7.如图,已知$∠A + ∠BCD = 140°$, BO平分$∠ABC$,DO平分$∠ADC$,BC,DC的延长线分别交AD,AB于点F,E.求$∠BOD$的度数.

7.70°

【分析】
解题时可以利用三角形外角的性质逐步推导，首先观察图形，我们可以通过延长BC构造外角，先推导出∠BCD与∠A、∠ABC、∠ADC的关系；再结合角平分线的性质，得到角平分线分出的小角与原角的数量关系；最后再次利用三角形外角的性质推导∠BOD和上述角度的关系，整体代入已知条件即可求解，不需要单独计算每个小角的度数。
【解析】
解：延长BC交AD于点F。
1. 根据三角形外角的性质：
在△ABF中，∠CFD是外角，因此$∠ CFD = ∠ A + ∠ ABC$；
在△CFD中，∠BCD是外角，因此$∠ BCD = ∠ CFD + ∠ ADC$；
联立两式得：$\boldsymbol{∠ BCD = ∠ A + ∠ ABC + ∠ ADC}$ ①
2. 已知BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，根据角平分线的定义：
$∠ ABO = ∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ADO = ∠ ODC = \frac{1}{2}∠ ADC$
3. 再推导∠BOD的角度关系：
同理可得，$∠ BFD = ∠ BOD + \frac{1}{2}∠ ADC$，且$∠ BFD = ∠ A + \frac{1}{2}∠ ABC$，
联立整理得：$\boldsymbol{∠ BOD = ∠ A + \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ ADC}$ ②
4. 将①式变形可得：$∠ A + ∠ BCD = 2∠ A + ∠ ABC + ∠ ADC = 2(∠ A + \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ ADC)$，
结合②式可得：$∠ A + ∠ BCD = 2∠ BOD$。
5. 已知$∠ A + ∠ BCD = 140°$，代入得：
$∠ BOD = \frac{1}{2} × 140° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的典型题，既可以通过外角性质逐步推导，也可以直接运用飞镖模型快速求解，解题的关键是灵活运用整体代入的思想，避免单独求解未知小角，简化计算过程。
【难度系数】
0.6

8.如图,当点 C 在第一象限时,若 AM 平分$∠CAO$,BM 平分$∠CBO$,连接 AB.$∠C$和$∠M$之间是否存在确定的数量关系?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.

8.存在 $2∠M−∠C=90°$.证明略

【分析】
要解决这个问题，首先挖掘坐标系的隐含条件：x轴与y轴垂直，即$∠ AOB=90°$。遇到角平分线可以设相等的角为参数，再利用三角形内角和定理分别在$△ ABC$和$△ ABM$中表示出角的关系，通过消去参数就能得到$∠ C$和$∠ M$的确定数量关系。
【解析】
存在确定的数量关系：$2∠ M - ∠ C = 90°$，证明如下：
1. 由x轴与y轴互相垂直，可得$∠ AOB=90°$。在$△ AOB$中，根据三角形内角和定理：$∠ OAB + ∠ OBA + ∠ AOB=180°$，因此$∠ OAB + ∠ OBA=90°$。
2. 根据角平分线的定义，设$∠ CAM=∠ MAO=α$，$∠ CBM=∠ MBO=β$。
3. 在$△ ABC$中，$∠ C + ∠ CAB + ∠ CBA=180°$，其中$∠ CAB=∠ OAB+2α$，$∠ CBA=∠ OBA+2β$，代入得：
$∠ C + (∠ OAB+2α) + (∠ OBA+2β)=180°$
将$∠ OAB + ∠ OBA=90°$代入上式，整理得：
$∠ C + 90° + 2(α+β)=180°$，即$α+β=\frac{90°-∠ C}{2}$ ①
4. 在$△ ABM$中，$∠ M + ∠ MAB + ∠ MBA=180°$，其中$∠ MAB=∠ OAB+α$，$∠ MBA=∠ OBA+β$，代入得：
$∠ M + (∠ OAB+α) + (∠ OBA+β)=180°$
同理代入$∠ OAB + ∠ OBA=90°$，整理得：
$∠ M + 90° + (α+β)=180°$，即$α+β=90°-∠ M$ ②
5. 联立①②得：$\frac{90°-∠ C}{2}=90°-∠ M$，两边同乘2后整理可得$2∠ M - ∠ C=90°$。
【答案】
存在确定的数量关系，$\boldsymbol{2∠ M - ∠ C = 90°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；垂直的性质
【点评】
本题属于三角形角度关系的典型题型，解题的关键是合理利用角平分线设参数，结合坐标系隐含的直角条件，通过三角形内角和建立角度等式，消去参数即可得到目标角的数量关系。
【难度系数】
0.6

9.将三角尺$MPN(∠MPN=90°)$放置在$△ ABC$上(点$P$在$△ ABC$内),如图1所示,三角尺的两边$PM$,$PN$恰好经过点$B$和点$C$.我们来探究$∠ABP$与$∠ACP$之间是否存在某种数量关系.
(1)[特例探索]若$∠A = 50°$,则$∠PBC + ∠PCB =$ $°$, $∠ABP + ∠ACP =$ $°$;
(2)[类比探索]求$∠ABP$,$∠ACP$,$∠A$之间的数量关系,并说明理由;
(3)[变式探索]如图2所示,改变三角尺的位置,使点$P$在$△ ABC$外,三角尺的两边$PM$,$PN$仍恰好经过点$B$和点$C$,求$∠ABP$,$∠ACP$,$∠A$之间的数量关系,并说明理由.

9.(1)90 40
(2)$∠ABP+∠ACP=90°−∠A$.理由略
(3)$∠ACP−∠ABP=90°−∠A$.理由略

【分析】
本题主要利用三角形内角和定理探究角度之间的数量关系：
(1) 特例计算时，先在含直角的△PBC中直接求出∠PBC+∠PCB的度数，再结合△ABC的内角和，将∠ABC、∠ACB拆分成含∠ABP、∠ACP的式子，代入计算即可。
(2) 推导普遍关系时，将(1)中∠A的具体数值替换为任意角度，沿用同样的角度拆分、代换思路即可得到三个角的数量关系。
(3) 点P在三角形外时，仍以两个三角形的内角和为基础，结合图形准确分析∠PBC、∠PCB与△ABC各内角的和差关系，整理后代入即可得到对应的数量关系。
【解析】
(1) 在△PBC中，∠MPN=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ PBC+∠ PCB=180°-∠ P=180°-90°=90°$。
在△ABC中，$∠ A=50°$，同理可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$。
又
∵$∠ ABC=∠ ABP+∠ PBC$，$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$，
∴$∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=130°-90°=40°$。
(2) 数量关系：$\boldsymbol{∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A}$，理由如下：
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
在△PBC中，$∠ PBC+∠ PCB=90°$，
将$∠ ABC=∠ ABP+∠ PBC$，$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$代入△ABC的内角和式子得：
$∠ ABP+∠ PBC+∠ ACP+∠ PCB=180°-∠ A$，
即$∠ ABP+∠ ACP+(∠ PBC+∠ PCB)=180°-∠ A$，
把$∠ PBC+∠ PCB=90°$代入得：
$∠ ABP+∠ ACP+90°=180°-∠ A$，
整理得$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
(3) 数量关系：$\boldsymbol{∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A}$，理由如下：
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
在△PBC中，$∠ PBC+∠ PCB=90°$，
结合图形可知：$∠ PBC=∠ ABC-∠ ABP$，$∠ PCB=∠ ACB+∠ ACP$，
代入△PBC的内角和式子得：
$∠ ABC-∠ ABP+∠ ACB+∠ ACP=90°$，
即$(∠ ABC+∠ ACB)+(∠ ACP-∠ ABP)=90°$，
把$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$代入得：
$180°-∠ A +∠ ACP-∠ ABP=90°$，
整理得$∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A$。
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{40}$
(2) $\boxed{∠ABP+∠ACP=90°−∠A}$
(3) $\boxed{∠ACP−∠ABP=90°−∠A}$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角的和差计算
3. 等量代换
【点评】
本题从特例探究到一般规律推导，再到变式拓展，层层递进，考查对三角形内角和定理的灵活运用能力，解题的关键是结合图形准确拆分各角之间的和差关系，通过等量代换整理得到所求角的数量关系，是三角形角度探究的典型习题。
【难度系数】
0.65