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第一步 学课本
知识点1 乘方 重点
1.概念:求$n$个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂,如$\underbrace{a· a· a· \dots · a}_{n个}$,记作$a^n$,读作“$a$的$n$次方”.在$a^n$中,$a$叫作底数,$n$叫作指数,当$a^n$看作$a$的$n$次方的结果时,也可读作“$a$的$n$次幂”.
2.乘方运算的符号规律
[易错警示] 当底数为负数或分数时,要用括号括起来,若没有括号,则意义不同.如区分$-1^6$与$(-1)^6$:$-1^6$表示6个1相乘后,再取相反数,结果为$-1$;$(-1)^6$表示6个$-1$相乘,结果为1.$(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{8}{27},\dfrac{2^3}{3}=\dfrac{8}{3}$.
【学以致用1】(1)$(-5)^4$表示的意义是
(2)把$(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})$写成幂的形式是
【学以致用2】计算:
(1)$(-5)^4$; (2)$-5^4$; (3)$(-\dfrac{4}{3})^3$; (4)$-\dfrac{4^3}{3}$; (5)$(-1)^{2024}$.
知识点1 乘方 重点
1.概念:求$n$个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂,如$\underbrace{a· a· a· \dots · a}_{n个}$,记作$a^n$,读作“$a$的$n$次方”.在$a^n$中,$a$叫作底数,$n$叫作指数,当$a^n$看作$a$的$n$次方的结果时,也可读作“$a$的$n$次幂”.
2.乘方运算的符号规律
[易错警示] 当底数为负数或分数时,要用括号括起来,若没有括号,则意义不同.如区分$-1^6$与$(-1)^6$:$-1^6$表示6个1相乘后,再取相反数,结果为$-1$;$(-1)^6$表示6个$-1$相乘,结果为1.$(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{8}{27},\dfrac{2^3}{3}=\dfrac{8}{3}$.
【学以致用1】(1)$(-5)^4$表示的意义是
4个-5相乘
,其中底数是-5
,指数是4
;(2)把$(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})$写成幂的形式是
$(-\dfrac{3}{4})^3$
,底数是$-\dfrac{3}{4}$
,指数是3
.【学以致用2】计算:
(1)$(-5)^4$; (2)$-5^4$; (3)$(-\dfrac{4}{3})^3$; (4)$-\dfrac{4^3}{3}$; (5)$(-1)^{2024}$.
答案
学以致用1：
(1) 4个-5相乘，底数是-5，指数是4
(2) 幂的形式是$(-\dfrac{3}{4})^3$，底数是$-\dfrac{3}{4}$，指数是3
学以致用2：
(1) 原式$=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625$.
(2) 原式$=-5×5×5×5=-625$.
(3) 原式$=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{4×4×4}{3×3×3}=-\dfrac{64}{27}$.
(4) 原式$=-\dfrac{4×4×4}{3}=-\dfrac{64}{3}$.
(5) 原式$=\underbrace{(-1)×(-1)×(-1)×\dots×(-1)}_{2024个}=1$.
(1) 4个-5相乘，底数是-5，指数是4
(2) 幂的形式是$(-\dfrac{3}{4})^3$，底数是$-\dfrac{3}{4}$，指数是3
学以致用2：
(1) 原式$=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625$.
(2) 原式$=-5×5×5×5=-625$.
(3) 原式$=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{4×4×4}{3×3×3}=-\dfrac{64}{27}$.
(4) 原式$=-\dfrac{4×4×4}{3}=-\dfrac{64}{3}$.
(5) 原式$=\underbrace{(-1)×(-1)×(-1)×\dots×(-1)}_{2024个}=1$.
解析
【分析】
解题时先回忆乘方的核心概念：乘方是n个相同因数相乘的简便写法，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，尤其注意底数为负数、分数时必须加括号，带括号和不带括号的运算意义完全不同。
做学以致用1时，直接对应乘方定义即可：(1)找到相同因数和因数的个数，就能确定式子意义、底数、指数；(2)数清楚相同因数的个数，把作为底数的负数、分数加括号，就能写出幂的形式。
做学以致用2时，先明确式子的运算意义：带括号的负数/分数乘方，是把括号里的整体作为底数相乘；负号在括号外的，先算正数的乘方，再取相反数；-1的偶次幂为1，奇次幂为-1，按照规则分步计算即可。
【解析】
学以致用1
(1) 根据乘方的定义，$(-5)^4$是4个-5相乘的简便写法，所以它表示4个-5相乘，其中相同的因数-5是底数，因数的个数4是指数。
(2) 式子是3个$-\dfrac{3}{4}$相乘，底数为负数加分数，书写时要加括号，因此写成幂的形式是$(-\dfrac{3}{4})^3$，底数是$-\dfrac{3}{4}$，指数是3。
学以致用2
(1) $(-5)^4$表示4个-5相乘：
原式$=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625$
(2) $-5^4$表示先计算4个5相乘，再取相反数：
原式$=-(5×5×5×5)=-625$
(3) $(-\dfrac{4}{3})^3$表示3个$-\dfrac{4}{3}$相乘，负数的奇次幂为负：
原式$=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{4×4×4}{3×3×3}=-\dfrac{64}{27}$
(4) $-\dfrac{4^3}{3}$表示先计算3个4相乘，再除以3，最后取相反数：
原式$=-\dfrac{4×4×4}{3}=-\dfrac{64}{3}$
(5) $(-1)^{2024}$表示2024个-1相乘，2024是偶数，负数的偶次幂为正：
原式$=1$
【答案】
学以致用1
(1) 4个-5相乘，$-5$，$4$
(2) $(-\dfrac{3}{4})^3$，$-\dfrac{3}{4}$，$3$
学以致用2
(1) $625$；(2) $-625$；(3) $-\dfrac{64}{27}$；(4) $-\dfrac{64}{3}$；(5) $1$
【知识点】
乘方的定义、乘方符号规律、乘方运算
【点评】
本题是乘方模块的基础练习题，侧重考查对乘方概念的理解和基础运算能力，解题的核心是区分底数带括号与不带括号的运算意义差异，尤其是底数为负数、分数时的书写和运算规则，熟练掌握这些内容能为后续有理数混合运算打下坚实基础。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆乘方的核心概念：乘方是n个相同因数相乘的简便写法，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，尤其注意底数为负数、分数时必须加括号，带括号和不带括号的运算意义完全不同。
做学以致用1时，直接对应乘方定义即可：(1)找到相同因数和因数的个数，就能确定式子意义、底数、指数；(2)数清楚相同因数的个数，把作为底数的负数、分数加括号，就能写出幂的形式。
做学以致用2时，先明确式子的运算意义：带括号的负数/分数乘方，是把括号里的整体作为底数相乘；负号在括号外的，先算正数的乘方，再取相反数；-1的偶次幂为1，奇次幂为-1，按照规则分步计算即可。
【解析】
学以致用1
(1) 根据乘方的定义，$(-5)^4$是4个-5相乘的简便写法，所以它表示4个-5相乘，其中相同的因数-5是底数，因数的个数4是指数。
(2) 式子是3个$-\dfrac{3}{4}$相乘，底数为负数加分数，书写时要加括号，因此写成幂的形式是$(-\dfrac{3}{4})^3$，底数是$-\dfrac{3}{4}$，指数是3。
学以致用2
(1) $(-5)^4$表示4个-5相乘：
原式$=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625$
(2) $-5^4$表示先计算4个5相乘，再取相反数：
原式$=-(5×5×5×5)=-625$
(3) $(-\dfrac{4}{3})^3$表示3个$-\dfrac{4}{3}$相乘，负数的奇次幂为负：
原式$=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{4×4×4}{3×3×3}=-\dfrac{64}{27}$
(4) $-\dfrac{4^3}{3}$表示先计算3个4相乘，再除以3，最后取相反数：
原式$=-\dfrac{4×4×4}{3}=-\dfrac{64}{3}$
(5) $(-1)^{2024}$表示2024个-1相乘，2024是偶数，负数的偶次幂为正：
原式$=1$
【答案】
学以致用1
(1) 4个-5相乘，$-5$，$4$
(2) $(-\dfrac{3}{4})^3$，$-\dfrac{3}{4}$，$3$
学以致用2
(1) $625$；(2) $-625$；(3) $-\dfrac{64}{27}$；(4) $-\dfrac{64}{3}$；(5) $1$
【知识点】
乘方的定义、乘方符号规律、乘方运算
【点评】
本题是乘方模块的基础练习题，侧重考查对乘方概念的理解和基础运算能力，解题的核心是区分底数带括号与不带括号的运算意义差异，尤其是底数为负数、分数时的书写和运算规则，熟练掌握这些内容能为后续有理数混合运算打下坚实基础。
【难度系数】
0.85
