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1[2026河南安阳期中,中]图(1)为圆柱形笔筒,图(2)为其模型,已知模型底面半径为5 cm,高为24 cm(壁厚不计),在笔不漏出笔筒的前提下,能放入的铅笔最长为 (
A.24 cm
B.25 cm
C.26 cm
D.28 cm
(第1题图) (第2题图)
C
)A.24 cm
B.25 cm
C.26 cm
D.28 cm
(第1题图) (第2题图)
答案
1.C 【解析】如图所示, $AC$ 为圆柱形笔筒底面圆的直径, $BC$ 为圆柱形笔筒的高, 所以线段 $AB$ 的长度就是笔筒内所能放入的最长铅笔的长度. 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中, $AC = 5×2 = 10$ ( cm ), $BC = 24$ cm, 由勾股定理得 $AB^2 = AC^2 + BC^2$, 所以 $AB = 26$ cm. 故选 C.
关键点拨
理解圆柱的轴截面是一个长方形,该长方形的一边为圆柱形笔筒底面圆的直径,另一边为圆柱形笔筒的高,对角线的长度就是圆柱形笔筒内所能放入的最长铅笔的长度是解决问题的关键.
解析
【分析】
要解决圆柱形笔筒中放入最长铅笔的问题，首先明确最长铅笔的放置方式：应沿着圆柱轴截面的对角线放置，此时铅笔长度等于轴截面矩形的对角线长度。接下来只需确定矩形的两条邻边长度：一条是底面圆的直径，另一条是笔筒的高，最后利用勾股定理计算对角线长度即可得到结果。
【解析】
圆柱形笔筒的轴截面为矩形，其中矩形的一边为底面圆的直径，长度为$ AC=2×5=10\mathrm{cm} $，另一边为笔筒的高$ BC=24\mathrm{cm} $，能放入的最长铅笔的长度即为该矩形的对角线$ AB $的长度。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，根据勾股定理：
$ AB^2=AC^2+BC^2 $
代入数值计算得：
$ AB^2=10^2+24^2=100+576=676 $
因此$ AB=\sqrt{676}=26\mathrm{cm} $。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，圆柱的截面特征
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题的核心是将立体图形中的长度问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，能够帮助学生提升将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要解决圆柱形笔筒中放入最长铅笔的问题，首先明确最长铅笔的放置方式：应沿着圆柱轴截面的对角线放置，此时铅笔长度等于轴截面矩形的对角线长度。接下来只需确定矩形的两条邻边长度：一条是底面圆的直径，另一条是笔筒的高，最后利用勾股定理计算对角线长度即可得到结果。
【解析】
圆柱形笔筒的轴截面为矩形，其中矩形的一边为底面圆的直径，长度为$ AC=2×5=10\mathrm{cm} $，另一边为笔筒的高$ BC=24\mathrm{cm} $，能放入的最长铅笔的长度即为该矩形的对角线$ AB $的长度。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，根据勾股定理：
$ AB^2=AC^2+BC^2 $
代入数值计算得：
$ AB^2=10^2+24^2=100+576=676 $
因此$ AB=\sqrt{676}=26\mathrm{cm} $。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，圆柱的截面特征
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题的核心是将立体图形中的长度问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，能够帮助学生提升将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
2[2026辽宁沈阳质检,中]如图是一个可调节平板支架的结构示意图,已知平板宽度AB为12 cm,当$∠ ABC=90°$时,可测得$AC=15$ cm,保持此时$△ ABC$的形状不变,当CB平分$∠ ACD$时,点B到CD的距离是 (
A.8 cm
B.9 cm
C.7 cm
D.7.2 cm
D
)A.8 cm
B.9 cm
C.7 cm
D.7.2 cm
答案
2.D 【解析】过点 $B$ 作 $BE ⊥ CD$ 于点 $E$, $BF ⊥ AC$ 于点 $F$, 如图所示. 因为 $CB$ 平分 $∠ACD$, 所以 $BE = BF$. 在 $△ABC$ 中, $∠ABC = 90°$, $AC = 15$ cm, $AB = 12$ cm, 所以 $BC^2 = AC^2 - AB^2$, 所以 $BC = 9$ cm. 由三角形的面积公式得 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BF = \frac{1}{2}AB · BC$, 所以 $BF = \frac{AB · BC}{AC} = \frac{12×9}{15} = 7.2$( cm ), 所以 $BE = BF = 7.2$ cm, 所以点 $B$ 到 $CD$ 的距离是 7.2 cm. 故选 D.
解析
【分析】
要求点B到CD的距离，首先联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知CB平分∠ACD，因此点B到CD的距离等于点B到AC的距离。接下来先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出点B到AC的距离，即可得到点B到CD的距离。
【解析】
过点 $B$ 作 $BE ⊥ CD$ 于点 $E$, $BF ⊥ AC$ 于点 $F$, 如图所示。
因为 $CB$ 平分 $∠ACD$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 $BE = BF$。
在 $△ABC$ 中, $∠ABC = 90°$, $AC = 15$ cm, $AB = 12$ cm，由勾股定理得 $BC^2 = AC^2 - AB^2 = 15^2-12^2=81$，所以 $BC = 9$ cm。
由三角形的面积公式得 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BF = \frac{1}{2}AB · BC$，代入数值计算得 $BF = \frac{AB · BC}{AC} = \frac{12×9}{15} = 7.2$( cm )，所以 $BE = BF = 7.2$ cm，即点B到CD的距离是7.2 cm。故选D。
【答案】D
【知识点】勾股定理，角平分线的性质，等面积法求高
【点评】本题是几何综合基础题，解题关键是利用角平分线的性质将所求距离进行转化，再结合勾股定理和等面积法计算，能很好地考查学生对基础几何性质和计算方法的掌握程度。
【难度系数】0.7
要求点B到CD的距离，首先联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知CB平分∠ACD，因此点B到CD的距离等于点B到AC的距离。接下来先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出点B到AC的距离，即可得到点B到CD的距离。
【解析】
过点 $B$ 作 $BE ⊥ CD$ 于点 $E$, $BF ⊥ AC$ 于点 $F$, 如图所示。
因为 $CB$ 平分 $∠ACD$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 $BE = BF$。
在 $△ABC$ 中, $∠ABC = 90°$, $AC = 15$ cm, $AB = 12$ cm，由勾股定理得 $BC^2 = AC^2 - AB^2 = 15^2-12^2=81$，所以 $BC = 9$ cm。
由三角形的面积公式得 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BF = \frac{1}{2}AB · BC$，代入数值计算得 $BF = \frac{AB · BC}{AC} = \frac{12×9}{15} = 7.2$( cm )，所以 $BE = BF = 7.2$ cm，即点B到CD的距离是7.2 cm。故选D。
【答案】D
【知识点】勾股定理，角平分线的性质，等面积法求高
【点评】本题是几何综合基础题，解题关键是利用角平分线的性质将所求距离进行转化，再结合勾股定理和等面积法计算，能很好地考查学生对基础几何性质和计算方法的掌握程度。
【难度系数】0.7
3[2026湖南常德期末,中]如图,AB,BC,CD,DE是四根长度均为10 cm的火柴棒,点A,C,E共线.若AC=12 cm,CD⊥BC,则线段CE的长度是
(第3题图)
(第4题图)
16 cm
.(第3题图)
(第4题图)
答案
3. 16 cm 【解析】如图, 作 $BG ⊥ AC$, $DH ⊥ CE$, 垂足分别为 $G, H$, 则 $∠BGC = ∠CHD = 90°$, $∠BCG + ∠CBG = 90°$. 因为 $CD ⊥ BC$, 所以 $∠BCG + ∠DCH = 90°$, 所以 $∠CBG = ∠DCH$. 在 $△BCG$ 和 $△CDH$ 中, $\begin{cases} ∠CBG = ∠DCH, \\ ∠BGC = ∠CHD, \\ BC = CD, \end{cases}$ 所以 $△BCG ≅ △CDH(\mathrm{AAS})$, 所以 $BG = CH$. 因为 $AB = BC$, $BG ⊥ AC$, 所以 $CG = \frac{1}{2}AC = 6$ cm, 所以 $BG^2 = BC^2 - CG^2 = 10^2 - 6^2 = 64$, 所以 $BG = 8$ cm, 所以 $CH = 8$ cm. 因为 $CD = DE$, $DH ⊥ CE$, 所以 $CH = EH$, 所以 $CE = CH + EH = 16$ cm. 故答案为 16 cm.
解析
【分析】
本题可通过构造辅助线求解：首先观察到△ABC和△CDE都是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，分别作两个三角形底边上的高BG、DH，既可以得到底边一半的长度，也能构造出直角三角形；再结合CD⊥BC的垂直关系，利用同角的余角相等得到一组等角，证明△BCG和△CDH全等，将BG的长度转化为CH的长度；最后用勾股定理求出BG的长度，再结合等腰三角形三线合一即可求出CE的长。
【解析】
如图，作$BG ⊥ AC$，$DH ⊥ CE$，垂足分别为$G, H$，则$∠ BGC = ∠ CHD = 90°$，根据直角三角形两锐角互余可得$∠ BCG + ∠ CBG = 90°$。
因为$CD ⊥ BC$，所以$∠ BCD = 90°$，即$∠ BCG + ∠ DCH = 90°$，因此$∠ CBG = ∠ DCH$（同角的余角相等）。
在$△ BCG$和$△ CDH$中：
$\begin{cases}∠ CBG = ∠ DCH \\∠ BGC = ∠ CHD \\BC = CD\end{cases}$
所以$△ BCG ≌ △ CDH$（AAS），可得$BG = CH$。
因为$AB=BC$，$BG ⊥ AC$，根据等腰三角形三线合一，$CG = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ BCG$中，由勾股定理得：
$BG^2 = BC^2 - CG^2 = 10^2 - 6^2 = 64$，所以$BG = 8\ \mathrm{cm}$，因此$CH = 8\ \mathrm{cm}$。
又因为$CD=DE$，$DH ⊥ CE$，根据等腰三角形三线合一，$CH = EH$，所以$CE = CH + EH = 2 × 8 = 16\ \mathrm{cm}$。
【答案】
16 cm
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，核心解题思路是构造等腰三角形的高线得到全等三角形和直角三角形，既考查了基础几何定理的灵活应用，也能帮助学生掌握构造辅助线的常用方法。
【难度系数】
0.6
本题可通过构造辅助线求解：首先观察到△ABC和△CDE都是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，分别作两个三角形底边上的高BG、DH，既可以得到底边一半的长度，也能构造出直角三角形；再结合CD⊥BC的垂直关系，利用同角的余角相等得到一组等角，证明△BCG和△CDH全等，将BG的长度转化为CH的长度；最后用勾股定理求出BG的长度，再结合等腰三角形三线合一即可求出CE的长。
【解析】
如图，作$BG ⊥ AC$，$DH ⊥ CE$，垂足分别为$G, H$，则$∠ BGC = ∠ CHD = 90°$，根据直角三角形两锐角互余可得$∠ BCG + ∠ CBG = 90°$。
因为$CD ⊥ BC$，所以$∠ BCD = 90°$，即$∠ BCG + ∠ DCH = 90°$，因此$∠ CBG = ∠ DCH$（同角的余角相等）。
在$△ BCG$和$△ CDH$中：
$\begin{cases}∠ CBG = ∠ DCH \\∠ BGC = ∠ CHD \\BC = CD\end{cases}$
所以$△ BCG ≌ △ CDH$（AAS），可得$BG = CH$。
因为$AB=BC$，$BG ⊥ AC$，根据等腰三角形三线合一，$CG = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ BCG$中，由勾股定理得：
$BG^2 = BC^2 - CG^2 = 10^2 - 6^2 = 64$，所以$BG = 8\ \mathrm{cm}$，因此$CH = 8\ \mathrm{cm}$。
又因为$CD=DE$，$DH ⊥ CE$，根据等腰三角形三线合一，$CH = EH$，所以$CE = CH + EH = 2 × 8 = 16\ \mathrm{cm}$。
【答案】
16 cm
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，核心解题思路是构造等腰三角形的高线得到全等三角形和直角三角形，既考查了基础几何定理的灵活应用，也能帮助学生掌握构造辅助线的常用方法。
【难度系数】
0.6
4[2024 陕西中考,中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作$BF// AC$,且$BF=AE$,连接CF.若$AC=13$,$BC=10$,则四边形EBFC的面积为
60
.答案
4. 60 【解析】因为 $AB=AC$, 所以 $∠ABC = ∠ACB$. 因为 $BF // AC$, 所以 $∠ACB = ∠CBF$, 所以 $∠ABC = ∠CBF$, 所以 $BC$ 平分 $∠ABF$. 如图, 过点 $C$ 作 $CM ⊥ AB$ 于点 $M$, $CN ⊥ BF$ 于点 $N$, 则 $CM = CN$. 因为 $S_{△ ACE} = \frac{1}{2}AE · CM$, $S_{△ CBF} = \frac{1}{2}BF · CN$, 且 $BF = AE$, 所以 $S_{△ CBF} = S_{△ ACE}$, 所以四边形 $EBFC$ 的面积为 $S_{△ CBF} + S_{△ CBE} = S_{△ ACE} + S_{△ CBE} = S_{△ CBA}$. 因为 $AC = 13$, 所以 $AB = 13$. 设 $AM = x$, 则 $BM = 13-x$. 由勾股定理, 得 $CM^2 = AC^2 - AM^2 = BC^2 - BM^2$, 所以 $13^2 - x^2 = 10^2 - (13-x)^2$, 解得 $x = \frac{119}{13}$, 所以 $CM^2 = 13^2 - (\frac{119}{13})^2 = \frac{14\ 400}{169}$, 所以 $CM = \frac{120}{13}$, 所以 $S_{△ CBA} = \frac{1}{2}AB · CM = 60$, 所以四边形 $EBFC$ 的面积为 60. 故答案为 60.
解析
【分析】
本题求解不规则四边形EBFC的面积，直接计算条件不足，因此考虑通过面积转化求解。首先结合等腰三角形性质和平行线的性质，可推出BC是∠ABF的角平分线，根据角平分线的性质可得点C到AB、BF的距离相等，再结合BF=AE的条件，可推导出△CBF和△ACE面积相等，因此四边形EBFC的面积可转化为等腰△ABC的面积。接下来只需利用勾股定理求出等腰△ABC的高，即可计算出其面积，得到最终结果。
【解析】
因为 $AB=AC$, 所以 $∠ABC = ∠ACB$。
因为 $BF // AC$, 所以 $∠ACB = ∠CBF$, 因此 $∠ABC = ∠CBF$, 即 $BC$ 平分 $∠ABF$。
如图，过点 $C$ 作 $CM ⊥ AB$ 于点 $M$, $CN ⊥ BF$ 于点 $N$，根据角平分线的性质可得 $CM = CN$。
已知 $S_{△ ACE} = \frac{1}{2}AE · CM$, $S_{△ CBF} = \frac{1}{2}BF · CN$, 且 $BF = AE$, 因此 $S_{△ CBF} = S_{△ ACE}$。
所以四边形 $EBFC$ 的面积为：
$S_{四边形EBFC} = S_{△ CBF} + S_{△ CBE} = S_{△ ACE} + S_{△ CBE} = S_{△ ABC}$。
因为 $AC = 13$, 所以 $AB = AC=13$。设 $AM = x$, 则 $BM = 13-x$。
由勾股定理，在$Rt△ACM$和$Rt△BCM$中，$CM^2 = AC^2 - AM^2 = BC^2 - BM^2$，代入数值得：
$13^2 - x^2 = 10^2 - (13-x)^2$
展开计算得：$169 - x^2 = 100 - 169 + 26x - x^2$，消去$x^2$后解得 $x = \frac{119}{13}$。
代入求高：$CM^2 = 13^2 - (\frac{119}{13})^2 = \frac{14400}{169}$, 得 $CM = \frac{120}{13}$。
因此 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CM = \frac{1}{2}×13×\frac{120}{13}=60$，即四边形 $EBFC$ 的面积为 60。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题核心考查几何中的面积转化思想，通过将不规则四边形的面积转化为等腰三角形的面积，大幅降低了计算难度，同时综合考查了平行线性质、角平分线性质、勾股定理的运用，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题求解不规则四边形EBFC的面积，直接计算条件不足，因此考虑通过面积转化求解。首先结合等腰三角形性质和平行线的性质，可推出BC是∠ABF的角平分线，根据角平分线的性质可得点C到AB、BF的距离相等，再结合BF=AE的条件，可推导出△CBF和△ACE面积相等，因此四边形EBFC的面积可转化为等腰△ABC的面积。接下来只需利用勾股定理求出等腰△ABC的高，即可计算出其面积，得到最终结果。
【解析】
因为 $AB=AC$, 所以 $∠ABC = ∠ACB$。
因为 $BF // AC$, 所以 $∠ACB = ∠CBF$, 因此 $∠ABC = ∠CBF$, 即 $BC$ 平分 $∠ABF$。
如图，过点 $C$ 作 $CM ⊥ AB$ 于点 $M$, $CN ⊥ BF$ 于点 $N$，根据角平分线的性质可得 $CM = CN$。
已知 $S_{△ ACE} = \frac{1}{2}AE · CM$, $S_{△ CBF} = \frac{1}{2}BF · CN$, 且 $BF = AE$, 因此 $S_{△ CBF} = S_{△ ACE}$。
所以四边形 $EBFC$ 的面积为：
$S_{四边形EBFC} = S_{△ CBF} + S_{△ CBE} = S_{△ ACE} + S_{△ CBE} = S_{△ ABC}$。
因为 $AC = 13$, 所以 $AB = AC=13$。设 $AM = x$, 则 $BM = 13-x$。
由勾股定理，在$Rt△ACM$和$Rt△BCM$中，$CM^2 = AC^2 - AM^2 = BC^2 - BM^2$，代入数值得：
$13^2 - x^2 = 10^2 - (13-x)^2$
展开计算得：$169 - x^2 = 100 - 169 + 26x - x^2$，消去$x^2$后解得 $x = \frac{119}{13}$。
代入求高：$CM^2 = 13^2 - (\frac{119}{13})^2 = \frac{14400}{169}$, 得 $CM = \frac{120}{13}$。
因此 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CM = \frac{1}{2}×13×\frac{120}{13}=60$，即四边形 $EBFC$ 的面积为 60。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题核心考查几何中的面积转化思想，通过将不规则四边形的面积转化为等腰三角形的面积，大幅降低了计算难度，同时综合考查了平行线性质、角平分线性质、勾股定理的运用，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5[较难]如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处。当△CEB'为直角三角形时，BE的长为
$\frac{3}{2}$或3
。答案
5. $\frac{3}{2}$或3 【解析】当$△CEB'$为直角三角形时, 有以下两种情况:
①当$∠CB'E=90°$时, 如图(1)所示, 连接 $AC$. 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中, $AB=3$, $BC=4$, 所以 $AC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$, 则 $AC=5$. 因为 $∠B$ 沿 $AE$ 折叠, 使点 $B$ 落在点 $B'$ 处, 所以 $∠AB'E = ∠B = 90°$. 又因为 $∠CB'E=90°$, 所以点 $A, B', C$ 共线, 即 $∠B$ 沿 $AE$ 折叠, 使点 $B$ 落在对角线 $AC$ 上的点 $B'$ 处, 则 $EB = EB'$, $AB = AB' = 3$, 所以 $CB' = 5-3 = 2$. 设 $BE = EB' = x$, 则 $CE = 4-x$. 在 $\mathrm{Rt}△CEB'$ 中, 因为 $EB'^2 + CB'^2 = CE^2$, 所以 $x^2 + 2^2 = (4-x)^2$, 解得 $x = \frac{3}{2}$, 即 $BE = \frac{3}{2}$.
②当点 $B'$ 落在 $AD$ 边上时, 如图(2)所示. 易知此时四边形 $ABEB'$ 为正方形, $∠CEB' = 90°$, 所以 $BE = AB = 3$. 综上所述, $BE$ 的长为 $\frac{3}{2}$ 或 3. 故答案为 $\frac{3}{2}$ 或 3.
思路分析
分两种情形:
①当$∠EB'C=90°$时,②当点$B'$落在$AD$边上时,$∠CEB'=90°$,分别求解即可.
解析
【分析】
本题是矩形中的折叠问题，首先要明确折叠的性质：折叠前后对应边、对应角相等。题目中△CEB'为直角三角形，直角顶点未明确，因此需要分类讨论：排除不可能的直角情况后，分两种情形分析，①当∠CB'E=90°时，可推出点A、B'、C共线，结合勾股定理列方程求解；②当∠CEB'=90°时，可推出四边形ABEB'为正方形，直接推导BE的长度。
【解析】
当△CEB'为直角三角形时，分两种情况讨论：
① 当∠CB'E=90°时，如图(1)所示，连接AC。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由折叠的性质可知：∠AB'E=∠B=90°，AB=AB'=3，BE=B'E。
∵∠AB'E=∠CB'E=90°，
∴点A、B'、C三点共线，即B'落在对角线AC上，
∴$CB'=AC-AB'=5-3=2$。
设BE=x，则B'E=x，CE=BC-BE=4-x，
在Rt△CEB'中，由勾股定理得：$B'E^2+CB'^2=CE^2$，
代入得：$x^2+2^2=(4-x)^2$，
解得：$x=\frac{3}{2}$，即BE=$\frac{3}{2}$。
② 当∠CEB'=90°时，如图(2)所示，此时点B'落在AD边上。
由折叠性质知AB=AB'，∠B=∠AB'E=∠B'EB=90°，又
∵四边形ABCD是矩形，∠BAD=∠B=90°，
∴四边形ABEB'是正方形，
∴BE=AB=3。
综上所述，BE的长为$\frac{3}{2}$或3。
【答案】
$\frac{3}{2}$或3
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；分类讨论
【点评】
本题是折叠类的常见易错题，易错点是忽略对直角顶点的分类讨论，造成漏解。解题的核心是熟练运用折叠的性质得到相等的边和角，结合勾股定理建立方程求解未知线段长度。
【难度系数】
0.5
本题是矩形中的折叠问题，首先要明确折叠的性质：折叠前后对应边、对应角相等。题目中△CEB'为直角三角形，直角顶点未明确，因此需要分类讨论：排除不可能的直角情况后，分两种情形分析，①当∠CB'E=90°时，可推出点A、B'、C共线，结合勾股定理列方程求解；②当∠CEB'=90°时，可推出四边形ABEB'为正方形，直接推导BE的长度。
【解析】
当△CEB'为直角三角形时，分两种情况讨论：
① 当∠CB'E=90°时，如图(1)所示，连接AC。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由折叠的性质可知：∠AB'E=∠B=90°，AB=AB'=3，BE=B'E。
∵∠AB'E=∠CB'E=90°，
∴点A、B'、C三点共线，即B'落在对角线AC上，
∴$CB'=AC-AB'=5-3=2$。
设BE=x，则B'E=x，CE=BC-BE=4-x，
在Rt△CEB'中，由勾股定理得：$B'E^2+CB'^2=CE^2$，
代入得：$x^2+2^2=(4-x)^2$，
解得：$x=\frac{3}{2}$，即BE=$\frac{3}{2}$。
② 当∠CEB'=90°时，如图(2)所示，此时点B'落在AD边上。
由折叠性质知AB=AB'，∠B=∠AB'E=∠B'EB=90°，又
∵四边形ABCD是矩形，∠BAD=∠B=90°，
∴四边形ABEB'是正方形，
∴BE=AB=3。
综上所述，BE的长为$\frac{3}{2}$或3。
【答案】
$\frac{3}{2}$或3
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；分类讨论
【点评】
本题是折叠类的常见易错题，易错点是忽略对直角顶点的分类讨论，造成漏解。解题的核心是熟练运用折叠的性质得到相等的边和角，结合勾股定理建立方程求解未知线段长度。
【难度系数】
0.5
6[2026山东青岛质检,中]拉杆箱是人们出行的常用品,采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图,已知某种拉杆箱箱体AB长65 cm,拉杆最大伸长距离BC=35 cm,在箱体底端装有一圆形滚轮,当拉杆拉到最长时,滚轮的圆心在图中的A处,点A到地面的距离AD=3 cm,保持拉杆把手C(大小忽略不计)的位置不变,当滚轮圆心位于点A'处时,拉杆全部缩进箱体(即A'C=65 cm),此时AA'=55 cm.过点C作CE⊥DN于点E,延长AA'交CE于点F,点C,F,E在同一条直线上,点A,A',F在同一条直线上,AF⊥CE,图中所有的点在同一平面内,求拉杆把手C离地面的距离CE.(图中AF=DE,AD=FE)
答案
6.【解】设 $A'F = x$ cm, 则 $AF = (55+x)$ cm. 由题可得 $AC = 65 + 35 = 100$ ( cm ), $A'C = 65$ cm, $∠AFC = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△A'CF$ 中, 由勾股定理得 $CF^2 = A'C^2 - A'F^2 = 65^2 - x^2$, 在 $\mathrm{Rt}△ACF$ 中, 由勾股定理得 $CF^2 = AC^2 - AF^2 = 100^2 - (55+x)^2$, 所以 $65^2 - x^2 = 100^2 - (55+x)^2$, 解得 $x = 25$, 所以 $A'F = 25$ cm. 在 $\mathrm{Rt}△A'CF$ 中, $CF^2 = A'C^2 - A'F^2 = 3\ 600$, 所以 $CF = 60$ cm. 又因为 $EF = AD = 3$ cm, 所以 $CE = 60+3 = 63$( cm ), 所以拉杆把手 $C$ 离地面的距离 $CE$ 为 63 cm.
解析
【分析】
要计算拉杆把手C离地面的距离CE，由题意可知CE=CF+EF，其中EF=AD=3cm是已知量，因此核心是求出CF的长度。观察图形可得CF是Rt△A'CF和Rt△ACF的公共直角边，我们可以设A'F=x cm，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出CF²，再根据CF²相等列方程求解x，最后算出CF的长度，加上EF的长度即可得到CE。
【解析】
设 $A'F = x$ cm, 则 $AF = AA'+A'F = (55+x)$ cm。
由题意得：拉杆拉到最长时 $AC = AB + BC = 65 + 35 = 100$ cm，拉杆全部缩进时 $A'C = 65$ cm，且 $AF ⊥ CE$，即 $∠ AFC = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}△A'CF$ 中，根据勾股定理：
$CF^2 = A'C^2 - A'F^2 = 65^2 - x^2$
在 $\mathrm{Rt}△ACF$ 中，根据勾股定理：
$CF^2 = AC^2 - AF^2 = 100^2 - (55+x)^2$
联立两式可得方程：
$65^2 - x^2 = 100^2 - (55+x)^2$
展开整理得：
$4225 - x^2 = 10000 - 3025 - 110x - x^2$
消去同类项后解得 $x=25$，即$A'F = 25$ cm。
将$x=25$代入$CF^2 = 65^2 - x^2$，得$CF^2 = 4225 - 625 = 3600$，因此$CF = 60$ cm（长度为正，舍去负根）。
又因为$EF = AD = 3$ cm，所以$CE = CF + EF = 60 + 3 = 63$ cm。
【答案】
63 cm
【知识点】
勾股定理的应用，方程思想，线段和差计算
【点评】
本题结合生活中拉杆箱的实际场景命题，需要学生将实际问题转化为几何问题求解，解题的关键是找到两个直角三角形的公共直角边，利用勾股定理建立等量关系，能够很好地考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算拉杆把手C离地面的距离CE，由题意可知CE=CF+EF，其中EF=AD=3cm是已知量，因此核心是求出CF的长度。观察图形可得CF是Rt△A'CF和Rt△ACF的公共直角边，我们可以设A'F=x cm，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出CF²，再根据CF²相等列方程求解x，最后算出CF的长度，加上EF的长度即可得到CE。
【解析】
设 $A'F = x$ cm, 则 $AF = AA'+A'F = (55+x)$ cm。
由题意得：拉杆拉到最长时 $AC = AB + BC = 65 + 35 = 100$ cm，拉杆全部缩进时 $A'C = 65$ cm，且 $AF ⊥ CE$，即 $∠ AFC = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}△A'CF$ 中，根据勾股定理：
$CF^2 = A'C^2 - A'F^2 = 65^2 - x^2$
在 $\mathrm{Rt}△ACF$ 中，根据勾股定理：
$CF^2 = AC^2 - AF^2 = 100^2 - (55+x)^2$
联立两式可得方程：
$65^2 - x^2 = 100^2 - (55+x)^2$
展开整理得：
$4225 - x^2 = 10000 - 3025 - 110x - x^2$
消去同类项后解得 $x=25$，即$A'F = 25$ cm。
将$x=25$代入$CF^2 = 65^2 - x^2$，得$CF^2 = 4225 - 625 = 3600$，因此$CF = 60$ cm（长度为正，舍去负根）。
又因为$EF = AD = 3$ cm，所以$CE = CF + EF = 60 + 3 = 63$ cm。
【答案】
63 cm
【知识点】
勾股定理的应用，方程思想，线段和差计算
【点评】
本题结合生活中拉杆箱的实际场景命题，需要学生将实际问题转化为几何问题求解，解题的关键是找到两个直角三角形的公共直角边，利用勾股定理建立等量关系，能够很好地考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
7[2026安徽淮北质检,中]2025年3月16日,安徽太湖花亭湖半程马拉松激情开跑,此次比赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上,巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合,生动展现了“体育+文旅”的办赛理念.学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的PQ段参赛过程,如图,小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250 m的速度向Q处匀速前进,1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200 m的位置点C处.
(1)若$∠ ABC=90°$,请求出AB的长度;
(2)在(1)的条件下,小刚以250 m/min的速度从点A出发,此时小红在小刚前方90 m以200 m/min的速度匀速前进.在小刚追上小红前,经过多少分钟,他俩与小明的距离相等?
(1)若$∠ ABC=90°$,请求出AB的长度;
(2)在(1)的条件下,小刚以250 m/min的速度从点A出发,此时小红在小刚前方90 m以200 m/min的速度匀速前进.在小刚追上小红前,经过多少分钟,他俩与小明的距离相等?
答案
7.【解】(1)由题意知 $AC = 250×1 = 250$(米), $BC=200$ 米. 因为 $∠ABC=90°$, 所以在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中, $AB^2 = AC^2 - BC^2 = 22\ 500$, 所以 $AB = 150$ 米.
答:$AB$ 的长度为 150 米.
(2)如图, 设小刚的位置为点 $M$, 小红的位置为点 $N$, 过点 $B$ 作 $BH ⊥ AC$, 则 $BH^2 = BC^2 - CH^2 = AB^2 - AH^2$, 所以 $200^2 - (250-AH)^2 = 150^2 - AH^2$, 解得 $AH = 90$. 当 $BM = BN$ 时, 点 $M$ 和点 $N$ 在 $H$ 点异侧, 且 $HM = HN$, 设时间为 $t$ 分钟, 则 $HM = AH - AM = (90-250t)$ 米. 根据题意得 $HN = AN - AH = 90 + 200t - 90 = 200t$(米), 所以 $90-250t = 200t$, 解得 $t = 0.2$.
答:经过 0.2 分钟, 小刚与小红所在的位置与小明的距离相等.
解析
【分析】
(1) 首先根据赵老师的运动速度和运动时间，计算出A、C两点的距离AC；再结合已知条件∠ABC=90°、BC=200m，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求出AB的长度。
(2) 过点B作PQ的垂线BH，当小刚、小红到点B的距离相等时，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知HM=HN；先利用勾股定理列方程求出AH的长度，再设经过t分钟两人与小明距离相等，用含t的式子分别表示出HM和HN的长度，列一元一次方程求解即可，注意所求t需满足“小刚追上小红前”的前提条件。
【解析】
(1) 由题意可知，赵老师的速度为250m/min，从A到C用时1分钟，因此：
$AC = 250×1 = 250\ \mathrm{m}$，已知$BC=200\ \mathrm{m}$，$∠ABC=90°$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据勾股定理$AB^2 + BC^2 = AC^2$，代入数值得：
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 250^2 - 200^2 = 62500 - 40000 = 22500$
因此$AB = \sqrt{22500} = 150\ \mathrm{m}$。
(2) 过点$B$作$BH ⊥ AC$，垂足为$H$，设经过$t$分钟，小刚和小红与小明的距离相等，此时小刚的位置为点$M$，小红的位置为点$N$。
在$\mathrm{Rt}△ABH$和$\mathrm{Rt}△CBH$中，根据勾股定理可得$BH^2 = AB^2 - AH^2 = BC^2 - CH^2$，其中$CH = AC - AH = 250 - AH$，代入得：
$150^2 - AH^2 = 200^2 - (250 - AH)^2$
展开化简：$22500 - AH^2 = 40000 - 62500 + 500AH - AH^2$
解得$AH = 90\ \mathrm{m}$。
当$BM=BN$时，由等腰三角形三线合一可知$HM=HN$，且M、N分别在H的两侧：
小刚的路程$AM=250t$，因此$HM = AH - AM = 90 - 250t$；
小红距离A点的距离$AN = 90 + 200t$，因此$HN = AN - AH = 90 + 200t - 90 = 200t$。
根据$HM=HN$列方程：$90 - 250t = 200t$
解得$t = 0.2$。
经检验，此时小刚未追上小红，符合题意。
【答案】
(1) $AB$的长度为150米；
(2) 经过0.2分钟，他俩与小明的距离相等。
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用；行程问题
【点评】
本题结合真实赛事场景，将几何知识与行程问题融合，既考查了勾股定理的实际应用能力，也考查了动态问题中等量关系的建立能力，解题关键是理清各线段的数量关系，合理利用几何性质列方程求解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据赵老师的运动速度和运动时间，计算出A、C两点的距离AC；再结合已知条件∠ABC=90°、BC=200m，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求出AB的长度。
(2) 过点B作PQ的垂线BH，当小刚、小红到点B的距离相等时，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知HM=HN；先利用勾股定理列方程求出AH的长度，再设经过t分钟两人与小明距离相等，用含t的式子分别表示出HM和HN的长度，列一元一次方程求解即可，注意所求t需满足“小刚追上小红前”的前提条件。
【解析】
(1) 由题意可知，赵老师的速度为250m/min，从A到C用时1分钟，因此：
$AC = 250×1 = 250\ \mathrm{m}$，已知$BC=200\ \mathrm{m}$，$∠ABC=90°$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据勾股定理$AB^2 + BC^2 = AC^2$，代入数值得：
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 250^2 - 200^2 = 62500 - 40000 = 22500$
因此$AB = \sqrt{22500} = 150\ \mathrm{m}$。
(2) 过点$B$作$BH ⊥ AC$，垂足为$H$，设经过$t$分钟，小刚和小红与小明的距离相等，此时小刚的位置为点$M$，小红的位置为点$N$。
在$\mathrm{Rt}△ABH$和$\mathrm{Rt}△CBH$中，根据勾股定理可得$BH^2 = AB^2 - AH^2 = BC^2 - CH^2$，其中$CH = AC - AH = 250 - AH$，代入得：
$150^2 - AH^2 = 200^2 - (250 - AH)^2$
展开化简：$22500 - AH^2 = 40000 - 62500 + 500AH - AH^2$
解得$AH = 90\ \mathrm{m}$。
当$BM=BN$时，由等腰三角形三线合一可知$HM=HN$，且M、N分别在H的两侧：
小刚的路程$AM=250t$，因此$HM = AH - AM = 90 - 250t$；
小红距离A点的距离$AN = 90 + 200t$，因此$HN = AN - AH = 90 + 200t - 90 = 200t$。
根据$HM=HN$列方程：$90 - 250t = 200t$
解得$t = 0.2$。
经检验，此时小刚未追上小红，符合题意。
【答案】
(1) $AB$的长度为150米；
(2) 经过0.2分钟，他俩与小明的距离相等。
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用；行程问题
【点评】
本题结合真实赛事场景，将几何知识与行程问题融合，既考查了勾股定理的实际应用能力，也考查了动态问题中等量关系的建立能力，解题关键是理清各线段的数量关系，合理利用几何性质列方程求解。
【难度系数】
0.6
