1[2025 浙江衢州期中,中]已知$-1＜m＜0$,则$\frac{1}{m}$, $m,m^2$之间的大小关系是 ()

A.$m＜m^2＜\frac{1}{m}$
B.$\frac{1}{m}＜m^2＜m$
C.$m＜\frac{1}{m}＜m^2$
D.$\frac{1}{m}＜m＜m^2$

1.D 【解析】因为 $-1＜m＜0$,所以 $m^2＞0$,$\dfrac{1}{m}＜m＜0$,所以 $\dfrac{1}{m}＜m＜m^2$,故选 D.

2[2025江苏常州期中,较难]已知有理数$a,b$,则$-\dfrac{a+b}{b},\dfrac{b}{a},-\dfrac{a}{a+b}$在数轴上表示的点在原点右侧的个数为 ()

A.0
B.1
C.2
D.无法确定

2.B 【解析】当 $a,b$ 同号时,$-\dfrac{a+b}{b}$,$-\dfrac{a}{a+b}$ 是负数,$\dfrac{b}{a}$ 是正数,所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为 1; 当 $a,b$ 异号且 $a+b＞0$ 时,$-\dfrac{a+b}{b}$,$-\dfrac{a}{a+b}$ 中一正一负,$\dfrac{b}{a}$ 是负数,所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为 1; 当 $a,b$ 异号且 $a+b＜0$ 时,$-\dfrac{a+b}{b}$,$-\dfrac{a}{a+b}$ 中一正一负,$\dfrac{b}{a}$ 是负数,所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为 1. 综上所述,在数轴上表示的点在原点右侧的个数为 1. 故选 B.

3[2025北京海淀区期末,中]定义运算☆: -3a☆b= \begin{cases}a÷ b & (b＞0), \\ -a÷ b & (b＜0),\end{cases}则1☆(-2)的值为 ______ .
4[中]已知|a|=3,|b|=4,且a＜b,则$\frac{a-b}{a+b}$的值为.

3.$-\dfrac{1}{6}$ 【解析】因为 $-3a☆b= \begin{cases}a÷ b & (b＞0), \\ -a÷ b & (b＜0),\end{cases}$$-2＜0$,所以 $1☆(-2) = -3× (-\dfrac{1}{3})☆(-2) = -(-\dfrac{1}{3})÷(-2) = -\dfrac{1}{6}$. 故答案为 $-\dfrac{1}{6}$.
4.$-7$或$-\dfrac{1}{7}$ 【解析】因为 $|a|=3$,$|b|=4$,所以 $a=\pm3$,$b=\pm4$. 因为 $a＜b$,所以当 $a=3$ 时,$b=4$,所以 $\dfrac{a-b}{a+b}=-\dfrac{1}{7}$; 当 $a=-3$ 时,$b=4$,所以 $\dfrac{a-b}{a+b}=-7$,故答案为 $-7$ 或 $-\dfrac{1}{7}$.

5[中]设$a=1÷2÷3÷4,b=1÷(2÷3÷4),c=1÷(2÷3)÷4,d=1÷2÷(3÷4)$,则$(b÷a)÷(c÷d)$的值为.

5.256 【解析】$a=1× \dfrac{1}{2}× \dfrac{1}{3}× \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{24}$,$b=1÷ (\dfrac{2}{3}× \dfrac{1}{4}) = 6$,$c=1÷ \dfrac{2}{3}× \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2}× \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}$,$d=1÷2÷ \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}× \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3}$,$(b÷ a)÷(c÷ d) = \dfrac{b}{a}· \dfrac{d}{c} = \dfrac{bd}{ac}$. 因为 $bd=6× \dfrac{2}{3}=4$,$ac=\dfrac{1}{24}× \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{64}$,所以 $\dfrac{bd}{ac}=256$.

6[中]将一个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”.若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”，则18,19,20,21这四个自然数中最“完美”的数是.

6.18 【解析】18 的正因数有 1,2,3,6,9,18,正奇数因数有 1,3,9,正偶数因数有 2,6,18,所以 18 的“完美指标”是 $[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18 = -\dfrac{13}{18}$; 19 的正因数有 1,19,正奇数因数有 1,19,无正偶数因数,所以 19 的“完美指标”是 $(1+19)÷19 = \dfrac{20}{19}$; 20 的正因数有 1,2,4,5,10,20,正奇数因数有 1,5,正偶数因数有 2,4,10,20,所以 20 的“完美指标”是 $[(1+5)-(2+4+10+20)]÷20 = -\dfrac{3}{2}$; 21 的正因数有 1,3,7,21,正奇数因数有 1,3,7,21,无正偶数因数,所以 21 的“完美指标”是 $(1+3+7+21)÷21 = \dfrac{32}{21}$. 因为 $\left|-\dfrac{13}{18}\right|＜\dfrac{20}{19}＜\left|-\dfrac{3}{2}\right|＜\dfrac{32}{21}$,所以 18 是 18,19,20,21 这四个自然数中最“完美”的数.

7[较难]对于每一个正整数,若它是奇数,则对它乘3再加1,若它是偶数,则对它除以2,以此循环,最终都能够得到1.虽然这个结论还没有得到证明,但举例验证都是正确的,例如:取正整数5,经过下面5步运算可得1,即$5\xrightarrow{×3+1}16\xrightarrow{÷2}8\xrightarrow{÷2}4\xrightarrow{÷2}2\xrightarrow{÷2}1$.若正整数$m$经过6步运算可得到1,则$m$的值为.
8[中]请你先认真阅读材料:
计算:$(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})$.
解:原式的倒数是$(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})÷(-\dfrac{1}{24})=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})×(-24)=-16+18-21=-19$.
所以原式$=-\dfrac{1}{19}$.
根据材料提供的方法,计算:$(-\dfrac{1}{42})÷(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})$.
@刷素养 走向重高

7.10或64 【解析】如图,利用倒推法可得由第6步运算后得1,可得第5步运算后的得数一定是2; 由第5步运算后得2,可得第4步运算后的得数一定是4; 由第4步运算后得4,可得第3步运算后的得数是1或8,其中1不符合题意,因此第3步运算后一定得8; 由第3步运算后得8,可得第2步运算后的得数一定是16; 由第2步运算后得16,可得第1步运算后的得数是5或32; 由第1步运算后得5,可得原数为10; 由第1步运算后得32,可得原数为64.
8.【解】原式的倒数是$(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})÷ (-\dfrac{1}{42}) = (\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})×(-42) = -(\dfrac{1}{6}×42-\dfrac{3}{14}×42+\dfrac{2}{3}×42-\dfrac{2}{7}×42) = -(7-9+28-12) = -14$,故原式$=-\dfrac{1}{14}$.

9 思想方法分类讨论[2026浙江杭州期中,较难]分类讨论是一种重要的数学方法,如在化简$|a|$时,可以这样分类:当$a＞0$时,$|a|=a$;当$a=0$时,$|a|=0$;当$a＜0$时,$|a|=-a$.用这种方法解决下列问题:
(1)当$a＞0$时,$\frac{a}{|a|}=$;当$a＜0$时,$\frac{a}{|a|}=$;当$|ab|=-ab(ab≠0)$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=$.
(2)若$a+b+c=0,abc＜0$,求$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$的值.
(3)若$a+b+c=0,a＞0,c＜0$,且$a+c＜0$,请分析$b$的正负性,并求出$\frac{2a+b+c}{|a|}+\frac{a+2b+c}{|b|}+\frac{a+b+2c}{|c|}$的值.

9.【解】(1)当 $a＞0$ 时,$\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{a}{a} = 1$. 当 $a＜0$ 时,$\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{a}{-a} = -1$. 当 $|ab|=-ab(ab≠0)$ 时,$ab＜0$,可得 $a,b$ 异号. 当 $a＞0,b＜0$ 时,$\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|} = 1-1=0$; 当 $a＜0,b＞0$ 时,$\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|} = -1+1=0$. 所以当 $|ab|=-ab(ab≠0)$ 时,$\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}=0$. 故答案为1,-1,0.
(2)因为 $a+b+c=0$,所以 $b+c=-a$,$a+c=-b$,$a+b=-c$,所以 $\dfrac{b+c}{|a|}+\dfrac{a+c}{|b|}+\dfrac{a+b}{|c|} = \dfrac{-a}{|a|}+\dfrac{-b}{|b|}+\dfrac{-c}{|c|}$. 因为 $a+b+c=0$,$abc＜0$,所以 $a,b,c$ 三个有理数中有两个正数一个负数. 假设 $a＞0,b＞0,c＜0$,则 $\dfrac{b+c}{|a|}+\dfrac{a+c}{|b|}+\dfrac{a+b}{|c|} = \dfrac{-a}{|a|}+\dfrac{-b}{|b|}+\dfrac{-c}{|c|} = \dfrac{-a}{a}+\dfrac{-b}{b}+\dfrac{-c}{-c} = -1$. 当 $a＞0,b＜0,c＞0$ 或 $a＜0,b＞0,c＞0$ 时,$\dfrac{b+c}{|a|}+\dfrac{a+c}{|b|}+\dfrac{a+b}{|c|}$ 的值均为 $-1$. 综上可得 $\dfrac{b+c}{|a|}+\dfrac{a+c}{|b|}+\dfrac{a+b}{|c|}$ 的值为 $-1$.
(3)因为 $a+b+c=0$,所以 $-b=a+c$. 因为 $a+c＜0$,所以 $-b＜0$,所以 $b＞0$.$\dfrac{2a+b+c}{|a|}+\dfrac{a+2b+c}{|b|}+\dfrac{a+b+2c}{|c|} = \dfrac{a+a+b+c}{|a|}+\dfrac{b+a+b+c}{|b|}+\dfrac{c+a+b+c}{|c|} = \dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}$. 因为 $a＞0,c＜0,b＞0$,所以原式 $=\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|} = \dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{c}{-c} = 1+1-1=1$.