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1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，折者高几何？”翻译成现代数学问题是：如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC+AB=10$，$BC=3$，求$AC$的长。如果设$AC=x$，则可列方程 （）
A.$x^2 + (10 - x)^2 = 3^2$
B.$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
C.$x^2 + 3^2 = 10^2$
D.$(10 - x)^2 + 3^2 = x^2$
第1题图
A.$x^2 + (10 - x)^2 = 3^2$
B.$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
C.$x^2 + 3^2 = 10^2$
D.$(10 - x)^2 + 3^2 = x^2$
第1题图答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：我们已经设AC=x，结合AC+AB=10，可先表示出斜边AB的长度为10-x；再观察三角形特征，△ABC是直角三角形且∠C为直角，根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，将对应边长代入公式即可列出方程，注意要准确区分直角边和斜边，避免边长代换错误。
【解析】
解：已知设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10 - x，
又
∵△ABC中∠ACB=90°，BC=3，
根据勾股定理可得：AC² + BC² = AB²，
代入各边长得：$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$，
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，列方程
【点评】
本题结合古代经典数学问题考查勾股定理的应用，解题核心是先用未知数正确表示出三角形各边的长度，再准确套用勾股定理列式即可，做题时需注意不要混淆直角边和斜边的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：我们已经设AC=x，结合AC+AB=10，可先表示出斜边AB的长度为10-x；再观察三角形特征，△ABC是直角三角形且∠C为直角，根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，将对应边长代入公式即可列出方程，注意要准确区分直角边和斜边，避免边长代换错误。
【解析】
解：已知设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10 - x，
又
∵△ABC中∠ACB=90°，BC=3，
根据勾股定理可得：AC² + BC² = AB²，
代入各边长得：$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$，
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，列方程
【点评】
本题结合古代经典数学问题考查勾股定理的应用，解题核心是先用未知数正确表示出三角形各边的长度，再准确套用勾股定理列式即可，做题时需注意不要混淆直角边和斜边的对应关系。
【难度系数】
0.8
2.如图,在长为100 m、宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7 644 m²,则道路的宽应为多少米?
设道路的宽为x m,则可列方程 ()
A.$100×80 - 100x - 80x = 7644$
B.$(100 - x)(80 - x) + x^2 = 7644$
C.$(100 - x)(80 - x) = 7644$
D.$100x + 80x = 356$
设道路的宽为x m,则可列方程 ()
A.$100×80 - 100x - 80x = 7644$
B.$(100 - x)(80 - x) + x^2 = 7644$
C.$(100 - x)(80 - x) = 7644$
D.$100x + 80x = 356$
答案
C
解析
【分析】
解决这类道路占地的面积问题，常用平移法简化计算：我们可以把两条互相垂直的道路分别平移到矩形场地的边缘，此时剩余的绿化部分会拼接成一个完整的新矩形，只需要表示出新矩形的长和宽，再结合绿化面积就能列出方程。新矩形的长等于原场地长减去道路的宽，即$(100 - x)\mathrm{m}$，新矩形的宽等于原场地宽减去道路的宽，即$(80 - x)\mathrm{m}$，新矩形的面积就是绿化面积$7644\mathrm{m}^2$，据此即可得到对应方程。
【解析】
方法1（平移法）：将竖直道路向右平移，水平道路向下平移，剩余绿化部分拼接为一个长为$(100 - x)\mathrm{m}$、宽为$(80 - x)\mathrm{m}$的矩形。
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，绿化面积等于新矩形的面积，因此可列方程：
$(100 - x)(80 - x) = 7644$
方法2（总面积减道路面积）：原矩形场地总面积为$100×80\ \mathrm{m}^2$，两条道路的总面积为$(100x + 80x - x^2)\ \mathrm{m}^2$（减去$x^2$是因为两条道路交叉的重叠部分被重复计算了一次），因此绿化面积=总面积-道路面积，即：
$100×80 - (100x + 80x - x^2) = 7644$
整理后和方法1的方程一致，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
3. 图形平移的应用
【点评】
这道题是面积类方程应用的典型题型，采用平移法拼接绿化区域可以有效避免重复计算道路重叠部分的面积，简化列方程的过程，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解决这类道路占地的面积问题，常用平移法简化计算：我们可以把两条互相垂直的道路分别平移到矩形场地的边缘，此时剩余的绿化部分会拼接成一个完整的新矩形，只需要表示出新矩形的长和宽，再结合绿化面积就能列出方程。新矩形的长等于原场地长减去道路的宽，即$(100 - x)\mathrm{m}$，新矩形的宽等于原场地宽减去道路的宽，即$(80 - x)\mathrm{m}$，新矩形的面积就是绿化面积$7644\mathrm{m}^2$，据此即可得到对应方程。
【解析】
方法1（平移法）：将竖直道路向右平移，水平道路向下平移，剩余绿化部分拼接为一个长为$(100 - x)\mathrm{m}$、宽为$(80 - x)\mathrm{m}$的矩形。
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，绿化面积等于新矩形的面积，因此可列方程：
$(100 - x)(80 - x) = 7644$
方法2（总面积减道路面积）：原矩形场地总面积为$100×80\ \mathrm{m}^2$，两条道路的总面积为$(100x + 80x - x^2)\ \mathrm{m}^2$（减去$x^2$是因为两条道路交叉的重叠部分被重复计算了一次），因此绿化面积=总面积-道路面积，即：
$100×80 - (100x + 80x - x^2) = 7644$
整理后和方法1的方程一致，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
3. 图形平移的应用
【点评】
这道题是面积类方程应用的典型题型，采用平移法拼接绿化区域可以有效避免重复计算道路重叠部分的面积，简化列方程的过程，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
3.如图,矩形绿地ABCD的长AB为42 m,宽BC为30 m,黑色区域为宽度相等的一条“7”形的健身用鹅卵石小路,若鹅卵石小路的面积为140 m²,则小路的宽BE为 m.
答案
解：设小路的宽BE为x m，
根据题意，空白部分为矩形，其长为$(42 - x)\ \mathrm{m}$，宽为$(30 - x)\ \mathrm{m}$，
列方程得：
$(42 - x)(30 - x) = 42×30 - 140$
整理得：$x^2 - 72x + 140 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 70) = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 70$
$\because x=70＞30$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore x=2$。
答：小路的宽BE为$\boldsymbol{2}$ m。
根据题意，空白部分为矩形，其长为$(42 - x)\ \mathrm{m}$，宽为$(30 - x)\ \mathrm{m}$，
列方程得：
$(42 - x)(30 - x) = 42×30 - 140$
整理得：$x^2 - 72x + 140 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 70) = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 70$
$\because x=70＞30$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore x=2$。
答：小路的宽BE为$\boldsymbol{2}$ m。
解析
【分析】
这是一道结合几何面积的一元二次方程应用题，解题可采用间接法计算面积：首先设小路的宽为x m，先计算整个矩形绿地的总面积，观察可知空白部分也为矩形，它的长等于原矩形的长减去小路宽x，宽等于原矩形的宽减去小路宽x，再根据“空白部分面积=矩形总面积-小路面积”的等量关系列出一元二次方程，求解后结合实际情况舍去不符合题意的根，即可得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽BE为x m，
由题意可知空白部分为矩形，其长为$(42 - x)\ \mathrm{m}$，宽为$(30 - x)\ \mathrm{m}$，
根据面积关系列方程得：
$(42 - x)(30 - x) = 42×30 - 140$
整理得：$x^2 - 72x + 140 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 70) = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 70$
$\because x=70＞30$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore x=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题核心是找准空白矩形边长与未知数的关系，正确列出方程，求解后要注意结合实际场景对根进行检验，排除不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何面积的一元二次方程应用题，解题可采用间接法计算面积：首先设小路的宽为x m，先计算整个矩形绿地的总面积，观察可知空白部分也为矩形，它的长等于原矩形的长减去小路宽x，宽等于原矩形的宽减去小路宽x，再根据“空白部分面积=矩形总面积-小路面积”的等量关系列出一元二次方程，求解后结合实际情况舍去不符合题意的根，即可得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽BE为x m，
由题意可知空白部分为矩形，其长为$(42 - x)\ \mathrm{m}$，宽为$(30 - x)\ \mathrm{m}$，
根据面积关系列方程得：
$(42 - x)(30 - x) = 42×30 - 140$
整理得：$x^2 - 72x + 140 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 70) = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 70$
$\because x=70＞30$，不符合实际意义，舍去，
$\therefore x=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题核心是找准空白矩形边长与未知数的关系，正确列出方程，求解后要注意结合实际场景对根进行检验，排除不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
4.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划共安排21场比赛,则应邀请多少个球队参加比赛?
答案
解：设应邀请$x$个球队参加比赛。
根据题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理，得$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解，得$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$
因为球队数量为正整数，$x=-6$不符合实际意义，舍去。
答：应邀请7个球队参加比赛。
根据题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理，得$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解，得$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$
因为球队数量为正整数，$x=-6$不符合实际意义，舍去。
答：应邀请7个球队参加比赛。
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的规则：每两队之间只赛1场，无重复场次。若有$x$个球队，每个球队需要和其余$(x-1)$个球队各赛1场，此时总场次会被重复计算2次（比如甲队vs乙队和乙队vs甲队是同一场比赛），因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场次21场，即可列出一元二次方程求解，最后要注意球队数量为正整数，需舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：设应邀请$x$个球队参加比赛。
根据题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理，得$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解，得$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$
因为球队数量为正整数，$x=-6$不符合实际意义，舍去。
答：应邀请7个球队参加比赛。
【答案】
7个
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 单循环赛制计数
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的比赛场次类实际应用题，解题核心是正确理解单循环赛制的计数逻辑，避免重复计算场次，同时要注意对一元二次方程的解进行合理性检验，舍去不符合实际情况的根。
【难度系数】
0.8
首先明确单循环赛制的规则：每两队之间只赛1场，无重复场次。若有$x$个球队，每个球队需要和其余$(x-1)$个球队各赛1场，此时总场次会被重复计算2次（比如甲队vs乙队和乙队vs甲队是同一场比赛），因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场次21场，即可列出一元二次方程求解，最后要注意球队数量为正整数，需舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：设应邀请$x$个球队参加比赛。
根据题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理，得$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解，得$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$
因为球队数量为正整数，$x=-6$不符合实际意义，舍去。
答：应邀请7个球队参加比赛。
【答案】
7个
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 单循环赛制计数
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的比赛场次类实际应用题，解题核心是正确理解单循环赛制的计数逻辑，避免重复计算场次，同时要注意对一元二次方程的解进行合理性检验，舍去不符合实际情况的根。
【难度系数】
0.8
