登录
1[2026辽宁大连调研]如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E,使得AE=AB,连接BE,则∠CBE的度数为 (
A.22.5°
B.25°
C.20°
D.30°
(第1题图)
(第2题图)
A
)A.22.5°
B.25°
C.20°
D.30°
(第1题图)
(第2题图)
答案
1.A 【解析】:
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ ∠BAC=45°,∠ABC=90°.
∵ AE = AB,
∴ ∠ABE = 1/2 × (180°-45°)= 67. 5°,
∴ ∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = 90°-67.5°=22.5°. 故选 A.
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ ∠BAC=45°,∠ABC=90°.
∵ AE = AB,
∴ ∠ABE = 1/2 × (180°-45°)= 67. 5°,
∴ ∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = 90°-67.5°=22.5°. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先从正方形的性质入手，正方形的对角线平分内角，可直接得出∠BAC的度数，同时正方形的内角为90°，可得∠ABC的度数；再结合AE=AB的条件，可知△ABE是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理算出∠ABE的度数，最后用∠ABC减去∠ABE即可求出∠CBE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，∠ABC=90°，
又
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形，顶角∠BAE=45°，
∴∠ABE=(180°-∠BAE)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠CBE=∠ABC - ∠ABE=90°-67.5°=22.5°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将正方形的角的性质与等腰三角形的性质结合考查，解题关键是找准已知角度和待求角度之间的关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.85
解题时首先从正方形的性质入手，正方形的对角线平分内角，可直接得出∠BAC的度数，同时正方形的内角为90°，可得∠ABC的度数；再结合AE=AB的条件，可知△ABE是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理算出∠ABE的度数，最后用∠ABC减去∠ABE即可求出∠CBE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，∠ABC=90°，
又
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形，顶角∠BAE=45°，
∴∠ABE=(180°-∠BAE)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠CBE=∠ABC - ∠ABE=90°-67.5°=22.5°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将正方形的角的性质与等腰三角形的性质结合考查，解题关键是找准已知角度和待求角度之间的关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.85
2[2026河南南阳期末]如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，过点B作BG⊥CE于点G，若BG=3，DF=9，则FG的长为（
A.4
B.5
C.6
D.11
C
）A.4
B.5
C.6
D.11
答案
2.C 【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ CD=BC,∠BCD=90°,
∴ ∠BCG+∠DCF=90°.
∵ DF ⊥ CE,BG ⊥ CE,
∴ ∠DFC = ∠CGB = 90°,
∴ ∠CDF +∠DCF=90°,
∴ ∠CDF = ∠BCG. 在△DCF 和△CBG中,{∠DFC=∠CGB,∠CDF=∠BCG,CD=BC},
∴ △DCF≌ △CBG (AAS),
∴ DF=CG, CF = BG,
∴ FG = CG - CF = DF - BG.
∵ BG=3,DF=9,
∴ FG=DF-BG=9-3=6. 故选 C.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ CD=BC,∠BCD=90°,
∴ ∠BCG+∠DCF=90°.
∵ DF ⊥ CE,BG ⊥ CE,
∴ ∠DFC = ∠CGB = 90°,
∴ ∠CDF +∠DCF=90°,
∴ ∠CDF = ∠BCG. 在△DCF 和△CBG中,{∠DFC=∠CGB,∠CDF=∠BCG,CD=BC},
∴ △DCF≌ △CBG (AAS),
∴ DF=CG, CF = BG,
∴ FG = CG - CF = DF - BG.
∵ BG=3,DF=9,
∴ FG=DF-BG=9-3=6. 故选 C.
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：首先利用正方形的性质得到边相等、内角为直角的条件；再根据“同角的余角相等”得到两组对应角相等，结合等边条件证明两个三角形全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，结合线段和差关系即可求出FG的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ CD=BC，∠BCD=90°，
∴ ∠BCG+∠DCF=90°。
∵ DF⊥CE，BG⊥CE，
∴ ∠DFC=∠CGB=90°，
∴ ∠CDF+∠DCF=90°，
∴ ∠CDF=∠BCG。
在△DCF和△CBG中，
$\{\begin{array}{l}∠ DFC=∠ CGB\\ ∠ CDF=∠ BCG\\ CD=BC\end{array} $
∴ △DCF≌△CBG（AAS），
∴ DF=CG，CF=BG，
∴ FG = CG - CF = DF - BG。
∵ BG=3，DF=9，
∴ FG=9-3=6。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是正方形与全等三角形结合的基础综合题，解题关键是通过直角的余角关系推导相等角，证明三角形全等后通过等量代换求解线段长度，侧重考查基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可按以下思路推导：首先利用正方形的性质得到边相等、内角为直角的条件；再根据“同角的余角相等”得到两组对应角相等，结合等边条件证明两个三角形全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，结合线段和差关系即可求出FG的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ CD=BC，∠BCD=90°，
∴ ∠BCG+∠DCF=90°。
∵ DF⊥CE，BG⊥CE，
∴ ∠DFC=∠CGB=90°，
∴ ∠CDF+∠DCF=90°，
∴ ∠CDF=∠BCG。
在△DCF和△CBG中，
$\{\begin{array}{l}∠ DFC=∠ CGB\\ ∠ CDF=∠ BCG\\ CD=BC\end{array} $
∴ △DCF≌△CBG（AAS），
∴ DF=CG，CF=BG，
∴ FG = CG - CF = DF - BG。
∵ BG=3，DF=9，
∴ FG=9-3=6。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是正方形与全等三角形结合的基础综合题，解题关键是通过直角的余角关系推导相等角，证明三角形全等后通过等量代换求解线段长度，侧重考查基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
3[2025山东青岛校级期中]如图,正方形ABCD的边长为2,连接AC,BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE的长是 (
A.$2-\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}-1$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}-2$
(第3题图)
(第4题图)
D
)A.$2-\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}-1$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}-2$
(第3题图)
(第4题图)
答案
3.D 【解析】如图,过点 E 作 EF ⊥ DC 于点 F,设 AC交 BD 于点 O.
∵ 四边形 ABCD是正方形,
∴ AC ⊥ BD, ∠BDC =45°.
∵ CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E,
∴ ∠ECO = ∠ECF, EO =EF.
∵ 正方形 ABCD 的边长为2,
∴ AB = BC = 2,
∴ 由勾股定理得 AC = √(AB²+BC²) = √(2²+2²) = 2√2 ,
∴ CO=1/2 AC=√2. 在△EOC 和 △EFC 中,{∠EOC=∠EFC=90°,∠OCE=∠FCE,EO=EF},
∴ △EOC≌△EFC(AAS),
∴ CF=CO=√2.
∵ EF ⊥DC,∠BDC = 45°,
∴ △DEF 为等腰直角三角形,
∴ EF=DF=DC-CF=2-√2 ,
∴ DE=√2 DF=2√2-2.故选 D.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先CE是∠ACD的角平分线，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过E作EF⊥DC于F，结合正方形对角线互相垂直的性质，可得EO=EF。接下来先利用正方形边长求出对角线AC的长度，进而得到OC的长度，再证明△EOC和△EFC全等，推出CF=OC，最后结合正方形对角线与边的夹角为45°，可知△DEF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边长关系即可求出DE的长度。
【解析】
如图，过点E作EF⊥DC于点F，设AC交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，∠BDC=45°。
∵ CE平分∠ACD交BD于点E，
∴ ∠ECO=∠ECF，由角平分线的性质可得EO=EF。
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴ AB=BC=2，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ $CO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
在△EOC和△EFC中：
$\begin{cases}∠ EOC=∠ EFC=90° \\∠ OCE=∠ FCE \\EO=EF\end{cases}$
∴ △EOC≌△EFC（AAS），
∴ $CF=CO=\sqrt{2}$。
∵ EF⊥DC，∠BDC=45°，
∴ △DEF为等腰直角三角形，
∴ $EF=DF=DC-CF=2-\sqrt{2}$，
∴ $DE=\sqrt{2}DF=\sqrt{2}×(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于正方形性质的综合应用题，解题关键是根据角平分线的性质正确作出辅助线，结合全等三角形和特殊直角三角形的性质计算，能够有效考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先CE是∠ACD的角平分线，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过E作EF⊥DC于F，结合正方形对角线互相垂直的性质，可得EO=EF。接下来先利用正方形边长求出对角线AC的长度，进而得到OC的长度，再证明△EOC和△EFC全等，推出CF=OC，最后结合正方形对角线与边的夹角为45°，可知△DEF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边长关系即可求出DE的长度。
【解析】
如图，过点E作EF⊥DC于点F，设AC交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，∠BDC=45°。
∵ CE平分∠ACD交BD于点E，
∴ ∠ECO=∠ECF，由角平分线的性质可得EO=EF。
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴ AB=BC=2，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ $CO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
在△EOC和△EFC中：
$\begin{cases}∠ EOC=∠ EFC=90° \\∠ OCE=∠ FCE \\EO=EF\end{cases}$
∴ △EOC≌△EFC（AAS），
∴ $CF=CO=\sqrt{2}$。
∵ EF⊥DC，∠BDC=45°，
∴ △DEF为等腰直角三角形，
∴ $EF=DF=DC-CF=2-\sqrt{2}$，
∴ $DE=\sqrt{2}DF=\sqrt{2}×(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于正方形性质的综合应用题，解题关键是根据角平分线的性质正确作出辅助线，结合全等三角形和特殊直角三角形的性质计算，能够有效考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4[2025福建泉州质检]如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,以点C为圆心,CO长为半径作弧,交CD于点E,连接OE,则∠DOE=
22.5
度.答案
4. 22.5 【解析】:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC =BD, OC ⊥ OD, OA = OC, OB = OD,
∴ OC = OD,∠COD=90°,
∴ ∠ODC = ∠OCD = 45°. 由作图可知OC = CE,
∴ ∠COE = ∠CEO = (180°-45°)/2 = 67. 5°,
∴ ∠DOE = ∠COD- ∠COE = 90°- 67. 5° = 22. 5°. 故答案为 22. 5.
思路分析
由正方形的性质得到∠DOC=90°, ∠OCD =45°,由作图得到 OC=CE,从而得到∠COE=∠CEO=1/2 ×(180°-∠OCD),再根据角的和差即可求出 ∠DOE 的度数.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC =BD, OC ⊥ OD, OA = OC, OB = OD,
∴ OC = OD,∠COD=90°,
∴ ∠ODC = ∠OCD = 45°. 由作图可知OC = CE,
∴ ∠COE = ∠CEO = (180°-45°)/2 = 67. 5°,
∴ ∠DOE = ∠COD- ∠COE = 90°- 67. 5° = 22. 5°. 故答案为 22. 5.
思路分析
由正方形的性质得到∠DOC=90°, ∠OCD =45°,由作图得到 OC=CE,从而得到∠COE=∠CEO=1/2 ×(180°-∠OCD),再根据角的和差即可求出 ∠DOE 的度数.
解析
【分析】
解题时首先从正方形的性质入手：正方形对角线互相垂直、平分且相等，因此可得到△COD是等腰直角三角形，即∠COD=90°，∠OCD=45°，且OC=OD。再根据作图条件“以C为圆心，CO长为半径作弧交CD于E”，可知CE=CO，因此△COE是等腰三角形，结合三角形内角和就能算出∠COE的度数，最后用∠COD减去∠COE，即可得到∠DOE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 对角线AC、BD互相垂直平分且相等，
∴ OC=OD，∠COD=90°，
∴ ∠OCD=(180°-90°)÷2=45°。
由作图可知：CE=OC，
∴ △COE为等腰三角形，∠COE=∠CEO，
根据三角形内角和为180°，得：
∠COE=(180°-∠OCD)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴ ∠DOE=∠COD - ∠COE=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
22.5
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；角度和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算问题，将正方形的对角线性质与等腰三角形的等边对等角性质结合考查，解题的关键是找准图中的等腰三角形以及特殊角的度数。
【难度系数】
0.8
解题时首先从正方形的性质入手：正方形对角线互相垂直、平分且相等，因此可得到△COD是等腰直角三角形，即∠COD=90°，∠OCD=45°，且OC=OD。再根据作图条件“以C为圆心，CO长为半径作弧交CD于E”，可知CE=CO，因此△COE是等腰三角形，结合三角形内角和就能算出∠COE的度数，最后用∠COD减去∠COE，即可得到∠DOE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 对角线AC、BD互相垂直平分且相等，
∴ OC=OD，∠COD=90°，
∴ ∠OCD=(180°-90°)÷2=45°。
由作图可知：CE=OC，
∴ △COE为等腰三角形，∠COE=∠CEO，
根据三角形内角和为180°，得：
∠COE=(180°-∠OCD)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴ ∠DOE=∠COD - ∠COE=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
22.5
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；角度和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算问题，将正方形的对角线性质与等腰三角形的等边对等角性质结合考查，解题的关键是找准图中的等腰三角形以及特殊角的度数。
【难度系数】
0.8
5 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A(-2,0)，B(0,1)均在坐标轴上，则点C的坐标为
(-1,3)
。答案
5. (-1,3) 【解析】如图,过 C 作CH ⊥ y 轴于 H.
∵ A 的坐标是(-2,0), B 的坐标是 (0,1),
∴ OA=2, OB=1.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB = BC,∠ABC=90°.
∵ ∠CBH + ∠ABO + ∠ABC = 180°,
∴ ∠CBH+ ∠ABO = 90°.
∵ ∠BAO+ ∠ABO = 90°,
∴ ∠CBH= ∠BAO.
∵ ∠BHC= ∠AOB=90°,BC=AB,
∴ △BCH≌△ABO( AAS ),
∴ CH=OB=1, BH=AO=2,
∴ OH=OB+BH=3,
∴ C 的坐标是 (-1,3). 故答案为(-1,3).
解析
【分析】
要求点C的坐标，需将点C的横、纵坐标与已知点A、B的坐标建立联系。已知正方形ABCD具备边相等、内角为90°的性质，结合平面直角坐标系的直角特征，可通过过点C作y轴的垂线，构造出与$Rt△ ABO$全等的三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，求出点C到坐标轴的距离，进而确定其坐标。
【解析】
如图，过点C作$CH ⊥ y$轴于点H。
$\because$ 点A的坐标是$(-2,0)$，点B的坐标是$(0,1)$，
$\therefore OA=2$，$OB=1$。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB = BC$，$∠ ABC=90°$。
$\because ∠ CBH + ∠ ABO + ∠ ABC = 180°$，
$\therefore ∠ CBH+ ∠ ABO = 90°$。
$\because ∠ BAO+ ∠ ABO = 90°$，
$\therefore ∠ CBH= ∠ BAO$。
在$△ BCH$和$△ ABO$中：
$\begin{cases}∠ BHC= ∠ AOB=90° \\∠ CBH= ∠ BAO \\BC=AB\end{cases}$
$\therefore △ BCH ≌ △ ABO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CH=OB=1$，$BH=AO=2$，
$\therefore OH=OB+BH=1+2=3$。
$\because$ 点C位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$ 点C的坐标为$(-1,3)$。
【答案】
$(-1,3)$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是正方形性质与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将点的坐标问题转化为线段长度计算问题，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
要求点C的坐标，需将点C的横、纵坐标与已知点A、B的坐标建立联系。已知正方形ABCD具备边相等、内角为90°的性质，结合平面直角坐标系的直角特征，可通过过点C作y轴的垂线，构造出与$Rt△ ABO$全等的三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，求出点C到坐标轴的距离，进而确定其坐标。
【解析】
如图，过点C作$CH ⊥ y$轴于点H。
$\because$ 点A的坐标是$(-2,0)$，点B的坐标是$(0,1)$，
$\therefore OA=2$，$OB=1$。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB = BC$，$∠ ABC=90°$。
$\because ∠ CBH + ∠ ABO + ∠ ABC = 180°$，
$\therefore ∠ CBH+ ∠ ABO = 90°$。
$\because ∠ BAO+ ∠ ABO = 90°$，
$\therefore ∠ CBH= ∠ BAO$。
在$△ BCH$和$△ ABO$中：
$\begin{cases}∠ BHC= ∠ AOB=90° \\∠ CBH= ∠ BAO \\BC=AB\end{cases}$
$\therefore △ BCH ≌ △ ABO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CH=OB=1$，$BH=AO=2$，
$\therefore OH=OB+BH=1+2=3$。
$\because$ 点C位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$ 点C的坐标为$(-1,3)$。
【答案】
$(-1,3)$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是正方形性质与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将点的坐标问题转化为线段长度计算问题，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
6[2025山西晋中质检]如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,分别延长BD,DB至点E,F,使$BF=DE=\sqrt{2}$,连接AE,AF,CE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)求四边形AECF的面积.
刷易错 小心有坑~
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)求四边形AECF的面积.
刷易错 小心有坑~
答案
6. (1)【证明】如图,连接 AC,交BD 于点 O.
∵ 四边形 ABCD是正方形,
∴ BD ⊥ AC, BO =DO, AO = CO.
∵ BF = DE,
∴ OD+DE=OB+BF,即 OE =OF,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形. 又
∵ EF ⊥ AC,
∴ 四边形 AECF 是菱形.
(2)【解】
∵ 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,
∴ AB=AD=1,
∴ BD=AC=√2.
∵ BF=DE=√2 ,
∴ EF=3√2 ,
∴ 四边形 AECF 的面积为1/2 · AC · EF=1/2 ×√2×3√2=3.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AECF是菱形，可利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理求解。首先利用正方形对角线互相垂直且平分的性质，连接AC交BD于点O，可得AC⊥BD、AO=CO、BO=DO；再结合已知BF=DE，可推导出OE=OF，先判定四边形AECF是平行四边形，再结合EF⊥AC的条件即可证明其为菱形。
(2) 求菱形AECF的面积可采用“对角线乘积的一半”的公式计算。先根据正方形边长求出对角线AC、BD的长度，再结合已知DE、BF的长度求出EF的总长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 【证明】如图，连接AC，交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BD ⊥ AC，BO =DO，AO = CO。
∵ BF = DE，
∴ OD+DE=OB+BF，即OE =OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ EF ⊥ AC，
∴ 四边形AECF是菱形。
(2) 【解】
∵ 四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴ AB=AD=1，由勾股定理可得BD=AC=√(1²+1²)=√2。
∵ BF=DE=√2，
∴ EF=DE+BD+BF=√2+√2+√2=3√2，
∴ 四边形AECF的面积为$\frac{1}{2} · AC · EF=\frac{1}{2} ×\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3$。
【答案】
(1) 四边形AECF是菱形，证明见上述过程；
(2) 四边形AECF的面积为3。
【知识点】
正方形的性质、菱形的判定、菱形的面积计算
【点评】
本题属于特殊四边形的基础综合题，解题核心是熟练掌握特殊四边形的性质与判定，合理运用连接对角线的辅助线方法可以大幅简化证明和计算过程，解题时注意菱形面积公式的灵活应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形AECF是菱形，可利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理求解。首先利用正方形对角线互相垂直且平分的性质，连接AC交BD于点O，可得AC⊥BD、AO=CO、BO=DO；再结合已知BF=DE，可推导出OE=OF，先判定四边形AECF是平行四边形，再结合EF⊥AC的条件即可证明其为菱形。
(2) 求菱形AECF的面积可采用“对角线乘积的一半”的公式计算。先根据正方形边长求出对角线AC、BD的长度，再结合已知DE、BF的长度求出EF的总长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 【证明】如图，连接AC，交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BD ⊥ AC，BO =DO，AO = CO。
∵ BF = DE，
∴ OD+DE=OB+BF，即OE =OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ EF ⊥ AC，
∴ 四边形AECF是菱形。
(2) 【解】
∵ 四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴ AB=AD=1，由勾股定理可得BD=AC=√(1²+1²)=√2。
∵ BF=DE=√2，
∴ EF=DE+BD+BF=√2+√2+√2=3√2，
∴ 四边形AECF的面积为$\frac{1}{2} · AC · EF=\frac{1}{2} ×\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3$。
【答案】
(1) 四边形AECF是菱形，证明见上述过程；
(2) 四边形AECF的面积为3。
【知识点】
正方形的性质、菱形的判定、菱形的面积计算
【点评】
本题属于特殊四边形的基础综合题，解题核心是熟练掌握特殊四边形的性质与判定，合理运用连接对角线的辅助线方法可以大幅简化证明和计算过程，解题时注意菱形面积公式的灵活应用。
【难度系数】
0.7
7 已知正方形ABCD,点E在边AB上,以CE为边作正方形CEFG,如图所示,连接DG.求证:△BCE≌△DCG.王俊同学的证明过程如下,他的证明过程正确吗?若不正确,请改正.
证明:∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,∴CB=CD,CE=CG.∵∠B=∠CDG=90°,∴Rt△BCE≌Rt△DCG(HL).
证明:∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,∴CB=CD,CE=CG.∵∠B=∠CDG=90°,∴Rt△BCE≌Rt△DCG(HL).
答案
7.【解】他的证明过程不正确. 正确证明过程如下:
∵ 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形,
∴ CB=CD,CE=CG,∠BCD = ∠ECG=90°,
∴ ∠BCD - ∠ECD = ∠ECG - ∠ECD,
∴ ∠BCE =∠GCD,
∴ △BCE≌△DCG(SAS).
易错警示
从已知条件不能确定 A,D,G 三点共线,即不能推出∠GDC=90°.
∵ 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形,
∴ CB=CD,CE=CG,∠BCD = ∠ECG=90°,
∴ ∠BCD - ∠ECD = ∠ECG - ∠ECD,
∴ ∠BCE =∠GCD,
∴ △BCE≌△DCG(SAS).
易错警示
从已知条件不能确定 A,D,G 三点共线,即不能推出∠GDC=90°.
解析
【分析】
要判断证明过程是否正确，需逐一核对每个推导步骤的依据是否成立：由正方形性质可得到两组边对应相等，但题中未给出A、D、G三点共线的条件，无法推出∠CDG=90°，因此王俊用HL证明全等的前提不成立。正确思路为：先利用正方形性质得到两组对应边相等，再通过90°角减去公共角∠ECD得到一组夹角相等，最终用SAS判定两个三角形全等。
【解析】
王俊的证明过程不正确，正确证明过程如下：
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴ CB=CD，CE=CG，∠BCD = ∠ECG=90°，
∴ ∠BCD - ∠ECD = ∠ECG - ∠ECD，
即 $∠ BCE = ∠ DCG$，
在$△ BCE$和$△ DCG$中：
$\begin{cases}CB=CD \\∠ BCE=∠ DCG \\CE=CG\end{cases}$
∴ $△ BCE ≌ △ DCG(\mathrm{SAS})$。
【答案】
他的证明过程不正确。正确证明过程如下：
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴ CB=CD，CE=CG，∠BCD = ∠ECG=90°，
∴ ∠BCD - ∠ECD = ∠ECG - ∠ECD，
∴ ∠BCE =∠GCD，
∴ △BCE≌△DCG(SAS)。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；角的和差计算
【点评】
本题的易错点是主观臆造A、D、G三点共线的条件，错误得出∠CDG=90°后使用HL判定全等，几何证明的每一步都要有明确的依据，不能自行添加题目未给出的条件；证明三角形全等时要根据已知条件找准对应关系，选择合适的判定定理。
【难度系数】
0.6
要判断证明过程是否正确，需逐一核对每个推导步骤的依据是否成立：由正方形性质可得到两组边对应相等，但题中未给出A、D、G三点共线的条件，无法推出∠CDG=90°，因此王俊用HL证明全等的前提不成立。正确思路为：先利用正方形性质得到两组对应边相等，再通过90°角减去公共角∠ECD得到一组夹角相等，最终用SAS判定两个三角形全等。
【解析】
王俊的证明过程不正确，正确证明过程如下：
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴ CB=CD，CE=CG，∠BCD = ∠ECG=90°，
∴ ∠BCD - ∠ECD = ∠ECG - ∠ECD，
即 $∠ BCE = ∠ DCG$，
在$△ BCE$和$△ DCG$中：
$\begin{cases}CB=CD \\∠ BCE=∠ DCG \\CE=CG\end{cases}$
∴ $△ BCE ≌ △ DCG(\mathrm{SAS})$。
【答案】
他的证明过程不正确。正确证明过程如下：
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴ CB=CD，CE=CG，∠BCD = ∠ECG=90°，
∴ ∠BCD - ∠ECD = ∠ECG - ∠ECD，
∴ ∠BCE =∠GCD，
∴ △BCE≌△DCG(SAS)。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；角的和差计算
【点评】
本题的易错点是主观臆造A、D、G三点共线的条件，错误得出∠CDG=90°后使用HL判定全等，几何证明的每一步都要有明确的依据，不能自行添加题目未给出的条件；证明三角形全等时要根据已知条件找准对应关系，选择合适的判定定理。
【难度系数】
0.6
