一、选择题
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=2$，则下列结论正确的是（）.

A.$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\tan A=\dfrac{1}{2}$
C.$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\tan B=\sqrt{3}$

D

【分析】
本题是直角三角形的锐角三角函数计算问题，解题思路如下：首先根据已知的直角三角形两条边的长度，用勾股定理求出第三条直角边AC的长度；再根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算四个选项对应的三角函数值，逐一对比选项即可选出正确答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=2$，
第一步：求AC的长度，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
第二步：分别计算各选项对应的三角函数值：
选项A：$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比，即$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，A错误；
选项B：$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比，即$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\frac{1}{2}$，B错误；
选项C：$\cos B$是$∠ B$的邻边与斜边的比，即$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，C错误；
选项D：$\tan B$是$∠ B$的对边与邻边的比，即$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形中锐角三角函数的计算，解题关键是明确不同三角函数对应的边的比例关系，计算时要注意区分各个角的对边和邻边，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4$，$\tan A=\sqrt{3}$，则$BC$的长为（）.

A.3
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

D

【分析】
本题是直角三角形求边长的基础题，可从两种思路解题：思路1：先由$\tan A=\sqrt{3}$推出$∠ A$的度数，再利用$∠ A$的正弦函数（对边比斜边），结合已知斜边$AB$的长度直接计算$BC$；思路2：先根据正切的定义得到$BC$与$AC$的数量关系，再结合勾股定理列方程求解$BC$，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\sqrt{3}$
$\therefore ∠ A=60°$（特殊角的三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$）
$\therefore \sin A=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
根据正弦函数的定义：$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，已知$AB=4$
$\therefore BC=AB·\sin A=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义，解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题核心是熟记特殊角的三角函数值，或是灵活运用锐角三角函数定义与勾股定理结合计算，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8

3. 在$△ ABC$中，$∠ A = 60°$，$AC = 1$，$BC = \sqrt{3}$，那么$∠ B$为().

A.$60°$
B.$60°$或$120°$
C.$30°$
D.$30°$或$150°$

C

【分析】
本题是解三角形的常见题型，已知三角形的一个内角和两条边的长度，求未知角。解题思路如下：首先我们可以通过作高的方式，把斜三角形转化为两个直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出∠B的正弦值；接下来要注意，正弦值为1/2的角有30°和150°两种可能，需要结合三角形内角和为180°的性质排除不符合的解，最终得到正确答案。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB所在的直线于点D：
1. 在Rt△ACD中，已知∠A=60°，AC=1，根据正弦的定义：
$CD = AC · \sin A = 1 × \sin60° = 1 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. 在Rt△BCD中，已知$BC=\sqrt{3}$，$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据正弦的定义：
$\sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
3. 分析∠B的取值：
若∠B=150°，则$∠ A + ∠ B = 60° + 150° = 210° ＞ 180°$，不符合三角形内角和为180°的性质，因此舍去。
所以∠B=30°。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形，三角形内角和定理，正弦的定义
【点评】
本题易错点是求出∠B的正弦值后，忽略三角形内角和的限制，误选包含两个解的选项。解题时求出角的三角函数值后，一定要结合三角形的相关性质判断解的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7

二、填空题
4. 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3 m，$\cos∠ BAC=\dfrac{3}{4}$，则梯子长AB= m.
（第4题）
（第5题）
（第6题）

$\boldsymbol{4}$

【分析】
首先由墙与地面垂直可知△ABC是直角三角形，∠C=90°。解题时需回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题已知∠BAC的余弦值和邻边AC的长度，要求斜边AB的长度，直接代入余弦定义公式变形计算即可。
【解析】
解：由题意可知墙垂直于地面，即∠C=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，根据余弦的定义：
$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$
已知$AC=3\mathrm{m}$，$\cos∠ BAC=\frac{3}{4}$，代入得：
$\frac{3}{4}=\frac{3}{AB}$
解得$AB=3÷\frac{3}{4}=4(\mathrm{m})$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，结合生活场景考查锐角三角函数的基本应用，只要准确掌握余弦的定义，找准直角三角形中角对应的邻边和斜边，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.85

5. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $D$ 为边 $AB$ 的中点, 连接 $CD$, 已知 $CD = 4$, $\cos∠ BCD = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, 则 $BC$ 的值为。

$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$

【分析】
解题时先从已知的直角三角形斜边中点入手，首先回忆直角三角形斜边中线的性质得到边的关系，再由等边对等角得到角的等量关系，最后结合锐角三角函数的定义计算待求边长：
1. 由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出CD=BD=AD，先求出AB的长度，同时得到△BCD为等腰三角形，∠B=∠BCD；
2. 结合已知的cos∠BCD的值，得到cos∠B的值；
3. 在Rt△ABC中利用余弦的定义，代入数值即可算出BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，D为AB的中点
∴ 根据直角三角形斜边中线定理，$CD=BD=AD=\frac{1}{2}AB$
∵ $CD=4$
∴ $AB=2CD=8$，且$BD=CD$，可得$∠B=∠BCD$
∴ $\cos∠B=\cos∠BCD=\frac{\sqrt{3}}{2}$
在$Rt△ABC$中，$\cos∠B=\frac{BC}{AB}$
代入$AB=8$，$\cos∠B=\frac{\sqrt{3}}{2}$得：
$BC=AB×\cos∠B=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$
【答案】
$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、等腰三角形性质、锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础综合题，解题的关键是通过斜边中线的性质建立角的等量关系，将已知的三角函数值转化到直角三角形中计算边长，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 45°$，$∠ C = 90°$，点$D$在边$AC$上，$∠ BDC = 60°$，$AD = 1$，则$BD =$。

解：
设 $ BD = x $，
在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ ∠ C=90° $，$ ∠ BDC=60° $，
$ \therefore ∠ DBC=30° $，
$ \therefore DC = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}x $，
$ BC = BD·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}x $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C=90° $，$ ∠ A=45° $，
$ \therefore ∠ ABC=45° $，
$ \therefore AC = BC $。
又 $ \because AC = AD + DC $，$ AD=1 $，
$ \therefore 1 + \frac{1}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x $，
整理得：$ x(\sqrt{3}-1)=2 $，
解得：$ x = \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{3}+1 $，
即 $ BD = \sqrt{3}+1 $。
$\boxed{\sqrt{3}+1}$

【分析】
本题包含两个含特殊角的直角三角形，已知AD长度求BD，可按以下思路解题：第一步，设BD的长度为未知数x，利用Rt△BCD中30°、60°角的边角关系，将DC和BC都用含x的代数式表示；第二步，根据Rt△ABC中∠A=45°，可判断该三角形为等腰直角三角形，得到AC=BC的等量关系；第三步，结合AC=AD+DC，代入已知的AD=1和前面得到的各边表达式，列方程求解即可得到BD的长度。
【解析】
设 $ BD = x $，
在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ ∠ C=90° $，$ ∠ BDC=60° $，
$ \therefore ∠ DBC=180°-90°-60°=30° $，
$ \therefore DC = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}x $，
$ BC = BD·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}x $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C=90° $，$ ∠ A=45° $，
$ \therefore ∠ ABC=180°-90°-45°=45° $，即$△ABC$为等腰直角三角形，
$ \therefore AC = BC $。
又 $ \because AC = AD + DC $，$ AD=1 $，
$ \therefore 1 + \frac{1}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x $，
整理得：$ (\sqrt{3}-1)x=2 $，
分母有理化解得：$ x = \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{3}+1 $，
即 $ BD = \sqrt{3}+1 $。
【答案】
$\boxed{\sqrt{3}+1}$
【知识点】
解直角三角形；特殊角的三角函数；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型基础应用题，解题核心是利用两个直角三角形的公共边BC建立等量关系，通过设未知数列方程求解，要求学生熟练掌握特殊角的三角函数值和直角三角形的边角对应关系。
【难度系数】
0.65