1. 等腰三角形的一个角为$50°$,则这个等腰三角形的底角为().

A.$65°$
B.$65°$或$80°$
C.$50°$或$65°$
D.$40°$

C

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：两底角相等，同时结合三角形内角和为180°的规律思考。由于题目给出的50°角未明确说明是顶角还是底角，因此必须分两种情况分类讨论，避免漏解，每种情况计算后还要验证是否符合三角形内角和要求。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当已知的50°角为等腰三角形的顶角时：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角度数为$\frac{180° - 50°}{2}=65°$；
2. 当已知的50°角为等腰三角形的底角时：
此时底角直接为50°，对应的顶角为$180° - 50° × 2=80°$，符合三角形内角和规则。
综上，这个等腰三角形的底角为50°或65°，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的基础题，易错点是忽略对未知角类型的分类讨论导致漏解，做题时遇到未明确说明是顶角还是底角的情况，一定要分情况讨论后验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7

2. 某城市几条道路的位置关系如图，道路$AB// CD$，道路$AB$与$AE$的夹角$∠ BAE = 50°$. 该城市规划部门想新修一条道路$CE$，要求$CF=EF$，则$∠ E$的度数为().


A.$23°$
B.$25°$
C.$27°$
D.$30°$

B

【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据AB平行CD的条件，利用平行线的同位角相等性质，找到和∠BAE相等的角，得出该角的度数；第二步，由CF=EF可知△CFE是等腰三角形，依据等边对等角可推出∠C=∠E；第三步，结合三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角和，建立角的等量关系代入计算即可得到∠E的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$，$∠ BAE=50°$，
∴$∠ DFE=∠ BAE=50°$（两直线平行，同位角相等）。
∵$CF=EF$，
∴$△ CFE$是等腰三角形，$∠ C=∠ E$（等腰三角形等边对等角）。
又
∵$∠ DFE$是$△ CFE$的外角，
∴$∠ DFE=∠ C+∠ E$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
将$∠ C=∠ E$代入得：$∠ DFE=2∠ E$，
∴$∠ E=50°÷2=25°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行线、等腰三角形、三角形外角的知识点结合考察，解题的关键是准确梳理各角之间的数量关系，是对基础几何性质应用的常规考法。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,且BD=BC.求∠A的度数.

解：
设∠A = x。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
由三角形内角和定理得：∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴ 2∠ABC + x = 180°，即∠ABC = ∠C = $\frac{180° - x}{2}$。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{180° - x}{4}$。
∵ BD = BC，
∴ ∠BDC = ∠C。
∵ ∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = $x + \frac{180° - x}{4}$。
又∵ ∠BDC = ∠C = $\frac{180° - x}{2}$，
∴ 列方程得：
$x + \frac{180° - x}{4} = \frac{180° - x}{2}$
整理得：$4x + 180° - x = 360° - 2x$，
解得：$x = 36°$。
∴ ∠A的度数为$36°$。

【分析】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，可通过方程思想求解：首先观察图形可知存在多组等边关系（AB=AC、BD=BC）和角平分线条件，我们可以直接设待求的∠A为未知数x，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质、角平分线定义，将图中∠ABC、∠C、∠ABD、∠BDC都用含x的式子表示，最后利用“三角形外角等于不相邻两个内角和”的性质找到等量关系列方程，解方程即可得到∠A的度数。
【解析】
设∠A = x。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
由三角形内角和定理得：∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴ 2∠ABC + x = 180°，即∠ABC = ∠C = $\frac{180° - x}{2}$。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{180° - x}{4}$。
∵ BD = BC，
∴ ∠BDC = ∠C。
∵ ∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = $x + \frac{180° - x}{4}$。
又
∵ ∠BDC = ∠C = $\frac{180° - x}{2}$，
∴ 列方程得：
$x + \frac{180° - x}{4} = \frac{180° - x}{2}$
整理得：$4x + 180° - x = 360° - 2x$，
解得：$x = 36°$。
【答案】
$\boxed{36°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题侧重考察方程思想在几何角度计算中的应用，解题的核心是理清图中各角的数量关系，熟练运用等腰三角形等边对等角、角平分线定义、三角形外角性质搭建等量关系，是等腰三角形章节的基础常考题。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,下列结论中不正确的是().

A.$∠ B=∠ C$
B.$AD⊥ BC$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$AB=2BD$

D

【分析】
首先根据已知条件$AB=AC$可判断$△ ABC$为等腰三角形，结合等腰三角形的相关性质逐一分析选项：①等腰三角形两底角相等，可判断选项A；②等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线三线重合，已知D是BC中点，即AD是底边上的中线，由此可判断选项B、C；③分析选项D，仅当$△ ABC$为等边三角形时$AB=2BD$才成立，普通等腰三角形不存在该必然关系，即可得出不正确的选项。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可得$∠ B=∠ C$，故A选项结论正确，不符合题意；
$\because$D是BC的中点，AD是等腰$△ ABC$底边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$AD⊥ BC$，AD平分$∠ BAC$，故B、C选项结论正确，不符合题意；
对于D选项，AB是等腰三角形的腰长，BD是底边BC的一半，二者没有必然的2倍数量关系，只有当$△ ABC$是等边三角形时该结论才成立，普通等腰三角形不满足，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三线合一，等边对等角
【点评】
本题是基础题型，重点考查对等腰三角形核心性质的理解与应用，解题时要注意区分普通等腰三角形的通用性质和等边三角形的特殊性质，避免将特殊情况当成通用结论。
【难度系数】
0.8

5.已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为().

A.$\frac{3}{2}$
B.$2$
C.$3$
D.$\frac{7}{2}$

C

【分析】
首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，由此可判断AF同时是∠BAC的角平分线；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点F到AB的距离，即可直接推导出点F到AC的距离。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AF平分∠BAC，即点F在∠BAC的角平分线上。
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，且已知点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离等于点F到AB的距离，即为3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质推导出角平分线，再结合角平分线的性质直接得到结果，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6. 如图,已知在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ BAC = 80°$,$AD ⊥ BC$,$AD = AB$,连接$BD$并延长,交$AC$的延长线于点$E$,求$∠ ADE$的度数.

解：
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=80°，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的高平分顶角），
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
∵ AD=AB，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ ∠ADB = $\frac{180° - ∠BAD}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
∵ 点B、D、E共线，
∴ ∠ADE = 180° - ∠ADB = 180° - 70° = 110°。
答：∠ADE的度数为110°。

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先△ABC是AB=AC的等腰三角形，且AD⊥BC，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，推出AD平分∠BAC，先求出∠BAD的度数；再由AD=AB可知△ABD是等腰三角形，根据“等边对等角”和三角形内角和为180°，计算出∠ADB的度数；最后结合B、D、E三点共线，∠ADB和∠ADE互为邻补角，二者和为180°，做减法即可得到∠ADE的度数。
【解析】
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=80°，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的高平分顶角），
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
∵ AD=AB，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ ∠ADB = $\frac{180° - ∠BAD}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
∵ 点B、D、E共线，
∴ ∠ADE = 180° - ∠ADB = 180° - 70° = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题是基础几何计算类题目，核心考查等腰三角形性质的灵活运用，解题时需要逐步推导已知角和未知角的关联，能有效检验学生对基础几何性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8