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1[2026 山东聊城期中,中]如图,数轴上的点A,B,C,D分别表示有理数-2,x,2,y,则下列结论正确的是 (
A.$-y＜x＜2＜y$
B.$-2＜-y＜2＜y$
C.$-x＜x＜2＜y$
D.$-y＜-x＜-2＜0$
A
)A.$-y＜x＜2＜y$
B.$-2＜-y＜2＜y$
C.$-x＜x＜2＜y$
D.$-y＜-x＜-2＜0$
答案
因为互为相反数的两个数到原点的距离相等,所以可以确定$-y,0,-x$在数轴上的位置如图:
则$-y＜-2＜x＜0＜-x＜2＜y$. 观察选项可知,只有A选项正确. 故选 A.
2[2026福建福州期中,中]已知数轴上从左向右依次有A,B,C,D,E,F,G七个点,分别表示有理数a,b,c,d,e,f,g,其中点D到点B的距离等于点D到点F的距离.若|b|＞|f|,则上述七个有理数中一定是负有理数的是
$a,b,c,d$
.答案
由数轴上点的顺序可知$a＜b＜c＜d＜e＜f＜g$. 因为点B,D,F表示的数分别为b,d,f,点D到点B和点F的距离相等,且$|b|＞|f|$,所以原点一定在点D的右侧,所以点A,B,C,D表示的数一定为负有理数. 故答案为$a,b,c,d$.
3[2026河南信阳质检,中]阅读下列材料:当a=3时,有|a|=3=a,即当a＞0时,a的绝对值是它本身;当a=0时,|a|=0,即0的绝对值是0;当a=-3时,有|a|=3=-a,即当a＜0时,a的绝对值是它的相反数.综合上述讨论,可得当a≥0时,|a|=a;当a＜0时,|a|=-a.这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想,请解答下列问题.
(1)比较大小:|-7|
(2)请仿照上述分类讨论的方法,分析|a|与-a的大小关系.
(1)比较大小:|-7|
=
7;|3| ＞
-3(填“＜”“=”或“＞”);(2)请仿照上述分类讨论的方法,分析|a|与-a的大小关系.
答案
(1)$|-7|=7$,$|3|＞-3$. 故答案为=,＞.
(2)当$a＞0$时,$|a|=a＞-a$;当$a=0$时,$|a|=0=-a$;当$a＜0$时,$|a|=-a$.
(2)当$a＞0$时,$|a|=a＞-a$;当$a=0$时,$|a|=0=-a$;当$a＜0$时,$|a|=-a$.
4 新考法[2026河北石家庄期末,中]【阅读理解
解】对于互不相等的三个数$a,b,c$,我们用符号来表示其中最小的数和最大的数,规定$\min\{a,b,c\}$表示这三个数中最小的数,$\max\{a,b,c\}$表示这三个数中最大的数,例如:$\min\{-1,1,3\}=-1$,$\max\{-1,1,3\}=3$.
【知识解答】(1) $\min\{2,0,-3\}=$
$\max\{1,0,-2\}=$
【知识应用】(2) 求 $\min\{\max\{-\dfrac{1}{3},-1\},\min\{-\dfrac{3}{4},-\dfrac{2}{3}\}\}$的值.
【知识探究】(3) 是否存在有理数$x$,使$\min\{-1,-2,|x|\}=\max\{x,x-1,x-2\}$?若存在,求出$x$的值;若不存在,说明理由.
刷素养 走向重高
解】对于互不相等的三个数$a,b,c$,我们用符号来表示其中最小的数和最大的数,规定$\min\{a,b,c\}$表示这三个数中最小的数,$\max\{a,b,c\}$表示这三个数中最大的数,例如:$\min\{-1,1,3\}=-1$,$\max\{-1,1,3\}=3$.
【知识解答】(1) $\min\{2,0,-3\}=$
$-3$
;$\max\{1,0,-2\}=$
$1$
.【知识应用】(2) 求 $\min\{\max\{-\dfrac{1}{3},-1\},\min\{-\dfrac{3}{4},-\dfrac{2}{3}\}\}$的值.
【知识探究】(3) 是否存在有理数$x$,使$\min\{-1,-2,|x|\}=\max\{x,x-1,x-2\}$?若存在,求出$x$的值;若不存在,说明理由.
刷素养 走向重高
答案
(1)由题意得,$\min\{2,0,-3\}=-3$,$\max\{1,0,-2\}=1$,故答案为-3,1.
(2)因为$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$,$|-1|=1$,$\dfrac{1}{3}＜1$,所以$-\dfrac{1}{3}＞-1$,所以$\max\{-\dfrac{1}{3},-1\}=-\dfrac{1}{3}$. 因为$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$,$\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$,$\dfrac{3}{4}＞\dfrac{2}{3}$,所以$-\dfrac{3}{4}＜-\dfrac{2}{3}$,所以$\min\{-\dfrac{3}{4},-\dfrac{2}{3}\}=-\dfrac{3}{4}$,所以$\min\{\max\{-\dfrac{1}{3},-1\},\min\{-\dfrac{3}{4},-\dfrac{2}{3}\}\}=\min\{-\dfrac{1}{3},-\dfrac{3}{4}\}$. 因为$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$,$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$,$\dfrac{1}{3}＜\dfrac{3}{4}$,所以$-\dfrac{1}{3}＞-\dfrac{3}{4}$,所以原式$=\min\{-\dfrac{1}{3},-\dfrac{3}{4}\}=-\dfrac{3}{4}$.
(3)存在. 因为$-2＜-1$,$|x|≥0$,所以$\min\{-1,-2,|x|\}=-2$. 因为$x＞x-1＞x-2$,所以$\max\{x,x-1,x-2\}=x$. 因为$\min\{-1,-2,|x|\}=\max\{x,x-1,x-2\}$,所以$x=-2$.
(2)因为$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$,$|-1|=1$,$\dfrac{1}{3}＜1$,所以$-\dfrac{1}{3}＞-1$,所以$\max\{-\dfrac{1}{3},-1\}=-\dfrac{1}{3}$. 因为$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$,$\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$,$\dfrac{3}{4}＞\dfrac{2}{3}$,所以$-\dfrac{3}{4}＜-\dfrac{2}{3}$,所以$\min\{-\dfrac{3}{4},-\dfrac{2}{3}\}=-\dfrac{3}{4}$,所以$\min\{\max\{-\dfrac{1}{3},-1\},\min\{-\dfrac{3}{4},-\dfrac{2}{3}\}\}=\min\{-\dfrac{1}{3},-\dfrac{3}{4}\}$. 因为$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$,$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$,$\dfrac{1}{3}＜\dfrac{3}{4}$,所以$-\dfrac{1}{3}＞-\dfrac{3}{4}$,所以原式$=\min\{-\dfrac{1}{3},-\dfrac{3}{4}\}=-\dfrac{3}{4}$.
(3)存在. 因为$-2＜-1$,$|x|≥0$,所以$\min\{-1,-2,|x|\}=-2$. 因为$x＞x-1＞x-2$,所以$\max\{x,x-1,x-2\}=x$. 因为$\min\{-1,-2,|x|\}=\max\{x,x-1,x-2\}$,所以$x=-2$.
5 核心素养推理能力[2026安徽阜阳期中,较难]请阅读材料,并解决问题.
比较两个数的大小的方法:
若比较$-\frac{99}{201}$与$-\frac{51}{101}$的大小,利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及分数的通分,计算量大,可以使用如下的方法改进:
因为$\frac{99}{201}＜\frac{1}{2}$,$\frac{51}{101}＞\frac{1}{2}$,所以$\frac{99}{201}＜\frac{51}{101}$,所以$-\frac{99}{201}＞-\frac{51}{101}$.
(1)上述方法是先通过找中间量
(2)利用上述方法比较$-\frac{43}{126}$与$-\frac{79}{243}$的大小.
比较两个数的大小的方法:
若比较$-\frac{99}{201}$与$-\frac{51}{101}$的大小,利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及分数的通分,计算量大,可以使用如下的方法改进:
因为$\frac{99}{201}＜\frac{1}{2}$,$\frac{51}{101}＞\frac{1}{2}$,所以$\frac{99}{201}＜\frac{51}{101}$,所以$-\frac{99}{201}＞-\frac{51}{101}$.
(1)上述方法是先通过找中间量
$\dfrac{1}{2}$
来比较出$\frac{99}{201}$与$\frac{51}{101}$的大小,再根据两个负数比较大小,绝对值
大的负数反而小,比较出$-\frac{99}{201}$与$-\frac{51}{101}$的大小,把这种方法叫作借助中间量比较法;(2)利用上述方法比较$-\frac{43}{126}$与$-\frac{79}{243}$的大小.
答案
(1)题中的方法是先通过找中间量$\dfrac{1}{2}$来比较出$\dfrac{99}{201}$与$\dfrac{51}{101}$的大小,再根据两个负数比较大小,绝对值大的负数反而小,比较出$-\dfrac{99}{201}$与$-\dfrac{51}{101}$的大小,把这种方法叫作借助中间量比较法. 故答案为$\dfrac{1}{2}$,绝对值.
(2)因为$\dfrac{43}{126}＞\dfrac{42}{126}=\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{79}{243}＜\dfrac{81}{243}=\dfrac{1}{3}$,所以$\dfrac{43}{126}＞\dfrac{79}{243}$,所以$-\dfrac{43}{126}＜-\dfrac{79}{243}$.
(2)因为$\dfrac{43}{126}＞\dfrac{42}{126}=\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{79}{243}＜\dfrac{81}{243}=\dfrac{1}{3}$,所以$\dfrac{43}{126}＞\dfrac{79}{243}$,所以$-\dfrac{43}{126}＜-\dfrac{79}{243}$.
