课前预习
1.分式的约分
(1)定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的约去,叫作分式的.
(2)最简分式:分子与分母没有的分式,叫作最简分式.
2.分式的通分
(1)定义:根据分式的基本性质,把几个的分式分别化成与原来的分式相等的的分式,叫作分式的通分.
(2)最简公分母:一般取各分母的所有因式的最次幂的积作公分母,它叫作最简公分母.

解：
1. 分式的约分
(1) 公因式；约分
(2) 公因式
2. 分式的通分
(1) 异分母；同分母
(2) 高

【分析】
这道题考查分式约分、通分相关的基础定义，解题时只需对应回忆教材中相关概念的表述即可填空：首先回忆约分的核心是约去分子分母共有的因式，对应约分、最简分式的定义；再回忆通分的核心是把不同分母的分式转化为相同分母的分式，对应通分、最简公分母的定义即可完成作答。
【解析】
1. 分式的约分
(1) 按照约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去的过程叫作分式的约分，因此依次填公因式、约分。
(2) 按照最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式，因此填公因式。
2. 分式的通分
(1) 按照通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式的过程叫作分式的通分，因此依次填异分母、同分母。
(2) 按照最简公分母的定义：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫作最简公分母，因此填高。
【答案】
1.(1)公因式；约分 (2)公因式
2.(1)异分母；同分母 (2)高
【知识点】
分式的约分、分式的通分、最简分式与最简公分母
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，直接考查分式约分、通分板块的核心定义，熟练掌握教材基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【例1】约分：
(1)$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$；(2)$\frac{a^2b -5ab}{a^2 -25}$。

解：
(1) 原式$=\frac{5a^2bc · 2a}{5a^2bc · (-b^2c)}$
$=-\frac{2a}{b^2c}$
(2) 原式$=\frac{ab(a-5)}{(a+5)(a-5)}$
$=\frac{ab}{a+5}$

【分析】
约分的核心是约去分式分子和分母的公因式，最终得到分子分母无公因式的最简分式。对于(1)中分子分母均为单项式的分式，解题时先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者组合即为公因式，同时注意处理负号；对于(2)中分子分母均为多项式的分式，需先分别对分子、分母进行因式分解，再提取公因式约去，约分时要注意公因式不能为0的隐含要求。
【解析】
(1) 先确定分子分母的公因式为$5a^2bc$，将分子分母拆分为公因式与剩余因式的乘积：
原式$=\frac{5a^2bc · 2a}{5a^2bc · (-b^2c)}$
约去公因式$5a^2bc$，计算得：$=-\frac{2a}{b^2c}$
(2) 先对分子提取公因式$ab$因式分解，分母用平方差公式因式分解：
原式$=\frac{ab(a-5)}{(a+5)(a-5)}$
约去公因式$(a-5)$，计算得：$=\frac{ab}{a+5}$
【答案】
(1)$-\frac{2a}{b^2c}$；(2)$\frac{ab}{a+5}$
【知识点】
分式约分；因式分解；平方差公式
【点评】
本题是分式约分的基础题型，涵盖了单项式约分、多项式约分两类常见考法。解题时需注意，单项式约分要同步考虑系数、同底数幂的公共部分，多项式约分必须先完成因式分解再提取公因式，同时要牢记分母不能为0的隐含要求，这类题是后续分式混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.8

【变式1】约分：
(1)$\frac{24a^2b}{-4ab}$；(2)$\frac{2a^2 - ab}{2a^2b - ab^2}$

解：
(1) $\frac{24a^2b}{-4ab} = \frac{4ab · 6a}{-4ab} = -6a$
(2) 对分子、分母分别提取公因式因式分解：
分子：$2a^2 - ab = a(2a - b)$
分母：$2a^2b - ab^2 = ab(2a - b)$
原式$=\frac{a(2a - b)}{ab(2a - b)} = \frac{1}{b}$

【分析】
约分的核心是先确定分子与分母的公因式，再约去公因式，最终得到最简分式或整式。
(1) 题中分子、分母均为单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者乘积即为公因式，同时注意处理符号；
(2) 题中分子、分母都是多项式，需要先对分子、分母分别提取公因式进行因式分解，再确定公因式并约去，约分默认分式有意义，公因式不为0。
【解析】
(1) 分子分母的公因式为$4ab$，拆分分子后约去公因式：
$\frac{24a^2b}{-4ab} = \frac{4ab · 6a}{-4ab} = -6a$
(2) 先对分子、分母分别提取公因式因式分解：
分子：$2a^2 - ab = a(2a - b)$
分母：$2a^2b - ab^2 = ab(2a - b)$
再约去公因式$a(2a - b)$：
原式$=\frac{a(2a - b)}{ab(2a - b)} = \frac{1}{b}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6a}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{b}}$
【知识点】
分式的约分，提公因式法因式分解
【点评】
本题是分式约分的基础题型，单项式约分可直接提取公因式计算，多项式约分需先因式分解再找公因式约去，约分后的结果需为最简分式或整式，计算时注意符号处理。
【难度系数】
0.8

【例2】通分：
(1)$\frac{a-b}{a^2b}$，$\frac{2a-b}{a^3}$；
(2)$\frac{2}{3x^2(x-y)}$，$\frac{1}{2x-2y}$，$\frac{3}{4xy}$。

解：
(1) 两个分式的最简公分母是$a^3b$。
$\frac{a-b}{a^2b} = \frac{(a-b)· a}{a^2b · a} = \frac{a^2 - ab}{a^3b}$，
$\frac{2a-b}{a^3} = \frac{(2a-b)· b}{a^3 · b} = \frac{2ab - b^2}{a^3b}$。
(2) 先对分母因式分解：$2x-2y=2(x-y)$，三个分式的最简公分母是$12x^2y(x-y)$。
$\frac{2}{3x^2(x-y)} = \frac{2 × 4y}{3x^2(x-y) × 4y} = \frac{8y}{12x^2y(x-y)}$，
$\frac{1}{2x-2y} = \frac{1}{2(x-y)} = \frac{1 × 6x^2y}{2(x-y) × 6x^2y} = \frac{6x^2y}{12x^2y(x-y)}$，
$\frac{3}{4xy} = \frac{3 × 3x(x-y)}{4xy × 3x(x-y)} = \frac{9x(x-y)}{12x^2y(x-y)}$。

【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母，且保证分式的值不变。
(1) 观察两个分式的分母$a^2b$和$a^3$：确定最简公分母时，系数取各分母系数的最小公倍数（此处系数均为1，最小公倍数是1），相同字母取最高次幂（a的最高次为3次，b仅出现1次），因此最简公分母为$a^3b$，再分别给两个分式的分子分母乘各自分母缺少的因式即可。
(2) 第一步先对可因式分解的分母变形：$2x-2y$提取公因式2得$2(x-y)$，再观察三个分母$3x^2(x-y)$、$2(x-y)$、$4xy$：系数3、2、4的最小公倍数是12，相同因式$x$最高次为2次，$y$最高次为1次，$(x-y)$最高次为1次，因此最简公分母为$12x^2y(x-y)$，再分别给每个分式的分子分母乘各自缺少的因式即可，注意分子为多项式时不要漏乘项。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母是$a^3b$。
$\frac{a-b}{a^2b} = \frac{(a-b)· a}{a^2b · a} = \frac{a^2 - ab}{a^3b}$，
$\frac{2a-b}{a^3} = \frac{(2a-b)· b}{a^3 · b} = \frac{2ab - b^2}{a^3b}$。
(2) 先对分母因式分解：$2x-2y=2(x-y)$，三个分式的最简公分母是$12x^2y(x-y)$。
$\frac{2}{3x^2(x-y)} = \frac{2 × 4y}{3x^2(x-y) × 4y} = \frac{8y}{12x^2y(x-y)}$，
$\frac{1}{2x-2y} = \frac{1}{2(x-y)} = \frac{1 × 6x^2y}{2(x-y) × 6x^2y} = \frac{6x^2y}{12x^2y(x-y)}$，
$\frac{3}{4xy} = \frac{3 × 3x(x-y)}{4xy × 3x(x-y)} = \frac{9x(x-y)}{12x^2y(x-y)}$。
【答案】
(1) $\frac{a^2 - ab}{a^3b}$，$\frac{2ab - b^2}{a^3b}$；
(2) $\frac{8y}{12x^2y(x-y)}$，$\frac{6x^2y}{12x^2y(x-y)}$，$\frac{9x(x-y)}{12x^2y(x-y)}$（或展开为$\frac{9x^2-9xy}{12x^2y(x-y)}$）。
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是正确确定最简公分母，注意分母含有多项式时要先因式分解再找公分母，分子变形时要避免漏乘的错误，熟练掌握通分方法是后续学习分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.8

【变式2】通分：
(1)$\frac{4a}{5b^2c}$，$\frac{3c}{10a^2b}$，$\frac{5b}{-2ac^2}$；
(2)$\frac{1}{x^2 - 4}$，$\frac{3}{4 - 2x}$。

解：
(1) 最简公分母为$10a^2b^2c^2$。
$\frac{4a}{5b^2c} = \frac{4a · 2a^2c}{5b^2c · 2a^2c} = \frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$，
$\frac{3c}{10a^2b} = \frac{3c · bc^2}{10a^2b · bc^2} = \frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$，
$\frac{5b}{-2ac^2} = \frac{5b · (-5ab^2)}{-2ac^2 · (-5ab^2)} = -\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$，
最简公分母为$2(x+2)(x-2)$。
$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1 × 2}{2(x+2)(x-2)} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，
$\frac{3}{4-2x} = \frac{3 · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = -\frac{3x+6}{2(x+2)(x-2)}$。

【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母。对于分母为单项式的情况，最简公分母取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的乘积；对于分母为多项式的情况，先把各分母因式分解，再取各因式的最高次幂的乘积作为最简公分母，变形时还要注意符号的处理。
【解析】
(1) 确定三个分式的最简公分母：系数5、10、-2的最小公倍数是10，字母a的最高次幂为$a^2$，b的最高次幂为$b^2$，c的最高次幂为$c^2$，因此最简公分母为$10a^2b^2c^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{4a}{5b^2c} = \frac{4a · 2a^2c}{5b^2c · 2a^2c} = \frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$
$\frac{3c}{10a^2b} = \frac{3c · bc^2}{10a^2b · bc^2} = \frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$
$\frac{5b}{-2ac^2} = \frac{5b · (-5ab^2)}{-2ac^2 · (-5ab^2)} = -\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$
确定最简公分母为$2(x+2)(x-2)$，再对各分式变形：
$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1 × 2}{(x+2)(x-2) × 2} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$
$\frac{3}{4-2x} = \frac{3 · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = -\frac{3x+6}{2(x+2)(x-2)}$
【答案】
(1) $\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$，$\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$，$-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$；
(2) $\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，$-\frac{3x+6}{2(x+2)(x-2)}$。
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题考查分式通分的基本方法，解题的关键是准确确定最简公分母，当分母为多项式时要先因式分解，变形过程中要注意符号的处理，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8