登录
4. 综合与实践
南宁轨道交通5号线是南宁市第五条建成运营的轨道交通线路.数学小组成员了解到5号线地铁列车准备进入某站时在距离停车线256 m处开始减速.他们想了解列车从减速开始,经过多少秒在停车线处停下.为解决这一问题,数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s(m)与时间t(s)的函数关系,再应用该函数解决相应问题.
(1)收集数据.
(2)为了观察s(m)与t(s)的关系,建立如图所示的平面直角坐标系.
(3)请你帮小组成员在平面直角坐标系中描表格中的点,并用平滑的曲线依次连接;
(4)根据图象以及数据的关系,猜想它可能是我们所学习过的函数的图象(选填“一次”“二次”或“反比例”).请你选择合适的数据求出该函数的解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(5)地铁从减速开始,经过多少秒在停车线处停下?已知5号地铁列车在该地铁站经历的过程如下:
进站:车头从进站那一刻起到停车线处停下,用时24 s;停靠:列车停靠时长为40 s(即列车停稳后到再次启动的时间为40 s);出站:列车再次启动到列车车头刚好出站,用时5 s.
数学小组经计算得知,在地铁列车出站过程中,列车车头离停车线的距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为$s=\frac{1}{2}(t-72)^2(72≤ t≤100)$.
(6)请结合以上信息,求出该地铁站的长度.
南宁轨道交通5号线是南宁市第五条建成运营的轨道交通线路.数学小组成员了解到5号线地铁列车准备进入某站时在距离停车线256 m处开始减速.他们想了解列车从减速开始,经过多少秒在停车线处停下.为解决这一问题,数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s(m)与时间t(s)的函数关系,再应用该函数解决相应问题.
(1)收集数据.
(2)为了观察s(m)与t(s)的关系,建立如图所示的平面直角坐标系.
(3)请你帮小组成员在平面直角坐标系中描表格中的点,并用平滑的曲线依次连接;
(4)根据图象以及数据的关系,猜想它可能是我们所学习过的函数的图象(选填“一次”“二次”或“反比例”).请你选择合适的数据求出该函数的解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(5)地铁从减速开始,经过多少秒在停车线处停下?已知5号地铁列车在该地铁站经历的过程如下:
进站:车头从进站那一刻起到停车线处停下,用时24 s;停靠:列车停靠时长为40 s(即列车停稳后到再次启动的时间为40 s);出站:列车再次启动到列车车头刚好出站,用时5 s.
数学小组经计算得知,在地铁列车出站过程中,列车车头离停车线的距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为$s=\frac{1}{2}(t-72)^2(72≤ t≤100)$.
(6)请结合以上信息,求出该地铁站的长度.
答案
解：
(3) 在平面直角坐标系中依次描出点$(0,256)$、$(4,196)$、$(8,144)$、$(12,100)$、$(16,64)$、$(20,36)$、$(24,16)$，再用平滑曲线将各点依次连接即可。
(4) 二次
设该二次函数解析式为$s=at^2+bt+c$，将$(0,256)$代入得$c=256$。
将$(4,196)$、$(8,144)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a+4b+256=196 \\64a+8b+256=144 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}4a+b=-15 \\8a+b=-14 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a=\dfrac{1}{4} \\b=-16 \end{cases}$
因此该函数解析式为$s=\dfrac{1}{4}t^2-16t+256$（或整理为$s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2$）。
(5) 当列车在停车线处停下时，$s=0$，即：
$\dfrac{1}{4}(t-32)^2=0$
解得$t_1=t_2=32$。
(6) 由题意，列车停稳时刻为$t=32\ \mathrm{s}$，停靠时长为$40\ \mathrm{s}$，因此列车再次启动的时刻为$32+40=72\ \mathrm{s}$，符合出站函数的自变量取值范围。
进站时刻为$32-24=8\ \mathrm{s}$，将$t=8$代入$s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2$，得$s=\dfrac{1}{4}×(8-32)^2=144$，即进站口距离停车线$144\ \mathrm{m}$。
车头刚好出站时对应的时刻为$72+5=77\ \mathrm{s}$，将$t=77$代入$s=\dfrac{1}{2}(t-72)^2$，得$s=\dfrac{1}{2}×(77-72)^2=12.5$，即出站口距离停车线$12.5\ \mathrm{m}$。
因此该地铁站的长度为$144+12.5=156.5\ \mathrm{m}$。
答：(5) 地铁从减速开始，经过32秒在停车线处停下；(6) 该地铁站的长度为$156.5\ \mathrm{m}$。
(3) 在平面直角坐标系中依次描出点$(0,256)$、$(4,196)$、$(8,144)$、$(12,100)$、$(16,64)$、$(20,36)$、$(24,16)$，再用平滑曲线将各点依次连接即可。
(4) 二次
设该二次函数解析式为$s=at^2+bt+c$，将$(0,256)$代入得$c=256$。
将$(4,196)$、$(8,144)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a+4b+256=196 \\64a+8b+256=144 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}4a+b=-15 \\8a+b=-14 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a=\dfrac{1}{4} \\b=-16 \end{cases}$
因此该函数解析式为$s=\dfrac{1}{4}t^2-16t+256$（或整理为$s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2$）。
(5) 当列车在停车线处停下时，$s=0$，即：
$\dfrac{1}{4}(t-32)^2=0$
解得$t_1=t_2=32$。
(6) 由题意，列车停稳时刻为$t=32\ \mathrm{s}$，停靠时长为$40\ \mathrm{s}$，因此列车再次启动的时刻为$32+40=72\ \mathrm{s}$，符合出站函数的自变量取值范围。
进站时刻为$32-24=8\ \mathrm{s}$，将$t=8$代入$s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2$，得$s=\dfrac{1}{4}×(8-32)^2=144$，即进站口距离停车线$144\ \mathrm{m}$。
车头刚好出站时对应的时刻为$72+5=77\ \mathrm{s}$，将$t=77$代入$s=\dfrac{1}{2}(t-72)^2$，得$s=\dfrac{1}{2}×(77-72)^2=12.5$，即出站口距离停车线$12.5\ \mathrm{m}$。
因此该地铁站的长度为$144+12.5=156.5\ \mathrm{m}$。
答：(5) 地铁从减速开始，经过32秒在停车线处停下；(6) 该地铁站的长度为$156.5\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 第(4)问：先观察图象特征，一次函数图象是直线，反比例函数图象是双曲线，本题描点连线后为抛物线形状，故判断为二次函数；再用待定系数法，选取3个已知点代入二次函数一般式，求解系数即可得到解析式。2. 第(5)问：列车在停车线处停下时，车头离停车线的距离s=0，将s=0代入所求二次函数解析式，解方程即可得到对应时间。3. 第(6)问：地铁站长度为进站口到出站口的总距离，等于进站口到停车线的距离加出站口到停车线的距离；先根据进站用时算出进站对应的t值，代入减速阶段函数得到进站口到停车线的距离；再根据出站用时算出车头刚好出站对应的t值，代入出站阶段函数得到出站口到停车线的距离，两者相加即为地铁站长度。
【解析】
(3) 在平面直角坐标系中依次描出点$(0,256)$、$(4,196)$、$(8,144)$、$(12,100)$、$(16,64)$、$(20,36)$、$(24,16)$，再用平滑曲线将各点依次连接即可。
(4) 观察图象的抛物线特征，可知为二次函数的图象。
设该二次函数解析式为$s=at^2+bt+c$，
将$(0,256)$代入得$c=256$，
将$(4,196)$、$(8,144)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a+4b+256=196 \\64a+8b+256=144 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}4a+b=-15 \\8a+b=-14 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$4a=1$，解得$a=\dfrac{1}{4}$，
将$a=\dfrac{1}{4}$代入$4a+b=-15$，解得$b=-16$，
因此该函数解析式为$s=\dfrac{1}{4}t^2-16t+256$（也可整理为$s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2$）。
(5) 当列车在停车线处停下时，车头离停车线的距离$s=0$，代入解析式得：
$\dfrac{1}{4}(t-32)^2=0$
解得$t_1=t_2=32$。
(6) 由题意，列车停稳时刻为$t=32\ \mathrm{s}$，停靠时长40s，故列车再次启动的时刻为$32+40=72\ \mathrm{s}$，与出站函数的自变量起始值一致。
进站用时24s，故车头到达进站口的时刻为$32-24=8\ \mathrm{s}$，将$t=8$代入$s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2$，得$s=\dfrac{1}{4}×(8-32)^2=144\ \mathrm{m}$，即进站口距离停车线144m。
出站用时5s，故车头刚好出站的时刻为$72+5=77\ \mathrm{s}$，将$t=77$代入$s=\dfrac{1}{2}(t-72)^2$，得$s=\dfrac{1}{2}×(77-72)^2=12.5\ \mathrm{m}$，即出站口距离停车线12.5m。
因此该地铁站的长度为$144+12.5=156.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(4) 二次，函数解析式为$\boldsymbol{s=\dfrac{1}{4}t^2-16t+256}$（或$\boldsymbol{s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2}$）；
(5) 32秒；
(6) $\boldsymbol{156.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，函数值计算
【点评】
本题以地铁进站出站的实际场景为载体，将函数知识与生活实际结合，既考查了函数类型判断、解析式求解、函数值计算等基础知识点，也考查了结合实际场景分析变量对应关系的能力，有助于提升数学建模和应用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 第(4)问：先观察图象特征，一次函数图象是直线，反比例函数图象是双曲线，本题描点连线后为抛物线形状，故判断为二次函数；再用待定系数法，选取3个已知点代入二次函数一般式，求解系数即可得到解析式。2. 第(5)问：列车在停车线处停下时，车头离停车线的距离s=0，将s=0代入所求二次函数解析式，解方程即可得到对应时间。3. 第(6)问：地铁站长度为进站口到出站口的总距离，等于进站口到停车线的距离加出站口到停车线的距离；先根据进站用时算出进站对应的t值，代入减速阶段函数得到进站口到停车线的距离；再根据出站用时算出车头刚好出站对应的t值，代入出站阶段函数得到出站口到停车线的距离，两者相加即为地铁站长度。
【解析】
(3) 在平面直角坐标系中依次描出点$(0,256)$、$(4,196)$、$(8,144)$、$(12,100)$、$(16,64)$、$(20,36)$、$(24,16)$，再用平滑曲线将各点依次连接即可。
(4) 观察图象的抛物线特征，可知为二次函数的图象。
设该二次函数解析式为$s=at^2+bt+c$，
将$(0,256)$代入得$c=256$，
将$(4,196)$、$(8,144)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a+4b+256=196 \\64a+8b+256=144 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}4a+b=-15 \\8a+b=-14 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$4a=1$，解得$a=\dfrac{1}{4}$，
将$a=\dfrac{1}{4}$代入$4a+b=-15$，解得$b=-16$，
因此该函数解析式为$s=\dfrac{1}{4}t^2-16t+256$（也可整理为$s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2$）。
(5) 当列车在停车线处停下时，车头离停车线的距离$s=0$，代入解析式得：
$\dfrac{1}{4}(t-32)^2=0$
解得$t_1=t_2=32$。
(6) 由题意，列车停稳时刻为$t=32\ \mathrm{s}$，停靠时长40s，故列车再次启动的时刻为$32+40=72\ \mathrm{s}$，与出站函数的自变量起始值一致。
进站用时24s，故车头到达进站口的时刻为$32-24=8\ \mathrm{s}$，将$t=8$代入$s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2$，得$s=\dfrac{1}{4}×(8-32)^2=144\ \mathrm{m}$，即进站口距离停车线144m。
出站用时5s，故车头刚好出站的时刻为$72+5=77\ \mathrm{s}$，将$t=77$代入$s=\dfrac{1}{2}(t-72)^2$，得$s=\dfrac{1}{2}×(77-72)^2=12.5\ \mathrm{m}$，即出站口距离停车线12.5m。
因此该地铁站的长度为$144+12.5=156.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(4) 二次，函数解析式为$\boldsymbol{s=\dfrac{1}{4}t^2-16t+256}$（或$\boldsymbol{s=\dfrac{1}{4}(t-32)^2}$）；
(5) 32秒；
(6) $\boldsymbol{156.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，函数值计算
【点评】
本题以地铁进站出站的实际场景为载体，将函数知识与生活实际结合，既考查了函数类型判断、解析式求解、函数值计算等基础知识点，也考查了结合实际场景分析变量对应关系的能力，有助于提升数学建模和应用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.6
