12(2026·湖南衡阳期中)已知$(m-1)x^{m^2+1}+3x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m=$。

12.$-1$

13 (2026·常州期中)已知$m$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$一个根，则$2025 - m^2 + 3m$的值为。

13.2026

14 若实数$x$满足$x^2 - 2\sqrt{2}x -1=0$，则$x^2 + \frac{1}{x^2}$=。

14.10

15 关于$x$的一元二次方程$2(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$化为一般形式后为$2x^2 - 3x -1 = 0$，试求$b$，$c$的值。

15. $2(x^2-2x+1)+bx-b+c=0$，$2x^2+(b-4)x+2-b+c=0$，所以$b-4=-3$，$2-b+c=-1$，解得$b=1$，$c=-2$.

16 新考法 新定义问题（2026·河南新乡牧野区期中）定义：如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$满足$a - b + c = 0$，那么称这个方程为“联合方程”。
（1）判断一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是否为“联合方程”，说明理由；
（2）已知$3x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“联合方程”，若$-2$是此“联合方程”的一个根，求$m$和$n$的值。

16.(1)该方程是“联合方程”.理由如下：
在一元二次方程$2x^2+9x+7=0$中，$a=2$，$b=9$，$c=7$.
$\because a-b+c=2-9+7=0$，
$\therefore$一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是“联合方程”.
(2)由条件可知$3-(-m)+n=0$，
$\because -2$是此“联合方程”的一个根，
$\therefore 3×(-2)^2 -m×(-2)+n=0$，
即$\begin{cases}3+m+n=0,\\12+2m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-9,\\n=6,\end{cases}$
$\therefore m$的值为$-9$，$n$的值为$6$.

17 新考法解题方法型阅读理解题 请阅读下列材料：
问题：已知方程$x^2 + x -1 =0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为$y$，则$y=2x$，即$x=\frac{y}{2}$。
把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程，得$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} -1 =0$，
化简，得$y^2 +2y -4=0$，
故所求方程为$y^2 +2y -4=0$。
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）。
(1)已知方程$x^2 +3x -2=0$，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 -bx +c=0(a≠0)$有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数。
视频学重难

17.(1)设所求方程的根为$y$，则$y=-x$，即$x=-y$，
把$x=-y$代入方程$x^2+3x-2=0$，
得$y^2-3y-2=0$，故所求方程为$y^2-3y-2=0$.
(2)设所求方程的根为$y$，则$y=\frac{1}{x}$，即$x=\frac{1}{y}$.
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^2-bx+c=0$，
得$a·\frac{1}{y^2}-b·\frac{1}{y}+c=0$，整理，得$cy^2-by+a=0$，
故所求方程为$cy^2-by+a=0$.