1.已知在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，则∠BAD的度数为。

$\boldsymbol{30°}$

【分析】
解题时首先回忆等边三角形的基本性质：等边三角形的三个内角均为60°，且等边三角形是特殊的等腰三角形，满足等腰三角形“三线合一”的性质。已知AD是BC边上的高，结合三线合一可推出AD同时是∠BAC的角平分线，因此只需计算∠BAC的一半即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°，AB=AC
又
∵AD是BC边上的高
根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊三角形性质的直接应用，熟练掌握等边三角形的内角特点及三线合一的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2.已知在$△ ABC$中，$∠ A=∠ B=60°$，$AB=2$，则该三角形的周长为。

6

【分析】
解题时首先结合三角形内角和为180°的性质，由已知的两个角的度数求出第三个角的度数，判断出三角形的类型；再根据该类三角形的边长性质求出三条边的长度，最后相加即可得到三角形的周长。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$
$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°$，即$△ ABC$是等边三角形
$\therefore$ 三角形三边相等，即$AC = BC = AB = 2$
$\therefore △ ABC$的周长$= AB + BC + AC = 2 + 2 + 2 = 6$
【答案】
6
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础题型，侧重考查等边三角形相关知识的应用，只要熟练掌握三角形内角和、等边三角形的判定和性质即可顺利解答，有助于巩固等腰（等边）三角形的相关基础概念。
【难度系数】
0.9

3. 在$△ ABC$中,若$AB=AC=2,∠ B=60°$,则$BC=(\quad)$

A.2
B.3
C.4
D.5

A

【分析】
解题时首先观察已知条件，已知AB=AC，可先判定△ABC是等腰三角形，结合等腰三角形“两底角相等”的性质可得∠C=∠B=60°，再利用三角形内角和为180°求出第三个内角∠A的度数，可判定△ABC为等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=60°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC的三个内角均为60°，即△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC=2。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定方法，熟练掌握特殊三角形的性质与判定即可快速求解。
【难度系数】
0.9

4.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,AD=AC,连接CD并延长,交AB的延长线于点E.求∠E的度数.

解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°，AC=AB。
∵ AD⊥BC，
∴ AD平分∠BAC（等边三角形三线合一的性质），
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°。
又∵ AD=AC，
∴ △ACD为等腰三角形，
∴ ∠ACD = $\frac{180° - ∠CAD}{2}$ = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°。
在△ACE中，根据三角形内角和为180°：
∠E = 180° - ∠EAC - ∠ACE = 180° - 60° - 75° = 45°。
答：∠E的度数为45°。

【分析】
解题时首先从已知的等边三角形出发，利用等边三角形“三线合一”的性质，由AD⊥BC得出AD平分∠BAC，算出∠CAD的度数；再结合AD=AC的条件，可知△ACD是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和，求出∠ACD的度数；最后观察∠E在△ACE中，已知△ACE的两个内角∠EAC=60°、∠ACE即求出的∠ACD，利用三角形内角和定理即可算出∠E的度数。
【解析】
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°，AC=AB。
∵ AD⊥BC，
∴ AD平分∠BAC（等边三角形三线合一的性质），
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°。
又
∵ AD=AC，
∴ △ACD为等腰三角形，
∴ ∠ACD = $\frac{180° - ∠CAD}{2}$ = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°。
在△ACE中，根据三角形内角和为180°：
∠E = 180° - ∠EAC - ∠ACE = 180° - 60° - 75° = 45°。
【答案】
45°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何综合计算题，核心考查特殊三角形的性质与三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，按逻辑逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7

5. 提升题▶如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.求证：
(1)AN＝BM；
(2)△CEF为等边三角形.

证明：
(1) ∵ △ACM和△CBN都是等边三角形，
∴ AC = MC，CN = CB，∠ACM = ∠BCN = 60°，
∴ ∠ACM + ∠MCN = ∠BCN + ∠MCN，
即 ∠ACN = ∠MCB。
在△ACN和△MCB中，
$\{\begin{array}{l}AC = MC \\∠ACN = ∠MCB \\CN = CB\end{array} $
∴ △ACN ≌ △MCB（SAS），
∴ AN = BM。
(2) 由(1)中△ACN ≌ △MCB，可得∠CAE = ∠CMF，
∵ ∠ACM = ∠BCN = 60°，
∴ ∠ECF = 180° - ∠ACM - ∠BCN = 180° - 60° - 60° = 60°，
即 ∠ACE = ∠MCF = 60°。
在△ACE和△MCF中，
$\{\begin{array}{l}∠CAE = ∠CMF \\AC = MC \\∠ACE = ∠MCF\end{array} $
∴ △ACE ≌ △MCF（ASA），
∴ CE = CF。
又∵ ∠ECF = 60°，
∴ △CEF为等边三角形。

【分析】
(1) 要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。已知△ACM、△CBN都是等边三角形，可得到AC=MC、CN=CB，再通过角的和差推出∠ACN=∠MCB，即可用SAS判定△ACN≌△MCB，进而得到对应边AN=BM。
(2) 要证明△CEF是等边三角形，可先证明它是等腰三角形，再证明其有一个内角为60°。首先由平角的定义可计算出∠ECF=60°，再结合(1)中全等三角形的性质得到∠CAE=∠CMF，结合AC=MC、∠ACE=∠MCF=60°，用ASA判定△ACE≌△MCF，得到CE=CF，最后根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
【解析】
证明：
(1)
∵ △ACM和△CBN都是等边三角形，
∴ AC = MC，CN = CB，∠ACM = ∠BCN = 60°，
∴ ∠ACM + ∠MCN = ∠BCN + ∠MCN，
即 ∠ACN = ∠MCB。
在△ACN和△MCB中，
$\{\begin{array}{l}AC = MC \\∠ACN = ∠MCB \\CN = CB\end{array} $
∴ △ACN ≌ △MCB（SAS），
∴ AN = BM。
(2) 由(1)中△ACN ≌ △MCB，可得∠CAE = ∠CMF，
∵ ∠ACM = ∠BCN = 60°，
∴ ∠ECF = 180° - ∠ACM - ∠BCN = 180° - 60° - 60° = 60°，
即 ∠ACE = ∠MCF = 60°。
在△ACE和△MCF中，
$\{\begin{array}{l}∠CAE = ∠CMF \\AC = MC \\∠ACE = ∠MCF\end{array} $
∴ △ACE ≌ △MCF（ASA），
∴ CE = CF。
又
∵ ∠ECF = 60°，
∴ △CEF为等边三角形。
【答案】
(1) AN＝BM，得证；
(2) △CEF为等边三角形，得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质与判定
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何题，解题的核心是利用等边三角形的边、角特性寻找全等的判定条件，前一问的结论可作为后一问的推理依据，熟练掌握共顶点等边三角形的全等模型，能快速梳理这类题的解题思路。
【难度系数】
0.7