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1. 如图所示,质量分布均匀、可绕$O$点转动的杠杆自重$G_{0}=10\ {N}$,$C$为杠杆的中点,现在杠杆$B$点挂一重为$G=$$4\ {N}$的物体. 已知$OA=1.6\ {m}$,$OB=0.4\ {m}$.(忽略摩擦)
(1) 若用作用在$A$点且始终竖直向上的力$F$,将重物竖直匀速提升$0.1\ {m}$,求力$F$所做的功的大小.
(2) 求此时杠杆的机械效率.
(3) 若将此重物的悬挂点从$B$点移动到$C$点,力$F$依然作用在$A$点,方向也始终保持竖直向上不变,将同样的重物竖直匀速提升相同的高度,则此时杠杆的机械效率
上
分
秘
籍
(1) 若用作用在$A$点且始终竖直向上的力$F$,将重物竖直匀速提升$0.1\ {m}$,求力$F$所做的功的大小.
(2) 求此时杠杆的机械效率.
(3) 若将此重物的悬挂点从$B$点移动到$C$点,力$F$依然作用在$A$点,方向也始终保持竖直向上不变,将同样的重物竖直匀速提升相同的高度,则此时杠杆的机械效率
提高
(选填“提高”“降低”或“不变”),请说明你的理由(写出相应的公式并对其进行说明).上
分
秘
籍
答案
1. (1) 2.4 J (2) 16.7% (3) 提高 见解析
解析:(1) 杠杆质量分布均匀,重心在C点,将重物竖直提升0.1 m时,由比例关系可知,杠杆重心上升的高度$h'=\frac{l_{OC}}{l_{OB}}h=\frac{0.8\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}}×0.1\ \mathrm{m}=0.2\ \mathrm{m}$,则提升重物做的额外功$W_{\mathrm{额外}}=G_0h'=10\ \mathrm{N}×0.2\ \mathrm{m}=2\ \mathrm{J}$,有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=4\ \mathrm{N}×0.1\ \mathrm{m}=0.4\ \mathrm{J}$,力F做的功$W_F=W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}=0.4\ \mathrm{J}+2\ \mathrm{J}=2.4\ \mathrm{J}$.(2) 杠杆的机械效率$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_F}×100\%=\frac{0.4\ \mathrm{J}}{2.4\ \mathrm{J}}×100\%≈16.7\%$.(3) 将此重物的悬挂点从B点移动到C点,力F依然作用在A点,方向也始终保持竖直向上不变,将同样的重物竖直匀速提升相同的高度,因为杠杆升高的高度变小,故克服杠杆重力做的功变小,在做相同的有用功时,额外功变小,根据$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}}×100\%$可知,杠杆的机械效率提高.
方法归纳
如图所示,用竖直向上的力F通过杠杆把重为G的物体匀速提高,h为物体上升的高度,s为力的作用点在力F的方向上移动的距离,则有用功为$W_{\mathrm{有用}}=Gh$,总功为$W_{\mathrm{总}}=Fs$,额外功为克服杠杆自重和摩擦力做的功,机械效率为$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%$.
解析
【分析】
解题时首先明确，忽略摩擦的情况下，拉力做的总功等于提升重物的有用功与克服杠杆自重的额外功之和。第一问中，利用几何相似的比例关系：杠杆上各点上升的高度与该点到支点O的距离成正比，先由重物上升高度算出杠杆重心上升的高度，分别求出有用功和额外功，相加即可得到拉力F做的总功。第二问直接代入机械效率的定义式即可计算出结果。第三问分析悬挂点移动后的变化：将重物移到更远的C点，提升重物到相同高度时，杠杆转过的角度更小，杠杆自身重心上升的高度更低，克服杠杆自重的额外功更小，有用功不变的情况下，有用功占总功的比例变大，即可判断机械效率的变化。
【解析】
(1) 已知OA=1.6m，C为杠杆中点，因此OC=0.8m。重物上升高度h=0.1m，由杠杆转动的几何比例关系可得，杠杆重心C上升的高度：
$h'=\frac{OC}{OB}h=\frac{0.8\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}} × 0.1\ \mathrm{m}=0.2\ \mathrm{m}$
提升重物做的有用功：
$W_{\mathrm{有用}}=Gh=4\ \mathrm{N} × 0.1\ \mathrm{m}=0.4\ \mathrm{J}$
克服杠杆自重做的额外功：
$W_{\mathrm{额外}}=G_0h'=10\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m}=2\ \mathrm{J}$
忽略摩擦，拉力F做的总功等于有用功与额外功之和：
$W_F=W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}=0.4\ \mathrm{J}+2\ \mathrm{J}=2.4\ \mathrm{J}$
(2) 杠杆的机械效率：
$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_F} × 100\%=\frac{0.4\ \mathrm{J}}{2.4\ \mathrm{J}} × 100\% \approx 16.7\%$
(3) 选填“提高”，理由：将重物悬挂点从B移到C，提升重物到相同高度h时，由几何比例关系可知，杠杆重心上升的高度会比之前更小，因此克服杠杆自重做的额外功$W'_{\mathrm{额外}}＜W_{\mathrm{额外}}$，而提升重物的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh$保持不变，根据机械效率公式$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}} × 100\%$，额外功减小，有用功在总功中的占比增大，因此杠杆的机械效率提高。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2.4\ \mathrm{J}}$
(2) $\boldsymbol{\approx16.7\%}$
(3) $\boldsymbol{提高}$，理由如上所述
【知识点】
功的计算，杠杆机械效率，杠杆平衡
【点评】
本题结合杠杆场景考察功和机械效率的相关计算与推导，第一问没有直接要求通过杠杆平衡求拉力，而是通过总功等于有用功加额外功的思路简化计算，降低了计算复杂度；第三问的动态分析需要学生跳出套公式的思维，从机械效率的本质出发，分析有用功、额外功的变化规律，能够有效检验学生对机械效率概念的理解程度。
【难度系数】
0.5
解题时首先明确，忽略摩擦的情况下，拉力做的总功等于提升重物的有用功与克服杠杆自重的额外功之和。第一问中，利用几何相似的比例关系：杠杆上各点上升的高度与该点到支点O的距离成正比，先由重物上升高度算出杠杆重心上升的高度，分别求出有用功和额外功，相加即可得到拉力F做的总功。第二问直接代入机械效率的定义式即可计算出结果。第三问分析悬挂点移动后的变化：将重物移到更远的C点，提升重物到相同高度时，杠杆转过的角度更小，杠杆自身重心上升的高度更低，克服杠杆自重的额外功更小，有用功不变的情况下，有用功占总功的比例变大，即可判断机械效率的变化。
【解析】
(1) 已知OA=1.6m，C为杠杆中点，因此OC=0.8m。重物上升高度h=0.1m，由杠杆转动的几何比例关系可得，杠杆重心C上升的高度：
$h'=\frac{OC}{OB}h=\frac{0.8\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m}} × 0.1\ \mathrm{m}=0.2\ \mathrm{m}$
提升重物做的有用功：
$W_{\mathrm{有用}}=Gh=4\ \mathrm{N} × 0.1\ \mathrm{m}=0.4\ \mathrm{J}$
克服杠杆自重做的额外功：
$W_{\mathrm{额外}}=G_0h'=10\ \mathrm{N} × 0.2\ \mathrm{m}=2\ \mathrm{J}$
忽略摩擦，拉力F做的总功等于有用功与额外功之和：
$W_F=W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}=0.4\ \mathrm{J}+2\ \mathrm{J}=2.4\ \mathrm{J}$
(2) 杠杆的机械效率：
$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_F} × 100\%=\frac{0.4\ \mathrm{J}}{2.4\ \mathrm{J}} × 100\% \approx 16.7\%$
(3) 选填“提高”，理由：将重物悬挂点从B移到C，提升重物到相同高度h时，由几何比例关系可知，杠杆重心上升的高度会比之前更小，因此克服杠杆自重做的额外功$W'_{\mathrm{额外}}＜W_{\mathrm{额外}}$，而提升重物的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh$保持不变，根据机械效率公式$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}} × 100\%$，额外功减小，有用功在总功中的占比增大，因此杠杆的机械效率提高。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2.4\ \mathrm{J}}$
(2) $\boldsymbol{\approx16.7\%}$
(3) $\boldsymbol{提高}$，理由如上所述
【知识点】
功的计算，杠杆机械效率，杠杆平衡
【点评】
本题结合杠杆场景考察功和机械效率的相关计算与推导，第一问没有直接要求通过杠杆平衡求拉力，而是通过总功等于有用功加额外功的思路简化计算，降低了计算复杂度；第三问的动态分析需要学生跳出套公式的思维，从机械效率的本质出发，分析有用功、额外功的变化规律，能够有效检验学生对机械效率概念的理解程度。
【难度系数】
0.5
2. 有一斜面,长为$L$、高为$h$,现用力$F$沿斜面把重为$G$的物体从底端匀速拉到顶端.已知物体受到斜面的摩擦力为$f$,则下列关于该斜面机械效率$\eta$的表达式正确的是 （
$\mathrm{A. }\ \eta=\frac{Gh}{fL}×100\%$
$\mathrm{B. }\ \eta=\frac{Gh}{(F-f)L}×100\%$
$\mathrm{C. }\ \eta=\frac{Gh}{(F+f)L}×100\%$
$\mathrm{D. }\ \eta=\frac{Gh}{Gh+fL}×100\%$
上分秘籍
D
）$\mathrm{A. }\ \eta=\frac{Gh}{fL}×100\%$
$\mathrm{B. }\ \eta=\frac{Gh}{(F-f)L}×100\%$
$\mathrm{C. }\ \eta=\frac{Gh}{(F+f)L}×100\%$
$\mathrm{D. }\ \eta=\frac{Gh}{Gh+fL}×100\%$
上分秘籍
答案
2. D 解析:斜面的高为h,物体的重力为G,拉力做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh$,斜面长为L,拉力为F,拉力做的总功$W_{\mathrm{总}}=FL$,斜面的机械效率$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\frac{Gh}{FL}×100\%$,物体受到斜面的摩擦力为f,拉力做的额外功$W_{\mathrm{额外}}=fL$,拉力做的总功$W_{\mathrm{总}}=W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}=Gh+fL$,机械效率也可以表达为$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{额外}}+W_{\mathrm{有用}}}×100\%=\frac{Gh}{fL+Gh}×100\%$.A选项是有用功与额外功的比值,不是机械效率,故A错误;B选项是有用功与有用功的比值,不是机械效率,故B错误;C选项中,分母是总功与额外功之和,该比值不是机械效率,故C错误;D选项是有用功与总功的比值,是机械效率,故D正确.
方法归纳
如图所示,用力F沿斜面匀速拉动重为G的物体,h为物体升高的高度,l为拉力作用点沿斜面移动的距离,f为物体与斜面间的摩擦力,则有用功为$W_{\mathrm{有用}}=Gh$,总功为$W_{\mathrm{总}}=Fl$,额外功为$W_{\mathrm{额外}}=fl$(克服斜面与物体之间的摩擦力做的功),机械效率$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\frac{Gh}{Fl}×100\%=\frac{Gh}{Gh+fl}×100\%$.
解析
【分析】
解题时首先要紧扣机械效率的核心定义：机械效率是有用功与总功的比值。第一步先明确该场景下的有用功：我们的目的是将重为G的物体提升高度h，因此克服物体重力做的功就是有用功，即$W_有=Gh$。第二步确定额外功：沿斜面拉动物体时，不可避免要克服斜面的摩擦力做功，这部分就是额外功，即$W_额=fL$。第三步根据总功的关系：总功等于有用功加额外功，可得$W_总=W_有+W_额=Gh+fL$。最后将三个功的表达式代入机械效率定义式，再逐一比对四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 计算有用功：使用斜面的目的是将物体提升高度h，因此克服物体重力做的功为有用功：$W_{\mathrm{有用}} = Gh$。
2. 计算额外功：拉动过程中克服斜面摩擦力做的功为额外功：$W_{\mathrm{额外}} = fL$。
3. 推导总功：根据功的关系，拉力做的总功等于有用功与额外功之和：$W_{\mathrm{总}} = W_{\mathrm{有用}} + W_{\mathrm{额外}} = Gh + fL$。
4. 代入机械效率定义式：机械效率$\eta = \frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}} × 100\%$，将总功代入可得$\eta=\frac{Gh}{Gh+fL} × 100\%$。
对各选项逐一判断：
选项A：表达式为有用功与额外功的比值，不符合机械效率定义，错误。
选项B：由总功$W_{\mathrm{总}}=FL$可得$FL - fL = W_{\mathrm{总}} - W_{\mathrm{额外}} = W_{\mathrm{有用}}=Gh$，因此分母$(F-f)L=Gh$，该式结果为100%，不符合实际机械效率的物理意义，错误。
选项C：分母$(F+f)L = FL + fL = W_{\mathrm{总}} + W_{\mathrm{额外}}$，是总功与额外功的和，并非总功，该比值不是机械效率，错误。
选项D：表达式完全符合推导得到的机械效率公式，正确。
【答案】
D
【知识点】
机械效率计算；斜面的功
【点评】
本题重点考察斜面场景下机械效率的推导，易错点是混淆有用功、额外功、总功的边界，误将有用功和额外功的比值当成机械效率。解题时只要牢牢抓住“机械效率是有用功占总功的比例”这个核心定义，区分三类功的物理意义，就能快速排除错误选项得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要紧扣机械效率的核心定义：机械效率是有用功与总功的比值。第一步先明确该场景下的有用功：我们的目的是将重为G的物体提升高度h，因此克服物体重力做的功就是有用功，即$W_有=Gh$。第二步确定额外功：沿斜面拉动物体时，不可避免要克服斜面的摩擦力做功，这部分就是额外功，即$W_额=fL$。第三步根据总功的关系：总功等于有用功加额外功，可得$W_总=W_有+W_额=Gh+fL$。最后将三个功的表达式代入机械效率定义式，再逐一比对四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 计算有用功：使用斜面的目的是将物体提升高度h，因此克服物体重力做的功为有用功：$W_{\mathrm{有用}} = Gh$。
2. 计算额外功：拉动过程中克服斜面摩擦力做的功为额外功：$W_{\mathrm{额外}} = fL$。
3. 推导总功：根据功的关系，拉力做的总功等于有用功与额外功之和：$W_{\mathrm{总}} = W_{\mathrm{有用}} + W_{\mathrm{额外}} = Gh + fL$。
4. 代入机械效率定义式：机械效率$\eta = \frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}} × 100\%$，将总功代入可得$\eta=\frac{Gh}{Gh+fL} × 100\%$。
对各选项逐一判断：
选项A：表达式为有用功与额外功的比值，不符合机械效率定义，错误。
选项B：由总功$W_{\mathrm{总}}=FL$可得$FL - fL = W_{\mathrm{总}} - W_{\mathrm{额外}} = W_{\mathrm{有用}}=Gh$，因此分母$(F-f)L=Gh$，该式结果为100%，不符合实际机械效率的物理意义，错误。
选项C：分母$(F+f)L = FL + fL = W_{\mathrm{总}} + W_{\mathrm{额外}}$，是总功与额外功的和，并非总功，该比值不是机械效率，错误。
选项D：表达式完全符合推导得到的机械效率公式，正确。
【答案】
D
【知识点】
机械效率计算；斜面的功
【点评】
本题重点考察斜面场景下机械效率的推导，易错点是混淆有用功、额外功、总功的边界，误将有用功和额外功的比值当成机械效率。解题时只要牢牢抓住“机械效率是有用功占总功的比例”这个核心定义，区分三类功的物理意义，就能快速排除错误选项得到正确结果。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示,工人用沿斜面向上、大小为 500 N的推力,将重 800 N 的货物从 A 点匀速推至 B点,用时 6 s. 已知 AB 长 3 m,B 距地面高1.5 m. 试求:
(1) 货物在斜面上匀速运动的速度为多少?
(2) 推力做功的功率为多少?
(3) 斜面的机械效率为多少?
(1) 货物在斜面上匀速运动的速度为多少?
(2) 推力做功的功率为多少?
(3) 斜面的机械效率为多少?
答案
3. (1) 0.5 m/s (2) 250 W (3) 80%
解析:(1) 货物在斜面上运动的距离s=3 m,所用时间t=6 s;货物在斜面上运动的速度$v=\frac{s}{t}=\frac{3\ \mathrm{m}}{6\ \mathrm{s}}=0.5\ \mathrm{m/s}$.(2) 推力做功的功率$P=Fv=500\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m/s}=250\ \mathrm{W}$.(3) 在斜面上推力做的功$W_{\mathrm{总}}=Fs=500\ \mathrm{N}×3\ \mathrm{m}=1\ 500\ \mathrm{J}$,做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=800\ \mathrm{N}×1.5\ \mathrm{m}=1\ 200\ \mathrm{J}$,则斜面的机械效率$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\frac{1\ 200\ \mathrm{J}}{1\ 500\ \mathrm{J}}×100\%=80\%$.
解析:(1) 货物在斜面上运动的距离s=3 m,所用时间t=6 s;货物在斜面上运动的速度$v=\frac{s}{t}=\frac{3\ \mathrm{m}}{6\ \mathrm{s}}=0.5\ \mathrm{m/s}$.(2) 推力做功的功率$P=Fv=500\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m/s}=250\ \mathrm{W}$.(3) 在斜面上推力做的功$W_{\mathrm{总}}=Fs=500\ \mathrm{N}×3\ \mathrm{m}=1\ 500\ \mathrm{J}$,做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=800\ \mathrm{N}×1.5\ \mathrm{m}=1\ 200\ \mathrm{J}$,则斜面的机械效率$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\frac{1\ 200\ \mathrm{J}}{1\ 500\ \mathrm{J}}×100\%=80\%$.
解析
【分析】
这是一道斜面相关的力学基础计算题，我们可以分三个小问逐步推导：
1. 第一问求货物匀速运动的速度，题目已经给出货物沿斜面运动的路程s=3m，运动时间t=6s，直接代入速度定义式v=s/t即可计算出结果。
2. 第二问求推力做功的功率，既可以先算出推力做的总功，再用P=W/t计算功率，也可以利用第一问得到的速度，通过功率推导式P=F·v直接计算，过程更简便。
3. 第三问求斜面的机械效率，首先明确斜面的有用功是克服货物重力将货物提升高度做的功，即W有用=Gh，总功是推力沿斜面推动货物做的功，最后代入机械效率的定义式η=W有用/W总×100%就能得到结果，注意不要混淆斜面长度和竖直高度两个物理量。
【解析】
解：
(1) 已知货物沿斜面运动的路程s=3m，运动时间t=6s，根据速度公式：
$v = \frac{s}{t} = \frac{3\ \mathrm{m}}{6\ \mathrm{s}} = 0.5\ \mathrm{m/s}$
(2) 代入推力F=500N和第一问得到的速度v=0.5m/s，利用功率推导式计算：
$P=Fv=500\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m/s} = 250\ \mathrm{W}$
(3) 首先计算推力做的总功：
$W_{\mathrm{总}}=Fs=500\ \mathrm{N} × 3\ \mathrm{m}=1500\ \mathrm{J}$
再计算提升货物做的有用功（克服重力做功）：
$W_{\mathrm{有用}}=Gh=800\ \mathrm{N} × 1.5\ \mathrm{m}=1200\ \mathrm{J}$
最后计算斜面的机械效率：
$\eta = \frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}} × 100\% = \frac{1200\ \mathrm{J}}{1500\ \mathrm{J}} × 100\% = 80\%$
【答案】
(1) 0.5 m/s (2) 250 W (3) 80%
【知识点】
速度计算，功率计算，斜面机械效率
【点评】
本题属于机械功板块的常规基础考题，串联了速度、功率、机械效率多个基础公式的应用，难度较低，核心易错点是区分斜面总功对应的路程和有用功对应的竖直高度，学生只要牢记各物理量的对应关系，就能顺利完成计算。
【难度系数】
0.8
这是一道斜面相关的力学基础计算题，我们可以分三个小问逐步推导：
1. 第一问求货物匀速运动的速度，题目已经给出货物沿斜面运动的路程s=3m，运动时间t=6s，直接代入速度定义式v=s/t即可计算出结果。
2. 第二问求推力做功的功率，既可以先算出推力做的总功，再用P=W/t计算功率，也可以利用第一问得到的速度，通过功率推导式P=F·v直接计算，过程更简便。
3. 第三问求斜面的机械效率，首先明确斜面的有用功是克服货物重力将货物提升高度做的功，即W有用=Gh，总功是推力沿斜面推动货物做的功，最后代入机械效率的定义式η=W有用/W总×100%就能得到结果，注意不要混淆斜面长度和竖直高度两个物理量。
【解析】
解：
(1) 已知货物沿斜面运动的路程s=3m，运动时间t=6s，根据速度公式：
$v = \frac{s}{t} = \frac{3\ \mathrm{m}}{6\ \mathrm{s}} = 0.5\ \mathrm{m/s}$
(2) 代入推力F=500N和第一问得到的速度v=0.5m/s，利用功率推导式计算：
$P=Fv=500\ \mathrm{N} × 0.5\ \mathrm{m/s} = 250\ \mathrm{W}$
(3) 首先计算推力做的总功：
$W_{\mathrm{总}}=Fs=500\ \mathrm{N} × 3\ \mathrm{m}=1500\ \mathrm{J}$
再计算提升货物做的有用功（克服重力做功）：
$W_{\mathrm{有用}}=Gh=800\ \mathrm{N} × 1.5\ \mathrm{m}=1200\ \mathrm{J}$
最后计算斜面的机械效率：
$\eta = \frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}} × 100\% = \frac{1200\ \mathrm{J}}{1500\ \mathrm{J}} × 100\% = 80\%$
【答案】
(1) 0.5 m/s (2) 250 W (3) 80%
【知识点】
速度计算，功率计算，斜面机械效率
【点评】
本题属于机械功板块的常规基础考题，串联了速度、功率、机械效率多个基础公式的应用，难度较低，核心易错点是区分斜面总功对应的路程和有用功对应的竖直高度，学生只要牢记各物理量的对应关系，就能顺利完成计算。
【难度系数】
0.8
