10. 两个圆柱的底面半径均为 30 cm，高均为50 cm，将这两个圆柱的侧面展开图粘成一个大的矩形（不重叠），然后再将它卷成与原来圆柱等高的圆柱的侧面，求新卷成的圆柱的体积.（结果保留 π）

10.【解】因为两个圆柱的底面半径均为 30 cm,高均为 50 cm,所以它们的侧面展开图的长是 2π×30=60π(cm),所以新卷成的圆柱的侧面的长为120π cm.
设新卷成的圆柱的底面半径为 r cm,则2πr=120π,解得 r=60,
所以新卷成的圆柱的体积为 πr²×50=3 600π×50=180 000π(cm³).

11. 小明学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图①、图②所示.请根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)【动手操作】
现在小明想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图③)，请你帮助小明在图①中补全图形(补出来一种即可)；
(2)【解决问题】
经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，它的边长是长方体高的5倍，根据图①中的数据，求这个纸盒的体积.

11.【解】(1)如图,有四种补法,任选其一即可.
(2)由题图知,长方体底面正方形的边长为 10cm.因为正方形边长是长方体高的 5 倍,所以长方体高为 2cm.
所以这个纸盒的体积为 10×10×2=200(cm³).

12. 新视角 操作实践题 某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为$a$ cm的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）。

【操作一】根据图①方式制作一个无盖的长方体纸盒。方法:先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为$b$ cm的小正方形，再沿虚线折起来。
【问题解决】
(1)若$a=12,b=3$，则长方体纸盒的底面积为。
【操作二】根据图②方式制作一个有盖的长方体纸盒。方法:先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为$b$ cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折起来。
【拓展延伸】
(2)若$a=12,b=2$，则该长方体纸盒的体积为。
(3)现有两张边长为$a$ cm的正方形纸板，分别按图①、图②的要求制作无盖和有盖的两个长方体纸盒，若$a=30,b=5$，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍。

12.【解】(1)36 cm²
(2)64 cm³ 【点拨】如题图②,先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为 b cm 的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折起来可得到长为(a-2b) cm,宽为$\frac{a-2b}{2}$ cm,高为 b cm 的长方体.当 a=12,b=2 时,该长方体纸盒的长为 12-2×2=8(cm),宽为$\frac{12-2×2}{2}$=4(cm),高为 2 cm,
所以体积为 8×4×2=64(cm³).
(3)当 a=30,b=5 时,
按题图①制作的无盖长方体纸盒的体积为(30-5×2)×(30-5×2)×5=2 000(cm³),
按题图②制作的有盖长方体纸盒的体积为(30-5×2)×$(\frac{30-5×2}{2})$×5=1 000(cm³).
因为 2 000÷1 000=2,
所以无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的 2 倍.