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1 下列说法错误的是(
A.过线段的中点且垂直于该条线段的直线是线段的垂直平分线
B.线段的垂直平分线垂直于该线段
C.过线段上的一点且垂直于线段的直线是线段的垂直平分线
D.线段的垂直平分线平分该线段
C
)A.过线段的中点且垂直于该条线段的直线是线段的垂直平分线
B.线段的垂直平分线垂直于该线段
C.过线段上的一点且垂直于线段的直线是线段的垂直平分线
D.线段的垂直平分线平分该线段
答案
1.C 【解析】过线段的中点且垂直于该条线段的直线是线段的垂直平分线，故A选项的说法正确，C选项的说法错误;线段的垂直平分线既垂直于该线段，又平分该线段，故B、D选项的说法正确.故选C.
2 [2025 江苏盐城东台调研]关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.
其中正确的说法有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.0 个
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.
其中正确的说法有(
B
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.0 个
答案
2.B 【解析】①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确;②线段的垂直平分线是一条直线，正确;③线段有两条对称轴：一条是这条线段的垂直平分线，另一条是这条线段所在的直线，故原说法错误.综上，正确的说法有2个.故选B.
3 [2025 四川成都期中]如图，将三角形纸片 $ ABC $ 的一角沿 $ AB $ 的垂直平分线翻折，折痕为 $ DE $，已知 $ △ ACD $ 的周长是 20，$ AE = 6 $，则 $ △ ABC $ 的周长是
]
32
.]答案
3.32 【解析】因为DE为AB的垂直平分线，AE=6，所以BE=AE=6，BD=AD.因为$C_{△ ACD}=20=AD+AC+DC$，则$C_{△ ABC}=AB+BC+AC=AE+BE+BD+DC+AC=AE+BE+AD+DC+AC=6+6+20=32$.故答案为32.
4 [2024 江苏南京校级期末]如图，已知射线 $ AD $ 平分 $ ∠ BAC $.
(1)请用尺规作出 $ BC $ 的垂直平分线，交 $ AD $ 于点 $ P $，交 $ BC $ 于点 $ Q $，交 $ AB $ 于点 $ R $，不写作法，保留作图痕迹；
(2)若 $ ∠ B = 30^{\circ} $，$ ∠ C = 50^{\circ} $，求 $ ∠ DPQ $ 的度数.
]
(1)请用尺规作出 $ BC $ 的垂直平分线，交 $ AD $ 于点 $ P $，交 $ BC $ 于点 $ Q $，交 $ AB $ 于点 $ R $，不写作法，保留作图痕迹；
(2)若 $ ∠ B = 30^{\circ} $，$ ∠ C = 50^{\circ} $，求 $ ∠ DPQ $ 的度数.
]答案
4.【解】(1)如图所示，直线RQ即为所求.
(2)因为$∠B=30^{\circ}$，$∠C=50^{\circ}$，所以$∠BAC=180^{\circ}-30^{\circ}-50^{\circ}=100^{\circ}$.
因为AD平分$∠BAC$，所以$∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC=50^{\circ}$，所以$∠ADC=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$，所以$∠PDQ=∠ADC=80^{\circ}$.
因为QR垂直平分BC，所以$∠PQD=90^{\circ}$，所以$∠DPQ=180^{\circ}-90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}$.
5 [2025 陕西咸阳模拟]如图，在 $ △ ACB $ 中，请用尺规作图法，在边 $ BC $ 上求作一点 $ D $，使 $ AC + BC = 2BD $.（保留作图痕迹，不写作法）
]
]答案
5.【解】如图，点D即为所求.
6 [2025 广东深圳期末]用无刻度直尺和圆规作图：如图，已知 $ △ ABC $，求作：$ BC $ 边上的高. 小明的作图步骤如下，请补全作图步骤，并按照步骤作图.
步骤 1：延长 $ CB $，任取一点 $ N $，使点 $ N $ 与点 $ A $ 在直线 $ CB $ 的两旁；
步骤 2：以 $ AN $ 的长为半径作弧，交直线 $ CB $ 于点 $ P $ 和点 $ Q $；
步骤 3：分别以
步骤 4：连接 $ AF $，交直线 $ CB $ 于点 $ D $，$ AD $ 即为所求.
]
步骤 1：延长 $ CB $，任取一点 $ N $，使点 $ N $ 与点 $ A $ 在直线 $ CB $ 的两旁；
步骤 2：以 $ AN $ 的长为半径作弧，交直线 $ CB $ 于点 $ P $ 和点 $ Q $；
步骤 3：分别以
点P
，点Q
为圆心，以 $ PA $ 长为半径作弧，两弧交于点 $ F $(不与 $ A $ 点重合)；步骤 4：连接 $ AF $，交直线 $ CB $ 于点 $ D $，$ AD $ 即为所求.
]答案
6.【解】步骤1:延长CB，任取一点N，使点N与点A在直线CB的两旁;
步骤2:以AN的长为半径作弧，交直线CB于点P和点Q;
步骤3:分别以点P，点Q为圆心，以PA长为半径作弧，两弧交于点F(不与A点重合);
步骤4:连接AF，交直线CB于点D，AD即为所求.故答案为点P，点Q.按照步骤作图如下:
7 [2024 陕西西安期末改编]如图，$ P $ 是 $ ∠ AOB $ 的边 $ OB $ 上一点.
(1)在图(1)中用直尺和圆规过点 $ P $ 作 $ OA $ 的垂线，垂足为 $ H $；
(2)在图(2)中用直尺和圆规过点 $ P $ 作 $ OB $ 的垂线，交 $ OA $ 于点 $ C $.（保留作图痕迹，不写作法）
]
(1)在图(1)中用直尺和圆规过点 $ P $ 作 $ OA $ 的垂线，垂足为 $ H $；
(2)在图(2)中用直尺和圆规过点 $ P $ 作 $ OB $ 的垂线，交 $ OA $ 于点 $ C $.（保留作图痕迹，不写作法）
]答案
7.【解】(1)如图(1)，PH即为所求.
(2)如图(2)，PC即为所求.
