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6 某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证200元,只限本人当年使用,凭证游泳每次再付费10元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费20元.有下列结论:① 若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元,则他选择方式一游泳的次数比较多;② 若小明计划今年夏季游泳的次数为25,则他选择方式二游泳的总费用比较少;③ 若小明今年夏季在该游泳馆游泳,两种付费方式的总费用相同,则他计划游泳的次数为20.其中,正确的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
B
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
6. B
解析
【分析】
解题时先设游泳次数为x次，分别写出两种付费方式的总费用的代数式：方式一总费用为办会员证的固定费用加每次游泳的费用，即200+10x；方式二总费用为每次费用乘次数，即20x。再逐一将三个结论的条件代入计算，判断每个结论的正误，最终统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
设小明今年夏季游泳的次数为x次，根据题意可得：
方式一的总费用：$y_1=200+10x$
方式二的总费用：$y_2=20x$
逐个验证结论：
① 总费用为300元时：
方式一：令$200+10x=300$，解得$x=10$；
方式二：令$20x=300$，解得$x=15$。
$15＞10$，即选择方式二游泳的次数更多，故①错误。
② 游泳次数为25次时：
方式一费用：$200+10×25=450$（元）
方式二费用：$20×25=500$（元）
$450＜500$，即选择方式一总费用更少，故②错误。
③ 两种付费方式总费用相同时：
令$200+10x=20x$，移项得$10x=200$，解得$x=20$，故③正确。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案决策问题
【点评】
本题是典型的付费方案选择类应用题，解题核心是准确梳理两种付费方式的费用构成，列出对应的代数式或方程，再结合题干给出的不同条件分别计算验证，解题时注意仔细运算，避免混淆两种方案的费用计算规则。
【难度系数】
0.7
解题时先设游泳次数为x次，分别写出两种付费方式的总费用的代数式：方式一总费用为办会员证的固定费用加每次游泳的费用，即200+10x；方式二总费用为每次费用乘次数，即20x。再逐一将三个结论的条件代入计算，判断每个结论的正误，最终统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
设小明今年夏季游泳的次数为x次，根据题意可得：
方式一的总费用：$y_1=200+10x$
方式二的总费用：$y_2=20x$
逐个验证结论：
① 总费用为300元时：
方式一：令$200+10x=300$，解得$x=10$；
方式二：令$20x=300$，解得$x=15$。
$15＞10$，即选择方式二游泳的次数更多，故①错误。
② 游泳次数为25次时：
方式一费用：$200+10×25=450$（元）
方式二费用：$20×25=500$（元）
$450＜500$，即选择方式一总费用更少，故②错误。
③ 两种付费方式总费用相同时：
令$200+10x=20x$，移项得$10x=200$，解得$x=20$，故③正确。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案决策问题
【点评】
本题是典型的付费方案选择类应用题，解题核心是准确梳理两种付费方式的费用构成，列出对应的代数式或方程，再结合题干给出的不同条件分别计算验证，解题时注意仔细运算，避免混淆两种方案的费用计算规则。
【难度系数】
0.7
7 某人打算从电车和油车中选购一台新车，这两台车的部分信息如下表：
当前电车充电电价为0.68元/kW·h；汽油价格为7.5元/升.根据当地限行政策，此人用车计划如下：电车每年行驶12 000公里（不限行），油车每年行驶10 000公里（限行）.若只考虑车价、能耗费（电车的充电电费或油车的油费）和电车换电池的用车综合费用，请用所学数学知识解决下列问题：
（1）若此人购买的新车使用t年（t小于8）.
① 请用含t的式子分别表示这两台车的综合费用；
② 当t为何值时，这两台车的综合费用相等？
（2）若此人打算使用所购买的新车10年以上（含10年）且不超过15年，请为这个人设计综合费用更省钱的购车方案.
当前电车充电电价为0.68元/kW·h；汽油价格为7.5元/升.根据当地限行政策，此人用车计划如下：电车每年行驶12 000公里（不限行），油车每年行驶10 000公里（限行）.若只考虑车价、能耗费（电车的充电电费或油车的油费）和电车换电池的用车综合费用，请用所学数学知识解决下列问题：
（1）若此人购买的新车使用t年（t小于8）.
① 请用含t的式子分别表示这两台车的综合费用；
② 当t为何值时，这两台车的综合费用相等？
（2）若此人打算使用所购买的新车10年以上（含10年）且不超过15年，请为这个人设计综合费用更省钱的购车方案.
答案
7. (1) ① 电车:每年所需电费为 $12\,000÷100×25×0.68=2\,040$(元),2 040 元=0.204 万元,所以 $t$ 年综合费用为 $(12.52+0.204t)$ 万元. 油车:每年所需油费为 $10\,000÷100×6.8×7.5=5\,100$(元),5 100 元=0.51 万元,所以 $t$ 年综合费用为 $(10.99+0.51t)$ 万元
② 根据题意,得 $12.52+0.204t=10.99+0.51t$,解得 $t=5$,即当 $t=5$ 时,这两台车的综合费用相等
(2) 电车:使用8年后需换电池(费用 24 480 元=2.448 万元),所以综合费用为 $12.52+0.204t+2.448=(14.968+0.204t)$ 万元. 油车:综合费用仍为 $(10.99+0.51t)$ 万元. 当 $t=10$ 时,电车综合费用为 $14.968+0.204×10=17.008$(万元),油车综合费用为 $10.99+0.51×10=16.09$(万元);当 $t=15$ 时,电车综合费用为 $14.968+0.204×15=18.028$(万元),油车综合费用为 $10.99+0.51×15=18.64$(万元). 令 $14.968+0.204t=10.99+0.51t$,解得 $t=13$. 所以当 $t$ 大于或等于 10 且小于 13 时,油车更省钱;当 $t$ 等于 13 时,两车一样省钱;当 $t$ 大于 13 且小于或等于 15 时,电车更省钱
② 根据题意,得 $12.52+0.204t=10.99+0.51t$,解得 $t=5$,即当 $t=5$ 时,这两台车的综合费用相等
(2) 电车:使用8年后需换电池(费用 24 480 元=2.448 万元),所以综合费用为 $12.52+0.204t+2.448=(14.968+0.204t)$ 万元. 油车:综合费用仍为 $(10.99+0.51t)$ 万元. 当 $t=10$ 时,电车综合费用为 $14.968+0.204×10=17.008$(万元),油车综合费用为 $10.99+0.51×10=16.09$(万元);当 $t=15$ 时,电车综合费用为 $14.968+0.204×15=18.028$(万元),油车综合费用为 $10.99+0.51×15=18.64$(万元). 令 $14.968+0.204t=10.99+0.51t$,解得 $t=13$. 所以当 $t$ 大于或等于 10 且小于 13 时,油车更省钱;当 $t$ 等于 13 时,两车一样省钱;当 $t$ 大于 13 且小于或等于 15 时,电车更省钱
解析
【分析】
本题属于生活中的方案决策类应用题，解题思路如下：
（1）① 要表示t年（t＜8）的综合费用，综合费用=车价+t年的能耗费用，首先分别计算电车、油车每年的能耗费用，统一单位为万元后乘以时间t，再加对应车价即可得到代数式；② 令两车的综合费用代数式相等，得到关于t的一元一次方程，解方程即可得到费用相等时的t值。
（2）当使用年限t≥10时，已经超过电车电池的8年使用期限，所以电车的综合费用需要额外增加换电池的费用，先写出此时电车的综合费用代数式，再和油车的综合费用代数式对比，先求出两者费用相等时的t值，再结合t在10到15的范围，分区间讨论哪种车更省钱即可。解题时要注意单位统一，避免因单位换算出错。
【解析】
(1) ① 先计算两车每年的能耗费用：
电车每年行驶12000公里，每100公里耗电25kW·h，电价0.68元/kW·h，
每年电费：$12000÷100×25×0.68=2040$元 = 0.204万元，
t＜8时无需更换电池，因此电车t年综合费用为$12.52 + 0.204t$万元；
油车每年行驶10000公里，每100公里耗油6.8升，油价7.5元/升，
每年油费：$10000÷100×6.8×7.5=5100$元 = 0.51万元，
因此油车t年综合费用为$10.99 + 0.51t$万元。
② 若两车综合费用相等，可列方程：
$12.52 + 0.204t = 10.99 + 0.51t$
移项得：$0.51t - 0.204t = 12.52 - 10.99$
合并同类项得：$0.306t = 1.53$
解得：$t=5$
即当t=5时，两车综合费用相等。
(2) 当使用年限$10≤ t≤15$时，电车使用超过8年，需增加换电池费用24480元=2.448万元，
此时电车的综合费用为：$12.52 + 0.204t + 2.448 = 14.968 + 0.204t$万元，
油车综合费用仍为$10.99 + 0.51t$万元。
求此时两车费用相等的t值：
$14.968 + 0.204t = 10.99 + 0.51t$
移项计算得：$0.306t = 3.978$，解得$t=13$。
结合$10≤ t≤15$的范围讨论：
当$10≤ t＜13$时，油车综合费用更低；
当$t=13$时，两车综合费用相等；
当$13＜t≤15$时，电车综合费用更低。
【答案】
(1) ① 电车综合费用：$\boldsymbol{(12.52 + 0.204t)}$万元，油车综合费用：$\boldsymbol{(10.99 + 0.51t)}$万元；
② 当$\boldsymbol{t=5}$时，两台车综合费用相等；
(2) 当使用年限大于等于10年且小于13年时，选购油车更省钱；当使用年限等于13年时，两车费用相同；当使用年限大于13年且不超过15年时，选购电车更省钱。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，方案决策问题
【点评】
本题结合实际购车场景出题，贴近生活，主要考查代数式的列写、一元一次方程的求解以及分类讨论思想，解题的关键是注意电车换电池的分段条件，同时计算过程中要注意单位的统一，避免因单位换算出现错误。
【难度系数】
0.65
本题属于生活中的方案决策类应用题，解题思路如下：
（1）① 要表示t年（t＜8）的综合费用，综合费用=车价+t年的能耗费用，首先分别计算电车、油车每年的能耗费用，统一单位为万元后乘以时间t，再加对应车价即可得到代数式；② 令两车的综合费用代数式相等，得到关于t的一元一次方程，解方程即可得到费用相等时的t值。
（2）当使用年限t≥10时，已经超过电车电池的8年使用期限，所以电车的综合费用需要额外增加换电池的费用，先写出此时电车的综合费用代数式，再和油车的综合费用代数式对比，先求出两者费用相等时的t值，再结合t在10到15的范围，分区间讨论哪种车更省钱即可。解题时要注意单位统一，避免因单位换算出错。
【解析】
(1) ① 先计算两车每年的能耗费用：
电车每年行驶12000公里，每100公里耗电25kW·h，电价0.68元/kW·h，
每年电费：$12000÷100×25×0.68=2040$元 = 0.204万元，
t＜8时无需更换电池，因此电车t年综合费用为$12.52 + 0.204t$万元；
油车每年行驶10000公里，每100公里耗油6.8升，油价7.5元/升，
每年油费：$10000÷100×6.8×7.5=5100$元 = 0.51万元，
因此油车t年综合费用为$10.99 + 0.51t$万元。
② 若两车综合费用相等，可列方程：
$12.52 + 0.204t = 10.99 + 0.51t$
移项得：$0.51t - 0.204t = 12.52 - 10.99$
合并同类项得：$0.306t = 1.53$
解得：$t=5$
即当t=5时，两车综合费用相等。
(2) 当使用年限$10≤ t≤15$时，电车使用超过8年，需增加换电池费用24480元=2.448万元，
此时电车的综合费用为：$12.52 + 0.204t + 2.448 = 14.968 + 0.204t$万元，
油车综合费用仍为$10.99 + 0.51t$万元。
求此时两车费用相等的t值：
$14.968 + 0.204t = 10.99 + 0.51t$
移项计算得：$0.306t = 3.978$，解得$t=13$。
结合$10≤ t≤15$的范围讨论：
当$10≤ t＜13$时，油车综合费用更低；
当$t=13$时，两车综合费用相等；
当$13＜t≤15$时，电车综合费用更低。
【答案】
(1) ① 电车综合费用：$\boldsymbol{(12.52 + 0.204t)}$万元，油车综合费用：$\boldsymbol{(10.99 + 0.51t)}$万元；
② 当$\boldsymbol{t=5}$时，两台车综合费用相等；
(2) 当使用年限大于等于10年且小于13年时，选购油车更省钱；当使用年限等于13年时，两车费用相同；当使用年限大于13年且不超过15年时，选购电车更省钱。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，方案决策问题
【点评】
本题结合实际购车场景出题，贴近生活，主要考查代数式的列写、一元一次方程的求解以及分类讨论思想，解题的关键是注意电车换电池的分段条件，同时计算过程中要注意单位的统一，避免因单位换算出现错误。
【难度系数】
0.65
8 新考向 探究题 教材 P141 习题 T14 变式 某奶茶店在夏季推出两款饮品促销活动，活动规则如下：
方式一：单笔消费满20元减8元.
方式二：所有饮品单件打七五折.
请解决以下问题：
（1）设某款饮品的原价为x元，列表说明当x在不同范围内取值时，按两种方式购买分别需要支付的金额；
（2）分析如何根据饮品的原价，选择省钱的购买方式.
方式一：单笔消费满20元减8元.
方式二：所有饮品单件打七五折.
请解决以下问题：
（1）设某款饮品的原价为x元，列表说明当x在不同范围内取值时，按两种方式购买分别需要支付的金额；
（2）分析如何根据饮品的原价，选择省钱的购买方式.
答案
8. (1) 根据题意,列表如下：
| | 方式一 | | 方式二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 原 价 | $x$ 元($x$ 大于 0 且小于 20) | $x$ 元($x$ 大于或等于 20) | $x$ 元 |
| 促销价 | $x$ 元 | $(x-8)$ 元 | $0.75x$ 元 |
(2) 当 $x$ 大于 0 且小于 20 时,按方式二购买比较省钱. 当 $x$ 大于或等于 20 时,令 $x-8=0.75x$,解得 $x=32$. 所以当 $x$ 大于或等于 20 且小于 32 时,按方式一购买比较省钱;当 $x$ 等于 32 时,按方式一、方式二购买一样省钱;当 $x$ 大于 32 时,按方式二购买比较省钱. 综上所述,当 $x$ 大于 0 且小于 20 或当 $x$ 大于 32 时,按方式二购买比较省钱;当 $x$ 大于或等于 20 且小于 32 时,按方式一购买比较省钱;当 $x$ 等于 32 时,按方式一、方式二购买一样省钱
| | 方式一 | | 方式二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 原 价 | $x$ 元($x$ 大于 0 且小于 20) | $x$ 元($x$ 大于或等于 20) | $x$ 元 |
| 促销价 | $x$ 元 | $(x-8)$ 元 | $0.75x$ 元 |
(2) 当 $x$ 大于 0 且小于 20 时,按方式二购买比较省钱. 当 $x$ 大于或等于 20 时,令 $x-8=0.75x$,解得 $x=32$. 所以当 $x$ 大于或等于 20 且小于 32 时,按方式一购买比较省钱;当 $x$ 等于 32 时,按方式一、方式二购买一样省钱;当 $x$ 大于 32 时,按方式二购买比较省钱. 综上所述,当 $x$ 大于 0 且小于 20 或当 $x$ 大于 32 时,按方式二购买比较省钱;当 $x$ 大于或等于 20 且小于 32 时,按方式一购买比较省钱;当 $x$ 等于 32 时,按方式一、方式二购买一样省钱
解析
【分析】
解决本题首先要明确两种促销方式的规则：方式一设有满20元减8元的门槛，因此计算方式一的付款金额时需要按原价是否满20元分两类讨论；方式二无消费门槛，所有商品都按原价的75%计算即可。第二问选择省钱方案时，先分区间对比两种方式的付款金额：先比较原价低于20元的情况，再对原价不低于20元的情况，通过列一元一次方程找到两种方式付款金额相等的临界原价，再以此为分界点分区间比较金额大小，就能得出不同原价对应的最优购买方式。
【解析】
（1）根据两种促销规则，按原价的不同取值范围整理付款金额如下：
| | 方式一 | | 方式二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 原价 | $x$元（$0＜x＜20$） | $x$元（$x≥20$） | $x$元 |
| 促销价 | $x$元 | $(x-8)$元 | $0.75x$元 |
（2）分情况对比两种方式的付款金额：
① 当$0＜x＜20$时，方式一需支付原价$x$元，方式二需支付$0.75x$元，显然$0.75x＜x$，此时选择方式二更省钱；
② 当$x≥20$时，先计算两种方式付款金额相等时的原价：
令$x-8=0.75x$，
移项得$x-0.75x=8$，
合并同类项得$0.25x=8$，
解得$x=32$。
因此可得到三个区间的结论：
当$20≤ x＜32$时，$x-8＜0.75x$，选择方式一更省钱；
当$x=32$时，$x-8=0.75x$，两种方式付款金额完全相同；
当$x＞32$时，$0.75x＜x-8$，选择方式二更省钱。
将上述结论汇总即可得到最终的方案选择规则。
【答案】
(1) 列表如下：
| | 方式一 | | 方式二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 原 价 | $x$ 元($x$ 大于 0 且小于 20) | $x$ 元($x$ 大于或等于 20) | $x$ 元 |
| 促销价 | $x$ 元 | $(x-8)$ 元 | $0.75x$ 元 |
(2) 当$x$大于 0 且小于 20 或当$x$大于 32 时，按方式二购买比较省钱；当$x$大于或等于 20 且小于 32 时，按方式一购买比较省钱；当$x$等于 32 时，按方式一、方式二购买一样省钱。
【知识点】
一元一次方程应用，方案决策，分类讨论
【点评】
本题结合生活中常见的促销活动设题，实用性较强，解题的核心是准确理解满减的规则，合理划分讨论区间，找到两种方案花费相等的临界点，就能快速判断不同消费金额下的最优方案。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确两种促销方式的规则：方式一设有满20元减8元的门槛，因此计算方式一的付款金额时需要按原价是否满20元分两类讨论；方式二无消费门槛，所有商品都按原价的75%计算即可。第二问选择省钱方案时，先分区间对比两种方式的付款金额：先比较原价低于20元的情况，再对原价不低于20元的情况，通过列一元一次方程找到两种方式付款金额相等的临界原价，再以此为分界点分区间比较金额大小，就能得出不同原价对应的最优购买方式。
【解析】
（1）根据两种促销规则，按原价的不同取值范围整理付款金额如下：
| | 方式一 | | 方式二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 原价 | $x$元（$0＜x＜20$） | $x$元（$x≥20$） | $x$元 |
| 促销价 | $x$元 | $(x-8)$元 | $0.75x$元 |
（2）分情况对比两种方式的付款金额：
① 当$0＜x＜20$时，方式一需支付原价$x$元，方式二需支付$0.75x$元，显然$0.75x＜x$，此时选择方式二更省钱；
② 当$x≥20$时，先计算两种方式付款金额相等时的原价：
令$x-8=0.75x$，
移项得$x-0.75x=8$，
合并同类项得$0.25x=8$，
解得$x=32$。
因此可得到三个区间的结论：
当$20≤ x＜32$时，$x-8＜0.75x$，选择方式一更省钱；
当$x=32$时，$x-8=0.75x$，两种方式付款金额完全相同；
当$x＞32$时，$0.75x＜x-8$，选择方式二更省钱。
将上述结论汇总即可得到最终的方案选择规则。
【答案】
(1) 列表如下：
| | 方式一 | | 方式二 |
| --- | --- | --- | --- |
| 原 价 | $x$ 元($x$ 大于 0 且小于 20) | $x$ 元($x$ 大于或等于 20) | $x$ 元 |
| 促销价 | $x$ 元 | $(x-8)$ 元 | $0.75x$ 元 |
(2) 当$x$大于 0 且小于 20 或当$x$大于 32 时，按方式二购买比较省钱；当$x$大于或等于 20 且小于 32 时，按方式一购买比较省钱；当$x$等于 32 时，按方式一、方式二购买一样省钱。
【知识点】
一元一次方程应用，方案决策，分类讨论
【点评】
本题结合生活中常见的促销活动设题，实用性较强，解题的核心是准确理解满减的规则，合理划分讨论区间，找到两种方案花费相等的临界点，就能快速判断不同消费金额下的最优方案。
【难度系数】
0.7
