1. 已知 $a:b:c = 2:3:5$，求 $\frac{a + b}{a - 2b + 3c}$ 的值。

$\frac{5}{11}$

设$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 5k$（$k ≠ 0$）。
则$\frac{a + b}{a - 2b + 3c} = \frac{2k + 3k}{2k - 2×3k + 3×5k}$
$=\frac{5k}{2k - 6k + 15k}$
$=\frac{5k}{11k}$
$=\frac{5}{11}$

2. 已知 $\frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z}$，求 $\frac{x + y - z}{x + y + 2z}$ 的值。

设$\frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z} = k$，则有：
$\begin{cases}y + z = kx \\z + x = ky \\x + y = kz\end{cases}$
三式相加得：$2(x + y + z) = k(x + y + z)$。
情况1： 当$x + y + z ≠ 0$时，$k = 2$。由$x + y = kz$得$x + y = 2z$，代入$\frac{x + y - z}{x + y + 2z}$：
$\frac{2z - z}{2z + 2z} = \frac{z}{4z} = \frac{1}{4}$
情况2： 当$x + y + z = 0$时，$x + y = -z$，代入$\frac{x + y - z}{x + y + 2z}$：
$\frac{-z - z}{-z + 2z} = \frac{-2z}{z} = -2$
综上，值为$\frac{1}{4}$或$-2$。

3. (2025·苏州工业园区期末)已知 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$，则 $\frac{2x}{x + y} =$。

$\frac{4}{5}$

设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = k$，则$x = 2k$，$y = 3k$。代入$\frac{2x}{x + y}$得$\frac{2×2k}{2k + 3k} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$。

4. 先化简，再求值：$\frac{a}{a - b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}$，其中 $a$，$b$ 满足 $b - 2a = 0$。

$\frac{2}{3}$

化简过程：
$\begin{aligned}&\frac{a}{a - b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}\\=&\frac{a}{a - b} × \frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)} - \frac{a - b}{a + b}\\=&\frac{a}{a + b} - \frac{a - b}{a + b}\\=&\frac{a - (a - b)}{a + b}\\=&\frac{b}{a + b}\end{aligned}$
求值：
由$b - 2a = 0$得$b = 2a$，代入$\frac{b}{a + b}$：
$\frac{2a}{a + 2a} = \frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}$

5. 已知 $\begin{cases}a + b - c = 0,\\2a - b + 2c = 0,\end{cases}$ 求 $\frac{a + b + c}{3a - 2b + 5c}$ 的值。

$\frac{3}{2}$

由题意得方程组：
$\begin{cases}a + b - c = 0 \\2a - b + 2c = 0\end{cases}$
①+②，得：$3a + c = 0$，则$a = -\frac{c}{3}$。
将$a = -\frac{c}{3}$代入①，得：$-\frac{c}{3} + b - c = 0$，解得$b = \frac{4c}{3}$。
将$a = -\frac{c}{3}$，$b = \frac{4c}{3}$代入分式：
分子：$a + b + c = -\frac{c}{3} + \frac{4c}{3} + c = 2c$；
分母：$3a - 2b + 5c = 3(-\frac{c}{3}) - 2(\frac{4c}{3}) + 5c = -c - \frac{8c}{3} + 5c = \frac{4c}{3}$。
则$\frac{a + b + c}{3a - 2b + 5c} = \frac{2c}{\frac{4c}{3}} = \frac{3}{2}$。

6. 已知 $x$，$y$，$z$ 都不为零，且满足 $4x - 3y - 6z = 0$，$x + 2y - 7z = 0$。求 $\frac{2x - 3y + z}{3x + y - 5z}$ 的值。

由题给条件$4x - 3y - 6z = 0$，$x + 2y - 7z = 0$。
将$4x - 3y - 6z = 0$标记为方程$(1)$，$x + 2y - 7z = 0$标记为方程$(2)$。
用$(2)$式乘以$4$然后减去$(1)$式得：
$4(x + 2y - 7z) - (4x - 3y - 6z) = 0$
$4x+8y-28z-4x + 3y + 6z = 0$
$11y - 22z = 0$
$y = 2z$
将$y = 2z$代入方程$(2)$得：
$x + 4z - 7z = 0$
$x = 3z$
将$x = 3z$和$y = 2z$代入$\frac{2x - 3y + z}{3x + y - 5z}$得：
$\frac{2x - 3y + z}{3x + y - 5z} = \frac{6z - 6z + z}{9z + 2z - 5z}$
$= \frac{1}{6}$
所以，$\frac{2x - 3y + z}{3x + y - 5z}$的值为$\frac{1}{6}$。