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教材母题▶ (教材P84第4题)如图,在$△ ABC$中,点D,E在边AB上,$AB=AC$,$AD=AE$,求证:$BD=CE$.
【教材变式1】如图,在$△ ABC$中,$CA=CB$,$∠ ACB=90°$,$O$为$AB$的中点,$D,E$分别在$AC,BC$上,且$OD⊥ OE$.求证:$CD+CE=AC$.
【教材变式1】如图,在$△ ABC$中,$CA=CB$,$∠ ACB=90°$,$O$为$AB$的中点,$D,E$分别在$AC,BC$上,且$OD⊥ OE$.求证:$CD+CE=AC$.
答案
过点A作$AM⊥BC$于点M,证$BM=CM,DM=EM$即可
【教材变式1】如图,连接CO,易证△ABC,△AOC,△BOC都为等腰直角三角形,$\therefore AO=CO,∠A=∠OCE=45^{\circ },∠AOC=90^{\circ }$,$\because OD⊥ OE,\therefore ∠DOE=90^{\circ },\therefore ∠AOC-∠DOC=∠DOE-∠DOC,\therefore ∠AOD=∠COE,\therefore △ADO≌ △CEO(ASA),\therefore AD=CE,\because CD+AD=AC,\therefore CD+CE=AC$
解析
【分析】
教材母题：要证$BD=CE$，已知$△ ABC$和$△ ADE$均为等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点$A$作$BC$的垂线，分别得到$BC$和$DE$的中点，通过线段差的关系即可证明结论。
教材变式1：要证$CD+CE=AC$，观察得$AC=CD+AD$，因此只需证明$AD=CE$即可。已知$△ ABC$是等腰直角三角形，$O$是$AB$中点，连接$CO$可利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到角和边的相等关系，再结合$OD⊥ OE$的条件证明$△ AOD$和$△ COE$全等，即可得到$AD=CE$，代入线段和的关系即可得证。
【解析】
教材母题证明：
过点$A$作$AM ⊥ BC$于点$M$。
$\because AB=AC$，$AM ⊥ BC$，由等腰三角形三线合一得$BM=CM$。
又$\because AD=AE$，$AM ⊥ DE$，同理得$DM=EM$。
$\therefore BM-EM=CM-DM$，即$BD=CE$。
教材变式1证明：
连接$CO$。
$\because CA=CB$，$∠ ACB=90°$，$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ A=45°$。
$\because O$为$AB$中点，由等腰直角三角形性质得$AO=CO$，$CO$平分$∠ ACB$、$CO⊥ AB$，因此$∠ OCE=45°$，$∠ AOC=90°$。
$\because OD⊥ OE$，$\therefore ∠ DOE=90°$。
$\therefore ∠ AOC-∠ DOC=∠ DOE-∠ DOC$，即$∠ AOD=∠ COE$。
在$△ ADO$和$△ CEO$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ OCE \\AO=CO \\∠ AOD=∠ COE\end{cases}$
$\therefore △ ADO ≌ △ CEO(\mathrm{ASA})$，得$AD=CE$。
$\because CD+AD=AC$，$\therefore CD+CE=AC$。
【答案】
过点A作$AM⊥BC$于点M,证$BM=CM,DM=EM$即可
【教材变式1】如图,连接CO,易证△ABC,△AOC,△BOC都为等腰直角三角形,$\therefore AO=CO,∠A=∠OCE=45^{\circ },∠AOC=90^{\circ }$,$\because OD⊥ OE,\therefore ∠DOE=90^{\circ },\therefore ∠AOC-∠DOC=∠DOE-∠DOC,\therefore ∠AOD=∠COE,\therefore △ADO≌ △CEO(ASA),\therefore AD=CE,\because CD+AD=AC,\therefore CD+CE=AC$
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形性质
【点评】
两道题均围绕等腰三角形的性质设计，母题直接利用“三线合一”作辅助线即可推导结论，变式题通过连接斜边中点构造全等三角形完成线段转化，是等腰三角形与全等三角形结合的典型习题，掌握合理构造辅助线的方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
教材母题：要证$BD=CE$，已知$△ ABC$和$△ ADE$均为等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点$A$作$BC$的垂线，分别得到$BC$和$DE$的中点，通过线段差的关系即可证明结论。
教材变式1：要证$CD+CE=AC$，观察得$AC=CD+AD$，因此只需证明$AD=CE$即可。已知$△ ABC$是等腰直角三角形，$O$是$AB$中点，连接$CO$可利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到角和边的相等关系，再结合$OD⊥ OE$的条件证明$△ AOD$和$△ COE$全等，即可得到$AD=CE$，代入线段和的关系即可得证。
【解析】
教材母题证明：
过点$A$作$AM ⊥ BC$于点$M$。
$\because AB=AC$，$AM ⊥ BC$，由等腰三角形三线合一得$BM=CM$。
又$\because AD=AE$，$AM ⊥ DE$，同理得$DM=EM$。
$\therefore BM-EM=CM-DM$，即$BD=CE$。
教材变式1证明：
连接$CO$。
$\because CA=CB$，$∠ ACB=90°$，$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ A=45°$。
$\because O$为$AB$中点，由等腰直角三角形性质得$AO=CO$，$CO$平分$∠ ACB$、$CO⊥ AB$，因此$∠ OCE=45°$，$∠ AOC=90°$。
$\because OD⊥ OE$，$\therefore ∠ DOE=90°$。
$\therefore ∠ AOC-∠ DOC=∠ DOE-∠ DOC$，即$∠ AOD=∠ COE$。
在$△ ADO$和$△ CEO$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ OCE \\AO=CO \\∠ AOD=∠ COE\end{cases}$
$\therefore △ ADO ≌ △ CEO(\mathrm{ASA})$，得$AD=CE$。
$\because CD+AD=AC$，$\therefore CD+CE=AC$。
【答案】
过点A作$AM⊥BC$于点M,证$BM=CM,DM=EM$即可
【教材变式1】如图,连接CO,易证△ABC,△AOC,△BOC都为等腰直角三角形,$\therefore AO=CO,∠A=∠OCE=45^{\circ },∠AOC=90^{\circ }$,$\because OD⊥ OE,\therefore ∠DOE=90^{\circ },\therefore ∠AOC-∠DOC=∠DOE-∠DOC,\therefore ∠AOD=∠COE,\therefore △ADO≌ △CEO(ASA),\therefore AD=CE,\because CD+AD=AC,\therefore CD+CE=AC$
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形性质
【点评】
两道题均围绕等腰三角形的性质设计，母题直接利用“三线合一”作辅助线即可推导结论，变式题通过连接斜边中点构造全等三角形完成线段转化，是等腰三角形与全等三角形结合的典型习题，掌握合理构造辅助线的方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
【教材变式2】如图，在$Rt△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，点$O$为$AB$的中点，点$E,F$分别在$AC,BC$上，$∠ EOF=45°$，求证：$CE+EF=BF$。
答案
连接OC,在BF上取一点M,使$BM=CE$,连接OM,$\because ∠ACB=90^{\circ },AC=BC$,$\therefore △ACB$是等腰直角三角形,$\therefore ∠A=∠B=45^{\circ }$,$\because O$为AB的中点,$\therefore OC=OA=OB$.$\therefore ∠OCE=∠B=45^{\circ }$,$\therefore △ECO≌ △MBO(SAS)$,$\therefore OM=OE,∠COE=∠BOM$,$\because ∠COF+∠BOF=∠COB=90^{\circ }$,$\therefore ∠COF+∠BOM+∠MOF=90^{\circ }$,$\therefore ∠COF+∠COE+∠MOF=90^{\circ }$,即$∠EOF+∠MOF=90^{\circ }$,又$∠EOF=45^{\circ }$,$\therefore ∠MOF=45^{\circ }$,$\therefore ∠EOF=∠MOF$,$\therefore △EOF≌ △MOF(SAS)$,$\therefore EF=FM$,$\therefore CE+EF=BM+FM=BF$,$\therefore CE+EF=BF$
解析
【分析】
要证明CE+EF=BF，属于线段和差类证明问题，优先考虑截长补短法。结合已知条件，△ABC是等腰直角三角形，O为AB中点，根据等腰直角三角形斜边中线的性质，可得OC=OB，∠OCE=∠B=45°，因此采用“截长”思路：在BF上截取BM=CE，先证△ECO与△MBO全等，得到OE=OM和角的等量关系；再结合∠EOF=45°推导得出∠EOF=∠MOF，进而证明△EOF和△MOF全等，得到EF=FM；最后通过线段和的代换即可完成证明。
【解析】
连接OC，在BF上取一点M，使$BM=CE$，连接OM。
$\because ∠ACB=90^{\circ },AC=BC$，
$\therefore △ACB$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠A=∠B=45^{\circ }$，
$\because O$为$AB$的中点，
$\therefore OC=OA=OB$，$∠OCE=45^{\circ }$，
$\therefore ∠OCE=∠B=45^{\circ }$，
在$△ ECO$和$△ MBO$中：
$\{\begin{array}{l} CE=BM\\ ∠OCE=∠B\\ OC=OB\end{array} $
$\therefore △ECO≌ △MBO(SAS)$，
$\therefore OM=OE,∠COE=∠BOM$，
$\because ∠COB=90^{\circ }$，即$∠COF+∠BOF=90^{\circ }$，
$\therefore ∠COF+∠BOM+∠MOF=90^{\circ }$，
将$∠BOM$替换为$∠COE$，可得$∠COF+∠COE+∠MOF=90^{\circ }$，
即$∠EOF+∠MOF=90^{\circ }$，
又$\because ∠EOF=45^{\circ }$，
$\therefore ∠MOF=45^{\circ }$，
$\therefore ∠EOF=∠MOF$，
在$△ EOF$和$△ MOF$中：
$\{\begin{array}{l} OE=OM\\ ∠EOF=∠MOF\\ OF=OF\end{array} $
$\therefore △EOF≌ △MOF(SAS)$，
$\therefore EF=FM$，
$\therefore CE+EF=BM+FM=BF$。
【答案】
$CE+EF=BF$，得证
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形的判定与性质；截长补短法
【点评】
本题是等腰直角三角形背景下的典型线段和差证明题，解题核心是合理运用截长补短的思路构造全等三角形，结合等腰直角三角形的特殊性质推导角的等量关系，完成线段的代换证明，能够有效锻炼辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明CE+EF=BF，属于线段和差类证明问题，优先考虑截长补短法。结合已知条件，△ABC是等腰直角三角形，O为AB中点，根据等腰直角三角形斜边中线的性质，可得OC=OB，∠OCE=∠B=45°，因此采用“截长”思路：在BF上截取BM=CE，先证△ECO与△MBO全等，得到OE=OM和角的等量关系；再结合∠EOF=45°推导得出∠EOF=∠MOF，进而证明△EOF和△MOF全等，得到EF=FM；最后通过线段和的代换即可完成证明。
【解析】
连接OC，在BF上取一点M，使$BM=CE$，连接OM。
$\because ∠ACB=90^{\circ },AC=BC$，
$\therefore △ACB$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠A=∠B=45^{\circ }$，
$\because O$为$AB$的中点，
$\therefore OC=OA=OB$，$∠OCE=45^{\circ }$，
$\therefore ∠OCE=∠B=45^{\circ }$，
在$△ ECO$和$△ MBO$中：
$\{\begin{array}{l} CE=BM\\ ∠OCE=∠B\\ OC=OB\end{array} $
$\therefore △ECO≌ △MBO(SAS)$，
$\therefore OM=OE,∠COE=∠BOM$，
$\because ∠COB=90^{\circ }$，即$∠COF+∠BOF=90^{\circ }$，
$\therefore ∠COF+∠BOM+∠MOF=90^{\circ }$，
将$∠BOM$替换为$∠COE$，可得$∠COF+∠COE+∠MOF=90^{\circ }$，
即$∠EOF+∠MOF=90^{\circ }$，
又$\because ∠EOF=45^{\circ }$，
$\therefore ∠MOF=45^{\circ }$，
$\therefore ∠EOF=∠MOF$，
在$△ EOF$和$△ MOF$中：
$\{\begin{array}{l} OE=OM\\ ∠EOF=∠MOF\\ OF=OF\end{array} $
$\therefore △EOF≌ △MOF(SAS)$，
$\therefore EF=FM$，
$\therefore CE+EF=BM+FM=BF$。
【答案】
$CE+EF=BF$，得证
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形的判定与性质；截长补短法
【点评】
本题是等腰直角三角形背景下的典型线段和差证明题，解题核心是合理运用截长补短的思路构造全等三角形，结合等腰直角三角形的特殊性质推导角的等量关系，完成线段的代换证明，能够有效锻炼辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
【教材变式3】如图，在$△ ABC$中，$AC=2AB$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于$D$，$E$是$AD$上一点，且$EA=EC$.求证：$EB⊥ AB$.
答案
如图,作$EF⊥AC$于点F,$\therefore ∠AFE=90^{\circ }$,$\because EA=EC$,$\therefore AF=FC=\frac {1}{2}AC$,$\because AC=2AB$,$\therefore AF=AB$.$\because AD$平分$∠BAC$,$\therefore ∠BAD=∠CAD$.又$\because AE=AE$,$\therefore △ABE≌ △AFE(SAS)$,$\therefore ∠ABE=∠AFE=90^{\circ }$,$\therefore EB⊥AB$
解析
【分析】
要证明$EB⊥AB$，本质是证明$∠ABE=90°$。首先观察已知条件$EA=EC$，可知$△ EAC$是等腰三角形，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可过$E$作$AC$的垂线得到$AC$的中点，进而推出$AF=AB$；再结合$AD$平分$∠BAC$得到等角，加上公共边$AE$，即可证明$△ ABE$和$△ AFE$全等，利用全等三角形对应角相等得到$∠ABE$为直角，即可得证。
【解析】
证明：作$EF⊥AC$于点F，
$\therefore ∠AFE=90°$，
$\because EA=EC$，$△ EAC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore AF=FC=\frac{1}{2}AC$，
$\because AC=2AB$，
$\therefore AF=AB$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠BAD=∠CAD$。
在$△ ABE$和$△ AFE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AF\\∠BAD=∠CAD\\AE=AE\end{array} $
$\therefore △ABE≌ △AFE(SAS)$，
$\therefore ∠ABE=∠AFE=90°$，
$\therefore EB⊥AB$。
【答案】
如图,作$EF⊥AC$于点F,$\therefore ∠AFE=90^{\circ }$,$\because EA=EC$,$\therefore AF=FC=\frac {1}{2}AC$,$\because AC=2AB$,$\therefore AF=AB$.$\because AD$平分$∠BAC$,$\therefore ∠BAD=∠CAD$.又$\because AE=AE$,$\therefore △ABE≌ △AFE(SAS)$,$\therefore ∠ABE=∠AFE=90^{\circ }$,$\therefore EB⊥AB$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何证明类常考题，解题的关键是合理作辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质得到线段相等关系，结合角平分线条件构造全等三角形，将待证的垂直关系转化为证明全等三角形的对应角相等即可。
【难度系数】
0.7
要证明$EB⊥AB$，本质是证明$∠ABE=90°$。首先观察已知条件$EA=EC$，可知$△ EAC$是等腰三角形，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可过$E$作$AC$的垂线得到$AC$的中点，进而推出$AF=AB$；再结合$AD$平分$∠BAC$得到等角，加上公共边$AE$，即可证明$△ ABE$和$△ AFE$全等，利用全等三角形对应角相等得到$∠ABE$为直角，即可得证。
【解析】
证明：作$EF⊥AC$于点F，
$\therefore ∠AFE=90°$，
$\because EA=EC$，$△ EAC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore AF=FC=\frac{1}{2}AC$，
$\because AC=2AB$，
$\therefore AF=AB$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠BAD=∠CAD$。
在$△ ABE$和$△ AFE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AF\\∠BAD=∠CAD\\AE=AE\end{array} $
$\therefore △ABE≌ △AFE(SAS)$，
$\therefore ∠ABE=∠AFE=90°$，
$\therefore EB⊥AB$。
【答案】
如图,作$EF⊥AC$于点F,$\therefore ∠AFE=90^{\circ }$,$\because EA=EC$,$\therefore AF=FC=\frac {1}{2}AC$,$\because AC=2AB$,$\therefore AF=AB$.$\because AD$平分$∠BAC$,$\therefore ∠BAD=∠CAD$.又$\because AE=AE$,$\therefore △ABE≌ △AFE(SAS)$,$\therefore ∠ABE=∠AFE=90^{\circ }$,$\therefore EB⊥AB$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何证明类常考题，解题的关键是合理作辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质得到线段相等关系，结合角平分线条件构造全等三角形，将待证的垂直关系转化为证明全等三角形的对应角相等即可。
【难度系数】
0.7
【教材变式4】如图,在等腰$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,点$D$在$AB$上,$AD=AC$,$BE$垂直于直线$CD$于$E$.
(1)求$∠ BCD$的度数；
(2)求证:$CD=2BE$.
(1)求$∠ BCD$的度数；
(2)求证:$CD=2BE$.
答案
(1)$22.5^{\circ }$
(2)过点A作$AF⊥CD$于点F,$\because AC=AD$,$\therefore CD=2CF$.又$\because BE⊥CD$于点E,$\therefore ∠BEC=∠AFC=90^{\circ }$.又$∠BCE+∠DCA=∠FAC+∠DCA=90^{\circ }$,$\therefore ∠BCE=∠CAF$,又$BC=AC$,$\therefore △CBE≌ △ACF(AAS)$,$\therefore CF=BE$,即$CD=2CF=2BE$
(2)过点A作$AF⊥CD$于点F,$\because AC=AD$,$\therefore CD=2CF$.又$\because BE⊥CD$于点E,$\therefore ∠BEC=∠AFC=90^{\circ }$.又$∠BCE+∠DCA=∠FAC+∠DCA=90^{\circ }$,$\therefore ∠BCE=∠CAF$,又$BC=AC$,$\therefore △CBE≌ △ACF(AAS)$,$\therefore CF=BE$,即$CD=2CF=2BE$
解析
【分析】
(1) 先利用等腰直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据AD=AC得到△ACD为等腰三角形，利用三角形内角和求出∠ACD的度数，最后用∠ACB减去∠ACD即可得到∠BCD的度数。
(2) 要证明CD=2BE，先结合等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作AF⊥CD于F，可得CD=2CF，接下来只需证明CF=BE即可，通过证明△CBE和△ACF全等得到对应边相等，即可推出结论。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，
∴∠ACD=∠ADC=(180°-∠A)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-67.5°=22.5°。
(2) 证明：过点A作AF⊥CD于点F，
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，CF=FD，即CD=2CF，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∵∠CAF+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠CAF=∠BCD（同角的余角相等），
在△AFC和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠AFC=∠CEB\\∠CAF=∠BCE\\AC=BC\end{array} $
∴△AFC≌△CEB（AAS），
∴CF=BE，
又
∵CD=2CF，
∴CD=2BE。
【答案】
(1) $\boxed{22.5°}$
(2) 证明成立，见上述解析。
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 全等三角形判定与性质
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是几何基础证明题，第一问直接利用等腰三角形内角和计算角度，难度不大；第二问通过构造等腰三角形的高线，结合三线合一将线段倍分关系转化为两条短线段的等量关系，再通过全等三角形证明对应边相等，是几何中证明线段倍分问题的典型方法，掌握辅助线的构造思路是解题核心。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用等腰直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据AD=AC得到△ACD为等腰三角形，利用三角形内角和求出∠ACD的度数，最后用∠ACB减去∠ACD即可得到∠BCD的度数。
(2) 要证明CD=2BE，先结合等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作AF⊥CD于F，可得CD=2CF，接下来只需证明CF=BE即可，通过证明△CBE和△ACF全等得到对应边相等，即可推出结论。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，
∴∠ACD=∠ADC=(180°-∠A)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-67.5°=22.5°。
(2) 证明：过点A作AF⊥CD于点F，
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，CF=FD，即CD=2CF，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∵∠CAF+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠CAF=∠BCD（同角的余角相等），
在△AFC和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠AFC=∠CEB\\∠CAF=∠BCE\\AC=BC\end{array} $
∴△AFC≌△CEB（AAS），
∴CF=BE，
又
∵CD=2CF，
∴CD=2BE。
【答案】
(1) $\boxed{22.5°}$
(2) 证明成立，见上述解析。
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 全等三角形判定与性质
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是几何基础证明题，第一问直接利用等腰三角形内角和计算角度，难度不大；第二问通过构造等腰三角形的高线，结合三线合一将线段倍分关系转化为两条短线段的等量关系，再通过全等三角形证明对应边相等，是几何中证明线段倍分问题的典型方法，掌握辅助线的构造思路是解题核心。
【难度系数】
0.6
