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4 [2024 山西中考]一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 $G$ 的方向竖直向下，支持力 $F_{1}$ 的方向与斜面垂直，摩擦力 $F_{2}$ 的方向与斜面平行. 若斜面的坡角 $α = 25^{\circ}$，则摩擦力 $F_{2}$ 与重力 $G$ 方向的夹角 $β$ 的度数为(
A.$155^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
C
)A.$155^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
答案
（注：文档中未给出该题答案，answer字段为空）
5 [2025 吉林中考]如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能. 图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角 $α$ 后，能够与它本身重合，则角 $α$ 的大小可以为(
A.$90^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$180^{\circ}$
B
)A.$90^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$180^{\circ}$
答案
（注：文档中未给出该题答案，answer字段为空）
6 [2024 山东枣庄中考]写出满足不等式组 $\begin{cases}x + 2 ≥ 1, \\ 2x - 1 ＜ 5\end{cases}$ 的一个整数解 ______ .
答案
（注：文档中未给出该题答案，answer字段为空）
7 [2025 北京中考改编]能说明命题“若 $a^{2} ＞ 4b^{2}$，则 $a ＞ 2b$”是假命题的一组有理数 $a$，$b$ 的值为 $a =$
-3
，$b =$1
.答案
（注：文档中未给出该题答案，answer字段为空）
8 [2025 陕西中考]如图，已知∠AOB = $50^{\circ}$，点 $C$ 在边 $OA$ 上. 请用尺规作图法，在∠AOB 的内部求作一点 $P$，使得∠AOP = $25^{\circ}$，且 $CP // OB$.（保留作图痕迹，不写作法）
答案
（作图痕迹如下：）
1. 作∠AOB的角平分线OP，射线OP即为∠AOP=25°的边；
2. 过点C作直线CP，使CP//OB（作同位角相等或内错角相等的方法）；
3. OP与CP的交点即为所求点P。
（注：实际答题时需在图上保留尺规作图的弧线痕迹，此处文字仅描述作图步骤对应的痕迹。）
1. 作∠AOB的角平分线OP，射线OP即为∠AOP=25°的边；
2. 过点C作直线CP，使CP//OB（作同位角相等或内错角相等的方法）；
3. OP与CP的交点即为所求点P。
（注：实际答题时需在图上保留尺规作图的弧线痕迹，此处文字仅描述作图步骤对应的痕迹。）
9 [2024 广东深圳三模]
|背景|打开手机外卖软件下单，最快仅用时 10 分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一次经历. 从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分|
|----|----|
|素材 1|某商店在无促销活动时，若买 5 件 A 商品，8 件 B 商品，共需 2400 元；若买 8 件 A 商品，5 件 B 商品，共需 280 元|
|素材 2|该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：
①若消费者花费 250 元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；
②若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售|
|问题解决|
|任务 1|该商店在无促销活动时，求 A，B 商品的销售单价分别是多少|
|任务 2|某科技公司计划在商店促销期间购买 A，B 两款商品共 30 件，其中 A 商品购买 $a$ 件($0 ＜ a ＜ 30$).
①若使用无人机配送商品，则共需要
②若不使用无人机配送商品，则共需要
|任务 3|在任务 2 的条件下，请你帮该科技公司算一算，$a$ 在什么范围时，使用无人机配送商品更合算|
|背景|打开手机外卖软件下单，最快仅用时 10 分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一次经历. 从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分|
|----|----|
|素材 1|某商店在无促销活动时，若买 5 件 A 商品，8 件 B 商品，共需 2400 元；若买 8 件 A 商品，5 件 B 商品，共需 280 元|
|素材 2|该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：
①若消费者花费 250 元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；
②若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售|
|问题解决|
|任务 1|该商店在无促销活动时，求 A，B 商品的销售单价分别是多少|
|任务 2|某科技公司计划在商店促销期间购买 A，B 两款商品共 30 件，其中 A 商品购买 $a$ 件($0 ＜ a ＜ 30$).
①若使用无人机配送商品，则共需要
（187.5a + 1125 + 250）
元；②若不使用无人机配送商品，则共需要
（200a + 1200）
元(结果均用含 $a$ 的代数式表示)||任务 3|在任务 2 的条件下，请你帮该科技公司算一算，$a$ 在什么范围时，使用无人机配送商品更合算|
答案
（注：文档中未给出该题答案，answer字段为空）
4 [2024山西中考] 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力$G$的方向竖直向下，支持力$F_1$的方向与斜面垂直，摩擦力$F_2$的方向与斜面平行。若斜面的坡角$α = 25^{\circ}$，则摩擦力$F_2$与重力$G$方向的夹角$β$的度数为(
A.$155^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
C
)A.$155^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
答案
4. C 【解析】如图,根据题意可得$∠1=180^{\circ }-90^{\circ }-α=180^{\circ }-90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$.$\because ∠1=∠2$,$\therefore ∠2=65^{\circ }$.$\because $摩擦力$F_{2}$的方向与斜面平行,$\therefore β=180^{\circ }-∠2=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$.故选 C.
5 [2025吉林中考] 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能。图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角$α$后，能够与它本身重合，则角$α$的大小可以为(
A.$90^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$180^{\circ}$
B
)A.$90^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$180^{\circ}$
答案
5. B 【解析】整个图案由三个叶片组成,则相邻叶片之间的夹角为$360^{\circ }÷3=120^{\circ }$,故选 B.
6 [2024山东枣庄中考] 写出满足不等式组$\begin{cases}x + 2 ≥ 1 \\ 2x - 1 ＜ 5\end{cases}$的一个整数解 ______ 。
答案
6. -1（答案不唯一） 【解析】$\{\begin{array}{l} x+2≥1,①\\ 2x-1＜5,②\end{array} $由①得$x≥-1$,由②得$x＜3$,$\therefore $该不等式组的解集为$-1≤x＜3$,$\therefore $该不等式组的一个整数解为-1.故答案为-1（答案不唯一）.
7 [2025北京中考改编] 能说明命题“若$a^2 ＞ 4b^2$，则$a ＞ 2b$”是假命题的一组有理数$a$，$b$的值为$a =$
-3
，$b =$1
。答案
7. -3 1(本题答案不唯一) 【解析】当$a=-3$,$b=1$时,$a^{2}＞4b^{2}$,但是$a＜2b$,故答案为-3,1(本题答案不唯一).
8 [2025陕西中考] 如图，已知$∠ AOB = 50^{\circ}$，点$C$在边$OA$上。请用尺规作图法，在$∠ AOB$的内部求作一点$P$，使得$∠ AOP = 25^{\circ}$，且$CP // OB$。（保留作图痕迹，不写作法）
答案
8.【解】如图,点 P 即为所求.(作法不唯一)
9 [2024广东深圳三模]
|背景|打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一次经历。从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分|
|----|----|
|素材1|某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元|
|素材2|该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：
①若消费者花费250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；
②若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售|
|问题解决| |
|任务1|该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少|
|任务2|某科技公司计划在商店促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买$a$件$(0 ＜ a ＜ 30)$。
①若使用无人机配送商品，则共需要
②若不使用无人机配送商品，则共需要
|任务3|在任务2的条件下，请你帮该科技公司算一算，$a$在什么范围时，使用无人机配送商品更合算|
|背景|打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一次经历。从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分|
|----|----|
|素材1|某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元|
|素材2|该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：
①若消费者花费250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；
②若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售|
|问题解决| |
|任务1|该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少|
|任务2|某科技公司计划在商店促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买$a$件$(0 ＜ a ＜ 30)$。
①若使用无人机配送商品，则共需要
(4750 - 30a)
元；②若不使用无人机配送商品，则共需要
(4800 - 32a)
元(结果均用含$a$的代数式表示)||任务3|在任务2的条件下，请你帮该科技公司算一算，$a$在什么范围时，使用无人机配送商品更合算|
答案
9.【解】任务 1:该商店在无促销活动时,设 A 商品的销售单价是 x 元/件,B 商品的销售单价是 y 元/件.根据题意,得$\{\begin{array}{l} 5x+8y=2400,\\ 8x+5y=2280,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=160,\\ y=200.\end{array} $答:该商店在无促销活动时,A 商品的销售单价是160 元/件,B 商品的销售单价是 200 元/件.
任务 2:
∵某科技公司计划在商店促销期间购买 A,B 两款商品共 30 件,其中 A 商品购买 a 件$(0＜a＜30)$,$\therefore $B 商品购买$(30-a)$件.
①若使用无人机配送商品,则共需要$250+160×0.75a+200×0.75(30-a)=(4750-30a)$元.
②若不使用无人机配送商品,则共需要$160×0.8a+200×0.8(30-a)=(4800-32a)$元.
故答案为①$(4750-30a)$,②$(4800-32a)$.
任务 3:根据题意,得$4750-30a＜4800-32a$,解得$a＜25$.又$\because 0＜a＜30$,$\therefore 0＜a＜25$.答:当$0＜a＜25$时,使用无人机配送商品更合算.
任务 2:
∵某科技公司计划在商店促销期间购买 A,B 两款商品共 30 件,其中 A 商品购买 a 件$(0＜a＜30)$,$\therefore $B 商品购买$(30-a)$件.
①若使用无人机配送商品,则共需要$250+160×0.75a+200×0.75(30-a)=(4750-30a)$元.
②若不使用无人机配送商品,则共需要$160×0.8a+200×0.8(30-a)=(4800-32a)$元.
故答案为①$(4750-30a)$,②$(4800-32a)$.
任务 3:根据题意,得$4750-30a＜4800-32a$,解得$a＜25$.又$\because 0＜a＜30$,$\therefore 0＜a＜25$.答:当$0＜a＜25$时,使用无人机配送商品更合算.
