1 [中]已知 $ a $ 与 $ b $ 互为相反数，且都不等于 $ 0 $，$ n $ 为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是()

A.$ a^{n} $ 与 $ b^{n} $
B.$ a^{n} $ 与 $ (-b)^{n} $
C.$ a^{2n} $ 与 $ (-b)^{2n} $
D.$ a^{2n+1} $ 与 $ b^{2n+1} $

1. D 【解析】因为 $ a $ 与 $ b $ 互为相反数，所以 $ a + b = 0 $，所以 $ a = -b $。当 $ n $ 为偶数时，$ a^{n} = b^{n} $；当 $ n $ 为奇数时，$ a^{n} $ 与 $ b^{n} $ 互为相反数，故 A 选项不符合题意。$ a^{n} = (-b)^{n} $，故 B 选项不符合题意。$ a^{2n} = (-b)^{2n} $，故 C 选项不符合题意。$ a^{2n + 1} $ 与 $ b^{2n + 1} $ 互为相反数，故 D 选项符合题意。故选 D。

2 [2025 湖南长沙调研，中]计算：$ (-x^{2}) · (-x)^{2} · (-x)^{3} = $。

2. $ x^{7} $ 【解析】原式 $ = (-x^{2}) · x^{2} · (-x^{3}) = x^{2} · x^{2} · x^{3} = x^{7} $，故答案为 $ x^{7} $。

3 [中]计算：$ (a - b)^{2} · (a - b)^{4} + (b - a)^{3} · (a - b)^{3} $。
]

3. 【解】原式 $ = (a - b)^{2 + 4} - (a - b)^{3} · (a - b)^{3} = (a - b)^{6} - (a - b)^{6} = 0 $。

4 [2024 江苏连云港期末，中]计算 $ ( \dfrac{2}{3} )^{2021} × 1.5^{2020} × (-1)^{2021} $ 的结果是()

A.$ \dfrac{2}{3} $
B.$ \dfrac{3}{2} $
C.$ -\dfrac{2}{3} $
D.$ -\dfrac{3}{2} $

4. C 【解析】原式 $ = (\frac{2}{3})^{2020} × 1.5^{2020} × \frac{2}{3} × (-1)^{2021} = (\frac{2}{3} × \frac{3}{2})^{2020} × \frac{2}{3} × (-1)^{2021} = 1^{2020} × \frac{2}{3} × (-1) = -\frac{2}{3} $。故选 C。

5 [2024 江苏无锡质检，中]计算：
（1）$ ( 2 \dfrac{2}{5} )^{11} × ( -\dfrac{5}{6} )^{11} × ( -\dfrac{1}{2} )^{12} $；
（2）$ ( -\dfrac{1}{10} )^{1000} × (-10)^{1001} + ( \dfrac{4}{15} )^{2025} × ( -3 \dfrac{3}{4} )^{2024} $。

5. 【解】(1) 原式 $ = (\frac{12}{5})^{11} × (-\frac{5}{6})^{11} × (\frac{1}{2})^{12} = (\frac{12}{5})^{11} × (-\frac{5}{6})^{11} × (\frac{1}{2})^{11} × \frac{1}{2} = (-\frac{12}{5} × \frac{5}{6} × \frac{1}{2})^{11} × \frac{1}{2} = (-1)^{11} × \frac{1}{2} = -1 × \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} $。
(2) 原式 $ = (-\frac{1}{10})^{1000} × (-10)^{1000} × (-10) + (\frac{4}{15})^{2024} × \frac{4}{15} × (-\frac{15}{4})^{2024} = [-\frac{1}{10} × (-10)]^{1000} × (-10) + (-\frac{15}{4} × \frac{4}{15})^{2024} × \frac{4}{15} = -10 + \frac{4}{15} = -9\frac{11}{15} $。

6 [中]（1）已知 $ 3 × 9^{m} × 27^{m} = 3^{11} $，求 $ m $ 的值。
（2）已知 $ 2x + 5y - 4 = 0 $，求 $ 4^{x} × 32^{y} $ 的值。
]

6. 【解】(1) 因为 $ 3 × 9^{m} × 27^{m} = 3^{11} $，
所以 $ 3 × (3^{2})^{m} × (3^{3})^{m} = 3^{11} $，
所以 $ 3 × 3^{2m} × 3^{3m} = 3^{11} $，
所以 $ 3^{2m + 3m + 1} = 3^{11} $，
所以 $ 2m + 3m + 1 = 11 $，所以 $ m = 2 $。
(2) 因为 $ 2x + 5y - 4 = 0 $，所以 $ 2x + 5y = 4 $，
所以 $ 4^{x} × 32^{y} = (2^{2})^{x} × (2^{5})^{y} = 2^{2x} × 2^{5y} = 2^{2x + 5y} = 2^{4} = 16 $。

7 [2024 江苏盐城期中，中]在数学兴趣小组活动中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣。
阅读下面的材料：

仿照上面的解题思路和方法，试比较 $ 2^{606} $，$ 3^{404} $，$ 4^{202} $ 的大小（用“＜”连接）。

7. 【解】因为 $ 2^{606} = (2^{6})^{101} = 64^{101} $，$ 3^{404} = (3^{4})^{101} = 81^{101} $，$ 4^{202} = (4^{2})^{101} = 16^{101} $，而 $ 16 ＜ 64 ＜ 81 $，所以 $ 4^{202} ＜ 2^{606} ＜ 3^{404} $。

8 [中]若 $ 3^{n} $ 的个位数字是 $ 9 $，则 $ 9^{2023n} $ 的个位数字是。

8. 1 【解析】$ 9^{2023n} = (3^{2})^{2023n} = 3^{4046n} = (3^{n})^{4046} $。因为 $ 3^{n} $ 的个位数字是 9，所以 $ (3^{n})^{2} $ 的个位数字是 1，所以 $ (3^{n})^{4046} $ 的个位数字是 1。故答案为 1。

9 [中]试确定 $ 2^{2022} × 3^{2023} $ 的个位数字。

9. 【解】$ 2^{2022} × 3^{2023} = (2^{2022} × 3^{2022}) × 3 = 6^{2022} × 3 $。因为 $ 6^{1} = 6 $，$ 6^{2} = 36 $，$ 6^{3} = 216 $，…，所以 $ 6^{2022} $ 的个位数字为 6，故 $ 6^{2022} × 3 $ 的个位数字是 8，即 $ 2^{2022} × 3^{2023} $ 的个位数字是 8。