2}{(-4)^3}$。
答案
17.(1)解:原式=-36.
(2)解:原式=$-\frac{343}{27}$.
(3)解:原式=$-\frac{8}{7}$.
(4)解:原式=$\frac{9}{64}$.
(2)解:原式=$-\frac{343}{27}$.
(3)解:原式=$-\frac{8}{7}$.
(4)解:原式=$\frac{9}{64}$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确有理数乘方的运算规则：①运算顺序为先算乘方，再处理符号；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③带分数进行乘方运算时，要先化成假分数；④注意区分乘方的底数是否包含负号，比如$-a^n$和$(-a)^n$的运算结果不同。具体各小问思考路径：(1)先计算$(-6)^2$的结果，再添加前面的负号；(2)先把带分数$-2\frac{1}{3}$化为假分数，再计算三次方，注意负数奇次幂符号为负；(3)明确底数是2，先算$2^3$，再添加分数前的负号；(4)分别计算分子、分母的乘方结果，再根据有理数除法的符号法则确定最终符号，计算数值。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-6)^2=(-6)×(-6)=36$，
所以原式$=-36$。
(2) 先将带分数化为假分数：$-2\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$，
再计算乘方：$(-\frac{7}{3})^3=(-\frac{7}{3})×(-\frac{7}{3})×(-\frac{7}{3})=-\frac{7^3}{3^3}=-\frac{343}{27}$，
所以原式$=-\frac{343}{27}$。
(3) 先计算分子的乘方：$2^3=2×2×2=8$，
所以原式$=-\frac{8}{7}$。
(4) 分别计算分子、分母的乘方：$3^2=3×3=9$，$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，
再计算除法：原式$=-\frac{9}{-64}=\frac{9}{64}$。
【答案】
(1)$-36$；(2)$-\frac{343}{27}$；(3)$-\frac{8}{7}$；(4)$\frac{9}{64}$
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则，有理数除法运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，易错点在于混淆乘方底数是否带负号、带分数未化假分数就直接乘方、符号判断错误，运算时遵循“先算乘方、再定符号、最后算数值”的顺序，就能有效避免出错。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要明确有理数乘方的运算规则：①运算顺序为先算乘方，再处理符号；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③带分数进行乘方运算时，要先化成假分数；④注意区分乘方的底数是否包含负号，比如$-a^n$和$(-a)^n$的运算结果不同。具体各小问思考路径：(1)先计算$(-6)^2$的结果，再添加前面的负号；(2)先把带分数$-2\frac{1}{3}$化为假分数，再计算三次方，注意负数奇次幂符号为负；(3)明确底数是2，先算$2^3$，再添加分数前的负号；(4)分别计算分子、分母的乘方结果，再根据有理数除法的符号法则确定最终符号，计算数值。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-6)^2=(-6)×(-6)=36$，
所以原式$=-36$。
(2) 先将带分数化为假分数：$-2\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$，
再计算乘方：$(-\frac{7}{3})^3=(-\frac{7}{3})×(-\frac{7}{3})×(-\frac{7}{3})=-\frac{7^3}{3^3}=-\frac{343}{27}$，
所以原式$=-\frac{343}{27}$。
(3) 先计算分子的乘方：$2^3=2×2×2=8$，
所以原式$=-\frac{8}{7}$。
(4) 分别计算分子、分母的乘方：$3^2=3×3=9$，$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，
再计算除法：原式$=-\frac{9}{-64}=\frac{9}{64}$。
【答案】
(1)$-36$；(2)$-\frac{343}{27}$；(3)$-\frac{8}{7}$；(4)$\frac{9}{64}$
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则，有理数除法运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，易错点在于混淆乘方底数是否带负号、带分数未化假分数就直接乘方、符号判断错误，运算时遵循“先算乘方、再定符号、最后算数值”的顺序，就能有效避免出错。
【难度系数】
0.75
18.(情境题)你吃过拉面吗？拉面是把一根面条对折成2根拉开，再对折成4根，…，依次这样进行对折10次是多少根面条？要得到128根面条需对折多少次？
答案
18.解:$2^{10}=1024$(根),$2^7=128$(根).答:对折10次是1024根面条,要得到128根面条需对折7次.
解析
【分析】
首先观察拉面对折的数量变化规律：每对折1次，面条的数量都会变为对折前的2倍。对折1次得到$2=2^1$根，对折2次得到$4=2^2$根，对折3次得到$8=2^3$根，由此可归纳出规律：对折n次时，面条的总数量为$2^n$根。接下来根据这个规律，求对折10次的数量直接代入$n=10$计算2的10次方即可；求得到128根需要对折的次数，就是求n的值使得$2^n=128$，通过计算乘方的结果就能得到n的值。
【解析】
解：由拉面对折的规律可知，每对折1次面条数量是之前的2倍，因此对折n次后面条的数量为$2^n$根。
（1）当对折10次时，$n=10$，面条数量为：
$2^{10}=1024$（根）
（2）设要得到128根面条需要对折n次，可得：
$2^n=128$
因为$2^7=128$，所以$n=7$
答：对折10次是1024根面条，要得到128根面条需对折7次。
【答案】
对折10次是1024根面条，要得到128根面条需对折7次。
【知识点】
有理数乘方运算，乘方规律探究，乘方实际应用
【点评】
本题结合生活中拉面的实际情境考查乘方的相关知识，解题的关键是从实际操作中总结出数量变化的乘方规律，再结合乘方的运算求解，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察拉面对折的数量变化规律：每对折1次，面条的数量都会变为对折前的2倍。对折1次得到$2=2^1$根，对折2次得到$4=2^2$根，对折3次得到$8=2^3$根，由此可归纳出规律：对折n次时，面条的总数量为$2^n$根。接下来根据这个规律，求对折10次的数量直接代入$n=10$计算2的10次方即可；求得到128根需要对折的次数，就是求n的值使得$2^n=128$，通过计算乘方的结果就能得到n的值。
【解析】
解：由拉面对折的规律可知，每对折1次面条数量是之前的2倍，因此对折n次后面条的数量为$2^n$根。
（1）当对折10次时，$n=10$，面条数量为：
$2^{10}=1024$（根）
（2）设要得到128根面条需要对折n次，可得：
$2^n=128$
因为$2^7=128$，所以$n=7$
答：对折10次是1024根面条，要得到128根面条需对折7次。
【答案】
对折10次是1024根面条，要得到128根面条需对折7次。
【知识点】
有理数乘方运算，乘方规律探究，乘方实际应用
【点评】
本题结合生活中拉面的实际情境考查乘方的相关知识，解题的关键是从实际操作中总结出数量变化的乘方规律，再结合乘方的运算求解，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.8
19.(核心素养·推理能力)
(1)填空:$2^2 - 2 - 1 =$
(2)【直接应用】$2^{2024} - 2^{2023} - 2^{2022} - \dots - 2^3 - 2^2 - 2 - 1 =$
(3)【变式应用】试根据上面的猜想求 $2^{12} - 2^{11} - 2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6$ 的值.
(1)填空:$2^2 - 2 - 1 =$
1
,$2^3 - 2^2 - 2 - 1 =$ 1
,$2^4 - 2^3 - 2^2 - 2 - 1 =$ 1
,$2^5 - 2^4 - 2^3 - 2^2 - 2 - 1 =$ 1
;(2)【直接应用】$2^{2024} - 2^{2023} - 2^{2022} - \dots - 2^3 - 2^2 - 2 - 1 =$
1
;(3)【变式应用】试根据上面的猜想求 $2^{12} - 2^{11} - 2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6$ 的值.
答案
19.(1)1 1 1 1
(2)1
(3)解:$2^{12} - 2^{11} - 2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6 =(2^{12}-2^{11}-2^{10}-\dots-2^3-2^2-2-1)+(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1)=1+(32+16+8+4+2+1)=64.$
(2)1
(3)解:$2^{12} - 2^{11} - 2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6 =(2^{12}-2^{11}-2^{10}-\dots-2^3-2^2-2-1)+(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1)=1+(32+16+8+4+2+1)=64.$
解析
【分析】
首先解决第(1)问，直接根据有理数乘方的计算法则分别算出各乘方的值，再按顺序做减法运算，观察计算结果总结规律；第(2)问直接应用第(1)问得出的规律即可得到结果；第(3)问由于式子只减到$2^6$，没有减到1，我们可以采用补项的方法，先把式子补成减到1的形式，应用规律算出值后，再把多减的部分加回来，最后计算即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各算式：
$2^2 - 2 - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$
$2^3 - 2^2 - 2 - 1 = 8 - 4 - 2 - 1 = 1$
$2^4 - 2^3 - 2^2 - 2 - 1 = 16 - 8 - 4 - 2 - 1 = 1$
$2^5 - 2^4 - 2^3 - 2^2 - 2 - 1 = 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 = 1$
(2) 根据第(1)问的结果可总结规律：对于大于等于2的正整数$n$，$2^n - 2^{n-1} - 2^{n-2} - \dots - 2 - 1 = 1$，因此当$n=2024$时，原式结果为1。
(3) 对原式补项凑成符合上述规律的形式计算：
$\begin{aligned}&2^{12} - 2^{11} - 2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6 \\=&(2^{12} - 2^{11} - 2^{10} - \dots - 2^3 - 2^2 - 2 - 1) + (2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1) \\=&1 + (32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1) \\=&1 + 63 \\=&64\end{aligned}$
【答案】
(1)1，1，1，1；(2)1；(3)64
【知识点】
有理数乘方运算，规律探究，补项法计算
【点评】
本题从简单的乘方计算入手，引导学生自主发现运算规律，再将规律迁移应用到复杂运算和变式运算中，既考查了乘方的基础运算能力，也锻炼了归纳推理和灵活解题的思维。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问，直接根据有理数乘方的计算法则分别算出各乘方的值，再按顺序做减法运算，观察计算结果总结规律；第(2)问直接应用第(1)问得出的规律即可得到结果；第(3)问由于式子只减到$2^6$，没有减到1，我们可以采用补项的方法，先把式子补成减到1的形式，应用规律算出值后，再把多减的部分加回来，最后计算即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各算式：
$2^2 - 2 - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$
$2^3 - 2^2 - 2 - 1 = 8 - 4 - 2 - 1 = 1$
$2^4 - 2^3 - 2^2 - 2 - 1 = 16 - 8 - 4 - 2 - 1 = 1$
$2^5 - 2^4 - 2^3 - 2^2 - 2 - 1 = 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 = 1$
(2) 根据第(1)问的结果可总结规律：对于大于等于2的正整数$n$，$2^n - 2^{n-1} - 2^{n-2} - \dots - 2 - 1 = 1$，因此当$n=2024$时，原式结果为1。
(3) 对原式补项凑成符合上述规律的形式计算：
$\begin{aligned}&2^{12} - 2^{11} - 2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6 \\=&(2^{12} - 2^{11} - 2^{10} - \dots - 2^3 - 2^2 - 2 - 1) + (2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1) \\=&1 + (32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1) \\=&1 + 63 \\=&64\end{aligned}$
【答案】
(1)1，1，1，1；(2)1；(3)64
【知识点】
有理数乘方运算，规律探究，补项法计算
【点评】
本题从简单的乘方计算入手，引导学生自主发现运算规律，再将规律迁移应用到复杂运算和变式运算中，既考查了乘方的基础运算能力，也锻炼了归纳推理和灵活解题的思维。
【难度系数】
0.7
1. 已知$a,b$都是实数，若$(a+2)^2 + |b-1|=0$，则$(a+b)^{2025}$的值为
-1
。答案
1.-1
解析
【分析】
本题需结合非负数的性质解题，解题思路如下：首先回忆平方和绝对值的性质：一个数的平方、一个数的绝对值都是非负数（即大于等于0）；若两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须都为0，据此可列算式求出a、b的值，最后将a、b的值代入所求代数式，根据有理数乘方的运算法则计算即可。
【解析】
解：
∵ 任何实数的平方、绝对值都是非负数
∴ $(a+2)^2≥0$，$\left|b-1\right|≥0$
又
∵ $(a+2)^2 + \left|b-1\right|=0$
∴ 可得：$a+2=0$，$b-1=0$
解得：$a=-2$，$b=1$
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2025}$得：
$(a+b)^{2025}=(-2+1)^{2025}=(-1)^{2025}$
∵ 2025是奇数，负数的奇次幂是负数
∴ $(-1)^{2025}=-1$
【答案】
-1
【知识点】
非负数的性质；绝对值的性质；有理数的乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础常考题，解题的核心是熟练掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，计算乘方时要注意区分指数的奇偶性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
本题需结合非负数的性质解题，解题思路如下：首先回忆平方和绝对值的性质：一个数的平方、一个数的绝对值都是非负数（即大于等于0）；若两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须都为0，据此可列算式求出a、b的值，最后将a、b的值代入所求代数式，根据有理数乘方的运算法则计算即可。
【解析】
解：
∵ 任何实数的平方、绝对值都是非负数
∴ $(a+2)^2≥0$，$\left|b-1\right|≥0$
又
∵ $(a+2)^2 + \left|b-1\right|=0$
∴ 可得：$a+2=0$，$b-1=0$
解得：$a=-2$，$b=1$
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2025}$得：
$(a+b)^{2025}=(-2+1)^{2025}=(-1)^{2025}$
∵ 2025是奇数，负数的奇次幂是负数
∴ $(-1)^{2025}=-1$
【答案】
-1
【知识点】
非负数的性质；绝对值的性质；有理数的乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础常考题，解题的核心是熟练掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，计算乘方时要注意区分指数的奇偶性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
2.若$|a - 6|$与$|b + 7|$互为相反数，则$(a + b)^{100}$
=.
=
1
答案
2.1
解析
【分析】
解题时首先根据互为相反数的两个数之和为0，得到两个绝对值的和为0；再结合绝对值的非负性（即任意数的绝对值都大于等于0），可推出两个绝对值分别为0，由此求出a、b的取值；最后将a、b的值代入待求式，根据有理数乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵|a - 6|与|b + 7|互为相反数
∴|a - 6| + |b + 7| = 0
∵绝对值具有非负性，即|a - 6| ≥ 0，|b + 7| ≥ 0
∴要使两个非负数的和为0，需满足|a - 6| = 0，|b + 7| = 0
即a - 6 = 0，b + 7 = 0
解得a = 6，b = -7
∴a + b = 6 + (-7) = -1
∴(a + b)¹⁰⁰ = (-1)¹⁰⁰ = 1
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性、相反数的性质、有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考点是非负数的性质应用，解题的突破口是明确几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，计算乘方时需注意负数的偶次幂为正，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据互为相反数的两个数之和为0，得到两个绝对值的和为0；再结合绝对值的非负性（即任意数的绝对值都大于等于0），可推出两个绝对值分别为0，由此求出a、b的取值；最后将a、b的值代入待求式，根据有理数乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵|a - 6|与|b + 7|互为相反数
∴|a - 6| + |b + 7| = 0
∵绝对值具有非负性，即|a - 6| ≥ 0，|b + 7| ≥ 0
∴要使两个非负数的和为0，需满足|a - 6| = 0，|b + 7| = 0
即a - 6 = 0，b + 7 = 0
解得a = 6，b = -7
∴a + b = 6 + (-7) = -1
∴(a + b)¹⁰⁰ = (-1)¹⁰⁰ = 1
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性、相反数的性质、有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考点是非负数的性质应用，解题的突破口是明确几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，计算乘方时需注意负数的偶次幂为正，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
3.若$(a-5)^2=-(b+4)^2$,求$-a^2 + b^2$的值.
答案
3. 解:$\because (a-5)^2=-(b+4)^2,\therefore (a-5)^2+(b+4)^2=0,$
又$\because (a-5)^2≥0,(b+4)^2≥0,\therefore a-5=0,b+4=0,$即$a=5,b=-4. \therefore -a^2+b^2=-5^2+(-4)^2=-25+16=-9.$
又$\because (a-5)^2≥0,(b+4)^2≥0,\therefore a-5=0,b+4=0,$即$a=5,b=-4. \therefore -a^2+b^2=-5^2+(-4)^2=-25+16=-9.$
解析
【分析】
首先观察等式特征，等式两边均为平方相关的形式，根据有理数乘方的性质，任意数的平方都是非负数（大于或等于0），因此等式左边的$(a-5)^2≥0$，等式右边的$-(b+4)^2≤0$，要使两者相等，只能两边都等于0，也可以将等式右边项移到左侧，得到两个平方相加和为0的形式，根据“多个非负数相加和为0时，每个非负数都为0”的性质，即可求出a、b的取值，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
解：$\because (a-5)^2=-(b+4)^2$，
$\therefore (a-5)^2+(b+4)^2=0$，
又$\because (a-5)^2≥0$，$(b+4)^2≥0$，
$\therefore a-5=0$，$b+4=0$，
解得$a=5$，$b=-4$，
将$a=5$，$b=-4$代入$-a^2 + b^2$得：
$-a^2 + b^2=-5^2+(-4)^2=-25+16=-9$。
【答案】
$-9$
【知识点】
平方的非负性；代数式求值
【点评】
本题是乘方运算的基础应用题型，解题核心是利用平方的非负性求出未知字母的值，计算时要注意区分$-5^2$和$(-5)^2$的差异，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
首先观察等式特征，等式两边均为平方相关的形式，根据有理数乘方的性质，任意数的平方都是非负数（大于或等于0），因此等式左边的$(a-5)^2≥0$，等式右边的$-(b+4)^2≤0$，要使两者相等，只能两边都等于0，也可以将等式右边项移到左侧，得到两个平方相加和为0的形式，根据“多个非负数相加和为0时，每个非负数都为0”的性质，即可求出a、b的取值，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
解：$\because (a-5)^2=-(b+4)^2$，
$\therefore (a-5)^2+(b+4)^2=0$，
又$\because (a-5)^2≥0$，$(b+4)^2≥0$，
$\therefore a-5=0$，$b+4=0$，
解得$a=5$，$b=-4$，
将$a=5$，$b=-4$代入$-a^2 + b^2$得：
$-a^2 + b^2=-5^2+(-4)^2=-25+16=-9$。
【答案】
$-9$
【知识点】
平方的非负性；代数式求值
【点评】
本题是乘方运算的基础应用题型，解题核心是利用平方的非负性求出未知字母的值，计算时要注意区分$-5^2$和$(-5)^2$的差异，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
