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6.如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向上,对称轴为直线$x=1$,图象经过点$(3,0)$,下列结论中,正确的一项是 (
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$a-b+c=0$
D.$a+b+c＞0$
C
)A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$a-b+c=0$
D.$a+b+c＞0$
答案
C
解析
【分析】
解决这类二次函数图象判断结论的问题，思路如下：第一步，先根据开口方向、对称轴位置、图象与y轴的交点位置，确定系数a、b、c的符号；第二步，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$推导a和b的数量关系；第三步，利用二次函数的对称性，找到已知x轴交点关于对称轴的对称点，再代入特殊x值（如x=1、x=-1等）计算对应的函数值，逐一验证选项是否正确。
【解析】
①判断a、b、c的符号：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a＜0$；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
②逐一判断选项：
A选项：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc＞0$，故A错误；
B选项：由$b=-2a$，得$2a+b=0$，故B错误；
C选项：
∵抛物线对称轴为$x=1$，点$(3,0)$关于直线$x=1$的对称点横坐标为$2×1-3=-1$，即点$(-1,0)$也在抛物线上，将$x=-1$代入函数解析式得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c=0$，故C正确；
D选项：$a+b+c$是$x=1$时的函数值，由图可知$x=1$时抛物线顶点在x轴下方，即$y＜0$，故$a+b+c＜0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的对称性；二次函数的函数值
【点评】
本题是二次函数图象与性质的常考题型，解题核心是熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点等性质与系数的对应关系，结合对称性推导特殊点的函数值即可快速判断结论。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数图象判断结论的问题，思路如下：第一步，先根据开口方向、对称轴位置、图象与y轴的交点位置，确定系数a、b、c的符号；第二步，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$推导a和b的数量关系；第三步，利用二次函数的对称性，找到已知x轴交点关于对称轴的对称点，再代入特殊x值（如x=1、x=-1等）计算对应的函数值，逐一验证选项是否正确。
【解析】
①判断a、b、c的符号：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a＜0$；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
②逐一判断选项：
A选项：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc＞0$，故A错误；
B选项：由$b=-2a$，得$2a+b=0$，故B错误；
C选项：
∵抛物线对称轴为$x=1$，点$(3,0)$关于直线$x=1$的对称点横坐标为$2×1-3=-1$，即点$(-1,0)$也在抛物线上，将$x=-1$代入函数解析式得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c=0$，故C正确；
D选项：$a+b+c$是$x=1$时的函数值，由图可知$x=1$时抛物线顶点在x轴下方，即$y＜0$，故$a+b+c＜0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的对称性；二次函数的函数值
【点评】
本题是二次函数图象与性质的常考题型，解题核心是熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点等性质与系数的对应关系，结合对称性推导特殊点的函数值即可快速判断结论。
【难度系数】
0.7
▲7.若一次函数$y=ax+b$的图象经过第二、三、四象限，则二次函数$y=ax^2+bx$的图象只可能是（
C
）答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知的一次函数图象特征入手，先推导a、b的符号，再利用二次函数图象和系数的关系逐一排除错误选项：第一步，根据一次函数经过的象限，结合一次函数图象性质判断a、b的正负；第二步，由a的符号确定二次函数的开口方向，排除开口方向不符的选项；第三步，利用二次函数对称轴公式计算对称轴位置，最终锁定正确选项。
【解析】
1. 推导一次函数的系数符号：
已知一次函数$y=ax+b$经过第二、三、四象限，可得：
斜率为负，即$a＜0$；与y轴交点在负半轴，即$b＜0$。
2. 分析二次函数$y=ax^2+bx$的图象特征：
① 开口方向：二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的选项A、B。
② 对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$、$b＜0$可得：
分子$-b＞0$，分母$2a＜0$，因此$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧。
观察剩余选项，C的对称轴在y轴左侧，D的对称轴在y轴右侧，因此D错误，C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象类的典型题型，需要熟练掌握一次、二次函数的系数和图象特征的对应关系，通过逐步推导排除错误选项即可求解，对函数性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的一次函数图象特征入手，先推导a、b的符号，再利用二次函数图象和系数的关系逐一排除错误选项：第一步，根据一次函数经过的象限，结合一次函数图象性质判断a、b的正负；第二步，由a的符号确定二次函数的开口方向，排除开口方向不符的选项；第三步，利用二次函数对称轴公式计算对称轴位置，最终锁定正确选项。
【解析】
1. 推导一次函数的系数符号：
已知一次函数$y=ax+b$经过第二、三、四象限，可得：
斜率为负，即$a＜0$；与y轴交点在负半轴，即$b＜0$。
2. 分析二次函数$y=ax^2+bx$的图象特征：
① 开口方向：二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的选项A、B。
② 对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$、$b＜0$可得：
分子$-b＞0$，分母$2a＜0$，因此$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧。
观察剩余选项，C的对称轴在y轴左侧，D的对称轴在y轴右侧，因此D错误，C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象类的典型题型，需要熟练掌握一次、二次函数的系数和图象特征的对应关系，通过逐步推导排除错误选项即可求解，对函数性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
8. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 中，$ a＞0, b＜0, c＜0 $，则其图象的顶点是在第
四
象限。答案
四
解析
【分析】
要判断二次函数顶点所在象限，需先明确顶点横、纵坐标的符号。首先回忆二次函数顶点坐标公式，分别得到顶点横、纵坐标的表达式，再结合题目给出的a、b、c的正负性，分别判断横、纵坐标的符号，最后根据象限内点的坐标符号特征即可确定顶点所在象限。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$( -\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac-b^2}{4a} )$。
1. 判断横坐标符号：
已知$a＞0$，$b＜0$，则$-b＞0$，因此$-\dfrac{b}{2a} = \dfrac{\mathrm{正数}}{\mathrm{正数}} ＞ 0$，顶点横坐标为正。
2. 判断纵坐标符号：
已知$a＞0$，$c＜0$，则$4ac＜0$；又$b^2≥0$，因此$4ac - b^2 ＜ 0$，分母$4a＞0$，故$\dfrac{4ac-b^2}{4a} = \dfrac{\mathrm{负数}}{\mathrm{正数}} ＜ 0$，顶点纵坐标为负。
横坐标为正、纵坐标为负的点位于第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 二次函数图象与系数的关系
3. 象限内点的符号特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点坐标公式的掌握，以及结合系数符号判断代数式正负的能力，熟练掌握相关公式和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数顶点所在象限，需先明确顶点横、纵坐标的符号。首先回忆二次函数顶点坐标公式，分别得到顶点横、纵坐标的表达式，再结合题目给出的a、b、c的正负性，分别判断横、纵坐标的符号，最后根据象限内点的坐标符号特征即可确定顶点所在象限。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$( -\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac-b^2}{4a} )$。
1. 判断横坐标符号：
已知$a＞0$，$b＜0$，则$-b＞0$，因此$-\dfrac{b}{2a} = \dfrac{\mathrm{正数}}{\mathrm{正数}} ＞ 0$，顶点横坐标为正。
2. 判断纵坐标符号：
已知$a＞0$，$c＜0$，则$4ac＜0$；又$b^2≥0$，因此$4ac - b^2 ＜ 0$，分母$4a＞0$，故$\dfrac{4ac-b^2}{4a} = \dfrac{\mathrm{负数}}{\mathrm{正数}} ＜ 0$，顶点纵坐标为负。
横坐标为正、纵坐标为负的点位于第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 二次函数图象与系数的关系
3. 象限内点的符号特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点坐标公式的掌握，以及结合系数符号判断代数式正负的能力，熟练掌握相关公式和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 -2x -5$关于y轴对称的抛物线的函数表达式为
$y=\frac{1}{3}x^2+2x-5$
。答案
$y=\frac{1}{3}x^2+2x-5$
解析
【分析】
要求抛物线关于y轴对称的函数表达式，可利用关于y轴对称的点的坐标特征求解：平面内任意一点$(x,y)$关于y轴对称的点坐标为$(-x,y)$，即对称后的抛物线上的任意点$(x,y)$，都对应原抛物线上的点$(-x,y)$，因此只需将原抛物线解析式中的$x$替换为$-x$，化简后即可得到所求解析式；也可先将原抛物线化为顶点式，找到顶点的对称点，结合开口方向、大小不变的特点，写出新的解析式。
【解析】
方法一（坐标替换法）：
根据关于y轴对称的点的坐标规律，将原抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 -2x -5$中的$x$替换为$-x$，代入得：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{3}(-x)^2 -2×(-x) -5\\&=\frac{1}{3}x^2 +2x -5\end{aligned}$
方法二（顶点法）：
先将原抛物线配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{3}x^2 -2x -5\\&=\frac{1}{3}(x^2-6x) -5\\&=\frac{1}{3}(x-3)^2 -8\end{aligned}$
原抛物线顶点为$(3,-8)$，二次项系数$a=\frac{1}{3}$，关于y轴对称后，新抛物线顶点为$(-3,-8)$，$a$不变，因此新抛物线解析式为：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{3}(x+3)^2 -8\\&=\frac{1}{3}x^2 +2x -5\end{aligned}$
【答案】
$y=\frac{1}{3}x^2+2x-5$
【知识点】
二次函数的轴对称变换；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，解题的关键是掌握轴对称前后图象的对应关系，既可以通过整体坐标替换快速求解，也可以通过顶点的对称结合二次项系数不变的特点推导，方法灵活，掌握规律后可快速解决同类变换问题。
【难度系数】
0.8
要求抛物线关于y轴对称的函数表达式，可利用关于y轴对称的点的坐标特征求解：平面内任意一点$(x,y)$关于y轴对称的点坐标为$(-x,y)$，即对称后的抛物线上的任意点$(x,y)$，都对应原抛物线上的点$(-x,y)$，因此只需将原抛物线解析式中的$x$替换为$-x$，化简后即可得到所求解析式；也可先将原抛物线化为顶点式，找到顶点的对称点，结合开口方向、大小不变的特点，写出新的解析式。
【解析】
方法一（坐标替换法）：
根据关于y轴对称的点的坐标规律，将原抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 -2x -5$中的$x$替换为$-x$，代入得：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{3}(-x)^2 -2×(-x) -5\\&=\frac{1}{3}x^2 +2x -5\end{aligned}$
方法二（顶点法）：
先将原抛物线配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{3}x^2 -2x -5\\&=\frac{1}{3}(x^2-6x) -5\\&=\frac{1}{3}(x-3)^2 -8\end{aligned}$
原抛物线顶点为$(3,-8)$，二次项系数$a=\frac{1}{3}$，关于y轴对称后，新抛物线顶点为$(-3,-8)$，$a$不变，因此新抛物线解析式为：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{3}(x+3)^2 -8\\&=\frac{1}{3}x^2 +2x -5\end{aligned}$
【答案】
$y=\frac{1}{3}x^2+2x-5$
【知识点】
二次函数的轴对称变换；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，解题的关键是掌握轴对称前后图象的对应关系，既可以通过整体坐标替换快速求解，也可以通过顶点的对称结合二次项系数不变的特点推导，方法灵活，掌握规律后可快速解决同类变换问题。
【难度系数】
0.8
10.若二次函数的图象对称轴是直线$x=\frac{3}{2}$，并且图象过$A(0,-4)$和$B(4,0)$.
(1)求此二次函数图象上点$A$关于对称轴$x=\frac{3}{2}$对称的点$A'$的坐标.
(2)求此二次函数的表达式.
(3)画出这个二次函数的图象.
(1)求此二次函数图象上点$A$关于对称轴$x=\frac{3}{2}$对称的点$A'$的坐标.
(2)求此二次函数的表达式.
(3)画出这个二次函数的图象.
答案
(1)$A'(3,-4)$ (2)$y=(x-\frac{3}{2})^2 -\frac{25}{4}$ (3)图略
解析
【分析】
(1) 求解对称点坐标：关于直线x=m对称的两点，纵坐标相同，横坐标的平均值等于m，据此可计算A点对称点的坐标。
(2) 求解二次函数表达式：已知二次函数对称轴，优先选用顶点式设解析式，再将已知的两个点坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程组，解方程组求出系数即可得到解析式。
(3) 画二次函数图象：按照列表、描点、连线的步骤，选取对称轴附近的点以及与坐标轴的交点等特殊点，绘制平滑曲线即可。
【解析】
(1) 设点A关于对称轴$x=\frac{3}{2}$对称的点$A'$的坐标为$(x,-4)$，根据对称点的性质，两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标：
$\frac{0+x}{2}=\frac{3}{2}$，解得$x=3$，因此$A'$的坐标为$(3,-4)$。
(2) 已知二次函数对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，设二次函数的顶点式为$y=a(x-\frac{3}{2})^2 +k$（$a≠0$）。
将$A(0,-4)$代入得：$a·(0-\frac{3}{2})^2 +k=-4$，即$\frac{9}{4}a +k=-4$ ①；
将$B(4,0)$代入得：$a·(4-\frac{3}{2})^2 +k=0$，即$\frac{25}{4}a +k=0$ ②；
用②-①消去k得：$\frac{16}{4}a=4$，解得$a=1$；
将$a=1$代入①得：$\frac{9}{4} +k=-4$，解得$k=-\frac{25}{4}$；
因此二次函数的表达式为$y=(x-\frac{3}{2})^2 -\frac{25}{4}$。
(3) 绘制图象步骤：①列表：选取$x=-1,0,\frac{3}{2},3,4$等点，计算对应y值分别为$0,-4,-\frac{25}{4},-4,0$；②描点：在平面直角坐标系中描出上述点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象。
【答案】
(1)$A'(3,-4)$ (2)$y=(x-\frac{3}{2})^2 -\frac{25}{4}$ (3)图略
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数图象绘制
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，重点考察对称轴的应用、待定系数法求解解析式的方法以及二次函数图象的绘制步骤，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求解对称点坐标：关于直线x=m对称的两点，纵坐标相同，横坐标的平均值等于m，据此可计算A点对称点的坐标。
(2) 求解二次函数表达式：已知二次函数对称轴，优先选用顶点式设解析式，再将已知的两个点坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程组，解方程组求出系数即可得到解析式。
(3) 画二次函数图象：按照列表、描点、连线的步骤，选取对称轴附近的点以及与坐标轴的交点等特殊点，绘制平滑曲线即可。
【解析】
(1) 设点A关于对称轴$x=\frac{3}{2}$对称的点$A'$的坐标为$(x,-4)$，根据对称点的性质，两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标：
$\frac{0+x}{2}=\frac{3}{2}$，解得$x=3$，因此$A'$的坐标为$(3,-4)$。
(2) 已知二次函数对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，设二次函数的顶点式为$y=a(x-\frac{3}{2})^2 +k$（$a≠0$）。
将$A(0,-4)$代入得：$a·(0-\frac{3}{2})^2 +k=-4$，即$\frac{9}{4}a +k=-4$ ①；
将$B(4,0)$代入得：$a·(4-\frac{3}{2})^2 +k=0$，即$\frac{25}{4}a +k=0$ ②；
用②-①消去k得：$\frac{16}{4}a=4$，解得$a=1$；
将$a=1$代入①得：$\frac{9}{4} +k=-4$，解得$k=-\frac{25}{4}$；
因此二次函数的表达式为$y=(x-\frac{3}{2})^2 -\frac{25}{4}$。
(3) 绘制图象步骤：①列表：选取$x=-1,0,\frac{3}{2},3,4$等点，计算对应y值分别为$0,-4,-\frac{25}{4},-4,0$；②描点：在平面直角坐标系中描出上述点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象。
【答案】
(1)$A'(3,-4)$ (2)$y=(x-\frac{3}{2})^2 -\frac{25}{4}$ (3)图略
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数图象绘制
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，重点考察对称轴的应用、待定系数法求解解析式的方法以及二次函数图象的绘制步骤，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
