10. 一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,已知$a:b=3:2,b:c=4:5$,且该三角形的周长为30,则该三角形的三边长分别为.

D

根据勾股定理的逆定理，验证各选项中两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方：
选项A：$5^2+11^2=25+121=146$，$12^2=144$，$146≠144$，不能组成直角三角形；
选项B：$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
选项C：$4^2+6^2=16+36=52$，$7^2=49$，$52≠49$，不能组成直角三角形；
选项D：$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，$8^2+15^2=17^2$，能组成直角三角形。

11. 改编题（1）已知$3x + 2y + z = 315$，$x + 2y + 3z = 285$，则$x + y + z =$；
（2）若$x = \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b}$，且$a + b + c ≠ 0$，则$x$的值为。

D

根据题中给出的规律，可得$b=(\frac{a}{2})^2 -1$，$c=(\frac{a}{2})^2 +1$。当$a=24$时，$\frac{a}{2}=12$，代入计算：$b=12^2 -1=143$，$c=12^2 +1=145$，因此$b+c=143+145=288$。

12. A,B两地之间的路程是200千米,甲、乙两车同时从A地出发,沿同一路线匀速行驶,前往B地,甲车行驶到B地后立即返回.已知甲车速度是乙车速度的1.5倍,两车行驶2小时相遇.
(1)求甲、乙两车的速度；
(2)当两车相遇时,求甲车距B地的路程.

12. (1)设乙车的速度为 $x$ 千米/时,则甲车的速度为 $1.5x$ 千米/时,根据题意得 $1.5x×2+x×2=200×2$,解得 $x=80$,所以 $1.5x=1.5×80=120$.
答:甲车的速度为 120 千米/时,乙车的速度为 80 千米/时.
(2)$120×2-200=40$(千米).
答:当两车相遇时,甲车距 B 地的路程为 40 千米.

【分析】
(1)本题是行程类一元一次方程应用题，已知两车速度的倍数关系，可设乙车速度为x千米/时，则甲车速度为1.5x千米/时。两车同时从A地出发，2小时相遇时甲车已到达B地并返回，此时两车行驶的总路程等于2倍的A、B两地路程，以此为等量关系列方程，求解即可得到两车的速度。
(2)相遇时甲车共行驶了2小时，先计算甲车2小时行驶的总路程，减去A、B两地的总路程200千米，所得结果就是甲车距离B地的路程。
【解析】
(1) 设乙车的速度为$x$千米/时，则甲车的速度为$1.5x$千米/时。
根据题意列方程：
$1.5x×2 + x×2 = 200×2$
合并同类项得：$5x=400$
解得：$x=80$
所以甲车速度为$1.5x=1.5×80=120$（千米/时）
答：甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时。
(2) 相遇时甲车行驶的总路程为$120×2=240$千米，
则甲车距B地的路程为$240-200=40$（千米）
答：当两车相遇时，甲车距B地的路程为40千米。
【答案】
(1)甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时；(2)当两车相遇时，甲车距B地的路程为40千米。
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇问题，合并同类项
【点评】
本题是典型的行程类实际应用题，解题的核心是找准两车相遇时的路程等量关系，即两车总行驶路程为2倍的A、B两地距离，同时考察了一元一次方程的求解能力，掌握路程、速度、时间的关系是解题基础。
【难度系数】
0.75

13. 小明妈妈想检测小明学习“列方程解应用题”的效果，给了小明37个苹果，要小明把它们分成四堆.要求分后，如果再把第一堆增加一倍，第二堆增加2个，第三堆减少3个，第四堆减少一半后，这四堆苹果的个数相同，那么这四堆苹果中个数最多的一堆为多少个？

C

根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理逐一判断：
1. 选项A：计算得$BC^2+AC^2=4^2+5^2=41$，$AB^2=6^2=36$，$41≠36$，不是直角三角形；
2. 选项B：计算得$AC^2+AB^2=(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{41}{400}$，$BC^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不是直角三角形；
3. 选项C：设$BC=3k$，$AC=4k$，$AB=5k$（$k＞0$），则$BC^2+AC^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2=AB^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
4. 选项D：由三角形内角和为$180°$，得三个内角分别为$45°$、$60°$、$75°$，不存在直角，不是直角三角形。

14. 新华书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书200元以上一律打七折.
小丽在这次活动中，两次购书总共付款240.87元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是.

$\boldsymbol{36}$

第8题
解：连接AC。
∵ $∠ B=90°$，$AB=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ $AD=12$，$DC=13$，
∴ $AC^2+AD^2=5^2+12^2=169=13^2=DC^2$，
∴ $△ ACD$是直角三角形，$∠ CAD=90°$。
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC + \frac{1}{2}× AC× AD$
$=\frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×5×12$
$=6+30=36$。
第9题
解：由题意可得：
$OA=16×1.5=24$（海里），
$OB=12×1.5=18$（海里）。
∵ $AB=30$海里，
∴ $OA^2+OB^2=24^2+18^2=900=30^2=AB^2$，
∴ $△ AOB$是直角三角形，$∠ AOB=90°$。
已知第一艘轮船向北偏东$40°$航行，即$∠ AOD=40°$，
∴ $∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=90°-40°=50°$。
答：另一艘轮船航行的方向是北偏西$50°$。
最终第8题

15. 生活中处处有数学.如图①是某年的月历表，用一个正方形框出9个数.
(1)在图①中框出九个数之和最大的正方形.
(2)若一个正方形内九个数之和是108，求出它中间的数.
(3)将自然数按图②的方式排列，框出九个数，其和能为2079吗？若能，求出该方框中的最小数；若不能，请说明理由.

15. (1)如图,实线框就是框出九个数之和最大的正方形.
(2)设正方形中间的数为 $x$,则另八个数(按从小到大的顺序)为 $x-8,x-7,x-6,x-1,x+1,x+6,x+7,x+8$,这九个数相加的和为 $9x$,所以 $9x=108$,解得 $x=12$.
(3)不能.理由:设框出的正方形中间的数为 $y$.依题意得 $9y=2\ 079$,解得 $y=231$,即正方形中间的数为 231.又因为 $231÷7=33$,所以 231 正好在第 7 列,故此时不能框出符合题意的九个数.

【分析】
(1) 首先探究月历中3×3方框内9个数的规律：9个数的和是中间数的9倍，要使和最大，就要找到能作为3×3方框中间数的最大值，要求该数所在行上下至少各有1行，所在列左右至少各有1列，找到符合要求的最大中间数后对应框出9个数即可。
(2) 设中间数为x，根据月历“同行相邻数差1，同列相邻数差7”的规律，用x表示剩余8个数，将9个数相加合并同类项后可得和为9x，再根据和为108列方程求解即可。
(3) 图②的排列规律和月历一致，每行7个数，同样满足9个数的和为9倍中间数，先列方程求出中间数，再判断中间数的位置：如果中间数在第1列或第7列，就无法框出3列的9个数，据此判断可行性即可。
【解析】
(1) 要使9个数之和最大，需选择最大的合法中间数，观察月历可得符合要求的最大中间数为22，对应框出的9个数为14、15、16、21、22、23、28、29、30，用实线框出这9个数即可。
(2) 设正方形中间的数为$x$，根据月历的数字排列规律，其余8个数分别为$x-8$、$x-7$、$x-6$、$x-1$、$x+1$、$x+6$、$x+7$、$x+8$。
九个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\=&9x+(-8+8)+(-7+7)+(-6+6)+(-1+1)\\=&9x\end{aligned}$
由题意得$9x=108$，解得$x=12$。
(3) 不能，理由如下：
设图②中框出的正方形中间的数为$y$，同理可得9个数的和为$9y$。
依题意列方程：$9y=2079$，解得$y=231$。
因为图②每行排列7个数，$231÷7=33$，说明231在第33行的第7列（最后一列），它的右侧没有数字，无法框出包含3列的9个数，因此不能框出和为2079的九个数。
【答案】
(1) 框出14、15、16、21、22、23、28、29、30这9个数即可；
(2) 中间的数为$\boxed{12}$；
(3) 不能，理由：求得中间数为231，231位于第7列，无法框出符合题意的九个数。
【知识点】
数字规律探究、一元一次方程的应用、合并同类项
【点评】
本题结合生活中的月历和数字排列情境，考查规律探究能力和方程思想的应用，解题核心是先推导出3×3方框内9个数的和与中间数的关系，同时要注意验证中间数的位置是否符合框数要求，避免出现逻辑疏漏。
【难度系数】
0.7

16. 解方程：$\frac{1}{2}(y+1)+\frac{1}{3}(y+2)+\frac{1}{4}(y+3)+\dots+\frac{1}{2026}(y+2025)=2025$

解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=$\boldsymbol{5-1=4}$（尺），
OE=$\boldsymbol{(x-4)}$尺，
在Rt△OEB中，OB=x尺，OE=(x-4)尺，EB=10尺，
根据勾股定理，得$\boldsymbol{(x-4)^2 + 10^2 = x^2}$，
整理，得$\boldsymbol{8x=116}$，
解得$x=\boldsymbol{14.5}$。
答：秋千绳索的长度为$\boldsymbol{14.5}$尺。

【分析】
首先观察方程左边的结构，每一项都是形如$\frac{1}{n+1}(y+n)$（n从1到2025）的式子，第一步可先去括号，将含y的项和常数项分别合并同类项，得到一元一次方程的标准形式；再观察常数项共有2025项，刚好和方程右侧的2025对应，可将2025拆分为2025个1相加，每一个1减去左侧对应的常数项，就能简化右侧计算，发现右侧结果刚好和y的系数相等，最后系数化为1即可求出y的值，无需计算复杂的分数和。
【解析】
解：先将原方程拆项，合并同类项得：
$( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2026} )y + ( \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\dots +\frac{2025}{2026} ) = 2025$
移项得：
$( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2026} )y = 2025 - ( \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\dots +\frac{2025}{2026} )$
将右侧的2025拆分为2025个1相加，对应减去每一个常数项：
$\begin{aligned}\mathrm{右边} &= (1-\frac{1}{2}) + (1-\frac{2}{3}) + (1-\frac{3}{4}) + \dots + (1-\frac{2025}{2026}) \\&= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2026}\end{aligned}$
因此方程变为：
$( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2026} )y = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2026}$
两边同时除以$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2026}$（该式不为0），得$y=1$。
【答案】
$y=1$
【知识点】
解一元一次方程；合并同类项；有理数巧算
【点评】
本题解题的核心是观察式子的结构规律，避免盲目去分母计算庞大的分数和，通过拆项、拆分常数的技巧简化运算，考察对解方程步骤的灵活运用和规律观察能力。
【难度系数】
0.3