1. 如图，$AB=CD$，$BD=AC$. 求证：$∠ B=∠ C$.

证明：连接AD。
在△ABD和△DCA中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\BD=AC \\AD=DA\end{array} $
∴△ABD≌△DCA（SSS）
∴∠B=∠C。

【分析】
要证明∠B=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到结论。观察已知条件有AB=CD、BD=AC，直接证交点处的△ABO和△DCO全等缺少足够条件，因此考虑添加辅助线连接AD，构造△ABD和△DCA，此时AD是两个三角形的公共边，结合已知的两组边相等，即可用SSS判定两三角形全等，进而推出角相等。
【解析】
证明：连接AD。
在$△ ABD$和$△ DCA$中，
$\begin{cases}AB=CD \\BD=AC \\AD=DA\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ DCA$（SSS）
∴$∠ B=∠ C$。
【答案】
证明：连接AD。
在$△ ABD$和$△ DCA$中，
$\begin{cases}AB=CD \\BD=AC \\AD=DA\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ DCA$（SSS）
∴$∠ B=∠ C$。
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、辅助线构造
【点评】
本题是全等证明的基础题型，解题关键是合理添加公共边作为辅助线，构造出满足全等判定条件的三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定思路和对应性质。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 50°$,$∠ C = 20°$.过点A作$AE ⊥ BC$,垂足为E,延长EA至点D,使$AD = AC$.在边AC上截取$AF = AB$,连接DF.求证:$DF = CB$.

证明：
∵ 在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 110°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEC = 90°，
∴ ∠EAC = 90° - ∠C = 70°。
∵ 点D在EA的延长线上，
∴ ∠DAF = 180° - ∠EAC = 110°，
∴ ∠DAF = ∠BAC。
在△DAF和△CAB中，
$\{\begin{array}{l}AD = AC \\∠DAF = ∠CAB \\AF = AB\end{array} $
∴ △DAF ≌ △CAB（SAS），
∴ DF = CB。

【分析】
要证明两条线段相等，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等。本题中要证$DF=CB$，观察可知$DF$在$△ DAF$中，$CB$在$△ CAB$中，已知$AD=AC$、$AF=AB$，因此只需证明两组对应边的夹角$∠ DAF=∠ CAB$即可。首先利用三角形内角和求出$∠ CAB$的度数，再结合$AE⊥ BC$的直角条件求出$∠ EAC$的度数，利用平角的性质得到$∠ DAF$的度数，验证两个夹角相等后，即可用SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：
∵ 在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 110°$。
∵ $AE⊥ BC$，
∴ $∠ AEC = 90°$，
∴ $∠ EAC = 90° - ∠ C = 70°$。
∵ 点$D$在$EA$的延长线上，
∴ $∠ DAF = 180° - ∠ EAC = 110°$，
∴ $∠ DAF = ∠ BAC$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中，
$\{\begin{array}{l}AD = AC \\∠ DAF = ∠ CAB \\AF = AB\end{array} $
∴ $△ DAF ≌ △ CAB$（SAS），
∴ $DF = CB$。
【答案】
$DF=CB$
【知识点】
三角形内角和定理；SAS全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等证明的常规题型，解题的关键是通过角度运算得到全等判定所需的对应角相等条件，结合已知的边相等条件即可证明三角形全等，进而推出对应边相等，需要熟练掌握角度计算方法和全等判定定理的应用。
【难度系数】
0.7

3. (2024 保山一模)如图,点 E,F 在线段 BC 上,AB//CD,∠AEB=∠DFC,BE=CF. 求证:△ABE ≌△DCF.

证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
在△ABE和△DCF中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\BE = CF \\∠AEB = ∠DFC\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DCF（ASA）。

【分析】
要证明△ABE≌△DCF，需先结合全等三角形的判定定理梳理已知条件，寻找对应相等的边和角。首先由AB//CD，根据平行线的性质可得到一组内错角∠B=∠C；题目已直接给出∠AEB=∠DFC、BE=CF，三个条件刚好满足“两角及其夹边对应相等”的ASA全等判定要求，即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
在△ABE和△DCF中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\BE = CF \\∠AEB = ∠DFC\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DCF（ASA）。
【答案】
证明过程如上，△ABE ≌ △DCF得证。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是先利用平行线的性质推导对应角相等，结合题干给出的其余相等条件，匹配对应全等判定定理即可完成证明，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.85

4. 如图,已知$AB// CF$,$DE=EF$.
(1)求证:$△ ADE ≌ △ CFE$;
(2)若$AB=9$,$CF=5$,求$BD$的长.

(1) 证明：
∵ $AB// CF$，
∴ $∠ ADE = ∠ F$，
在$△ ADE$和$△ CFE$中，
$\begin{cases}∠ ADE = ∠ F \\DE = EF \\∠ AED = ∠ CEF\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CFE$（ASA）。
(2) 解：
∵ $△ ADE ≌ △ CFE$，
∴ $AD = CF$，
∵ $CF=5$，
∴ $AD=5$，
又∵ $AB=9$，
∴ $BD = AB - AD = 9 - 5 = 4$。
答：$BD$的长为4。

【分析】
(1)要证明△ADE≌△CFE，首先结合已知条件梳理全等判定所需要素：由AB//CF可利用平行线的性质得到一组内错角相等，已知DE=EF，再结合对顶角相等可得到另一组角相等，三个条件刚好符合ASA全等判定规则，即可完成证明。(2)求BD的长度时，先利用全等三角形对应边相等的性质求出AD的长，再根据BD=AB-AD代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB// CF$，
∴ $∠ADE = ∠F$，
在$△ ADE$和$△ CFE$中，
$\begin{cases}∠ ADE = ∠ F \\DE = EF \\∠ AED = ∠ CEF\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CFE$（ASA）。
(2) 解：
∵ $△ ADE ≌ △ CFE$，
∴ $AD = CF$，
∵ $CF=5$，
∴ $AD=5$，
又
∵ $AB=9$，
∴ $BD = AB - AD = 9 - 5 = 4$。
【答案】
(1) $\boxed{△ ADE ≌ △ CFE}$得证；(2) $\boxed{BD=4}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题核心是结合平行线、对顶角的性质找到全等判定的角相等条件，再利用全等的性质推导对应边长度，是巩固三角形全等相关知识的典型基础题。
【难度系数】
0.8