13. 跨学科·物理 [2026安庆四中月考]光从真空射入介质发生折射现象时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值$\frac{\sinα}{\sinβ}$叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为α，折射角为β，且$α=60°$，$\cos(90° - β)=\frac{4\sqrt{3}}{13}$，则此玻璃的折射率是（）

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{13\sqrt{3}}{22}$
C.$\frac{13\sqrt{3}}{24}$
D.$\frac{13}{8}$

$\because \cos(90° -β) =\sin β =\frac{4\sqrt{3}}{13}$，$\therefore \frac{\sin α}{\sin β} =\frac{\sin 60°}{\sin β} =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4\sqrt{3}}{13}} =\frac{13}{8}$。

14. [2026安庆段考]如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则$\sin∠ AOC$的值为 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

连接BC，由尺规作图可知，$OB=OC=BC$，则$△ OBC$是等边三角形，故$\sin∠AOC=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

15. [2025聊城东昌府区段考]如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点M,N分别为OB,OC的中点,则$\cos∠ OMN$的值为（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.1

在正方形ABCD中，易得$∠OBC=45°$。$\because$点M,N分别为OB,OC的中点，$\therefore MN$是$△ OBC$的中位线，$\therefore MN// BC$，$\therefore ∠OMN=∠OBC=45°$，$\therefore \cos∠OMN=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

16. 教材P138 T9 变式 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ BAC = 30°$,$BC = 1$,延长$CA$到点$D$,使
$AD = AB$,连接$BD$,利用此图解释的三角函数值中错误的是 ()

A.$\tan 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\tan 60° = \sqrt{3}$
C.$\tan 15° = 1 + \sqrt{3}$
D.$\tan 75° = 2 + \sqrt{3}$

在$Rt△ABC$中，由$∠BAC=30°$，$BC=1$，得$AB=2$，由勾股定理，得$AC=\sqrt{3}$，$\therefore \tan∠BAC=\tan30°=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan∠ABC=\tan60°=\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，$\therefore$选项A，B均不符合题意。
$\because AD=AB=2$，$\therefore ∠DBA=∠D=\frac{1}{2}∠BAC=15°$。在$Rt△BCD$中，$\tan∠BDC=\tan15°=\frac{BC}{DC}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，$\tan∠DBC=\tan75°=\frac{DC}{BC}=\frac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}$，$\therefore$选项C符合题意，选项D不符合题意。

17. [2026宣城期末]若角$α,β$是直角三角形的两个锐角，则$\frac{\sin α}{\cos β} - 2\sin \frac{α + β}{2}$的值为。

$\because α,β$是直角三角形的两个锐角，$\therefore \sin α=\cos β$，$\frac{α+β}{2}=45°$，$\therefore \frac{\sin α}{\cos β} -2\sin\frac{α+β}{2} =\frac{\sin α}{\sin α} -2\sin45°=1 -2×\frac{\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}$。

18.已知α为锐角，且$\sqrt{3}\tan^2α - (1 + \sqrt{3})\tanα + 1 = 0$，则α的度数为。

由$\sqrt{3}\tan^2α -(1+\sqrt{3})\tanα +1=0$，得$(\sqrt{3}\tanα -1)(\tanα -1)=0$，所以$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\tanα=1$。又因为α为锐角，所以$α=30°$或$45°$。

19. 运算能力 [2025六安期末]阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
①$\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\sin^2 30° + \cos^2 30° =$ ；
②$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $\sin^2 45° + \cos^2 45° =$ ；
③$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 60° = \frac{1}{2}$，则 $\sin^2 60° + \cos^2 60° =$ ；
…
④观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有 $\sin^2 A + \cos^2 A =$ .
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知∠A为锐角（$\cos A ＞0$）且 $\sin A = \frac{3}{5}$，求 $\cos A$.

解：①1 ②1 ③1 ④1
①$\because \sin 30°=\frac{1}{2}$，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore \sin^230°+\cos^230°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$；②$\because \sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore \sin^245°+\cos^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$；③$\because \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\therefore \sin^260°+\cos^260°=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$；④观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有$\sin^2A+\cos^2A=1$。
(1)如图，过点B作$BD⊥AC$于点D，则$∠ADB=90°$。
$\because \sin A=\frac{BD}{AB}$，$\cos A=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore \sin^2A+\cos^2A=(\frac{BD}{AB})^2+(\frac{AD}{AB})^2=\frac{BD^2+AD^2}{AB^2}$。
$\because ∠ADB=90°$，$\therefore BD^2+AD^2=AB^2$，
$\therefore \sin^2A+\cos^2A=1$。

(2)$\because \sin A=\frac{3}{5}$，$\sin^2A+\cos^2A=1$，$∠A$为锐角，$\therefore \cos A=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$。