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基础知识·预习
问题1 其他学科中你学过的公式有哪些？这些公式中符合反比例函数模型的有哪些？
问题2 解答应用题的一般步骤是什么？
问题1 其他学科中你学过的公式有哪些？这些公式中符合反比例函数模型的有哪些？
问题2 解答应用题的一般步骤是什么？
答案
解：
问题1
其他学科中学习过的常见公式举例：
物理学科：路程公式$s=vt$，压强公式$p=\frac{F}{S}$，欧姆定律公式$I=\frac{U}{R}$，密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，功的计算公式$W=Fs$等；
化学学科：溶质质量分数公式$w=\frac{m_{质}}{m_{液}}$等。
符合反比例函数模型的（满足$y=\frac{k}{x}$，$k$为非零常数，自变量$x≠0$的形式）：
1. 当路程$s$为定值时，速度$v$与时间$t$满足$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数模型；
2. 当压力$F$为定值时，压强$p$与受力面积$S$满足$p=\frac{F}{S}$，属于反比例函数模型；
3. 当电压$U$为定值时，电流$I$与电阻$R$满足$I=\frac{U}{R}$，属于反比例函数模型；
4. 当物体质量$m$为定值时，密度$\rho$与体积$V$满足$\rho=\frac{m}{V}$，属于反比例函数模型；
5. 当功$W$为定值时，作用力$F$与沿力方向的位移$s$满足$F=\frac{W}{s}$，属于反比例函数模型。
问题2
解答应用题的一般步骤为：
1. 审题：梳理题目中的已知条件和等量关系，区分常量和变量；
2. 设元：根据题意设出自变量和对应的因变量；
3. 建模：根据等量关系列出对应的反比例函数解析式；
4. 定范围：结合实际意义，确定自变量的合理取值范围；
5. 求解：利用反比例函数的性质代入数值计算得到结果；
6. 验答：检验结果是否符合实际意义，最终写出规范作答。
问题1
其他学科中学习过的常见公式举例：
物理学科：路程公式$s=vt$，压强公式$p=\frac{F}{S}$，欧姆定律公式$I=\frac{U}{R}$，密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，功的计算公式$W=Fs$等；
化学学科：溶质质量分数公式$w=\frac{m_{质}}{m_{液}}$等。
符合反比例函数模型的（满足$y=\frac{k}{x}$，$k$为非零常数，自变量$x≠0$的形式）：
1. 当路程$s$为定值时，速度$v$与时间$t$满足$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数模型；
2. 当压力$F$为定值时，压强$p$与受力面积$S$满足$p=\frac{F}{S}$，属于反比例函数模型；
3. 当电压$U$为定值时，电流$I$与电阻$R$满足$I=\frac{U}{R}$，属于反比例函数模型；
4. 当物体质量$m$为定值时，密度$\rho$与体积$V$满足$\rho=\frac{m}{V}$，属于反比例函数模型；
5. 当功$W$为定值时，作用力$F$与沿力方向的位移$s$满足$F=\frac{W}{s}$，属于反比例函数模型。
问题2
解答应用题的一般步骤为：
1. 审题：梳理题目中的已知条件和等量关系，区分常量和变量；
2. 设元：根据题意设出自变量和对应的因变量；
3. 建模：根据等量关系列出对应的反比例函数解析式；
4. 定范围：结合实际意义，确定自变量的合理取值范围；
5. 求解：利用反比例函数的性质代入数值计算得到结果；
6. 验答：检验结果是否符合实际意义，最终写出规范作答。
解析
【分析】
对于问题1，解题分为两步：第一步先回忆物理、化学等其他学科的常见公式；第二步紧扣反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为非零常数，自变量$x≠0$），判断各公式中当某个量为定值时，剩余两个变量是否符合反比例函数的形式即可。对于问题2，结合反比例函数实际应用题的逻辑，梳理从读题理解题意到最终规范作答的完整流程，每一步都要兼顾数学逻辑和实际应用的合理性。
【解析】
问题1解答
其他学科中学习过的常见公式举例：
物理学科：路程公式$s=vt$，压强公式$p=\frac{F}{S}$，欧姆定律公式$I=\frac{U}{R}$，密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，功的计算公式$W=Fs$等；
化学学科：溶质质量分数公式$w=\frac{m_{质}}{m_{液}}$等。
符合反比例函数模型（满足$y=\frac{k}{x}$，$k$为非零常数，自变量$x≠0$的形式）的有：
1. 当路程$s$为定值时，速度$v$与时间$t$满足$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数模型；
2. 当压力$F$为定值时，压强$p$与受力面积$S$满足$p=\frac{F}{S}$，属于反比例函数模型；
3. 当电压$U$为定值时，电流$I$与电阻$R$满足$I=\frac{U}{R}$，属于反比例函数模型；
4. 当物体质量$m$为定值时，密度$\rho$与体积$V$满足$\rho=\frac{m}{V}$，属于反比例函数模型；
5. 当功$W$为定值时，作用力$F$与沿力方向的位移$s$满足$F=\frac{W}{s}$，属于反比例函数模型。
问题2解答
解答应用题的一般步骤为：
1. 审题：梳理题目中的已知条件和等量关系，区分常量和变量；
2. 设元：根据题意设出自变量和对应的因变量；
3. 建模：根据等量关系列出对应的反比例函数解析式；
4. 定范围：结合实际意义，确定自变量的合理取值范围；
5. 求解：利用反比例函数的性质代入数值计算得到结果；
6. 验答：检验结果是否符合实际意义，最终写出规范作答。
【答案】
问题1
其他学科常见公式：物理的$s=vt$、$p=\frac{F}{S}$、$I=\frac{U}{R}$、$\rho=\frac{m}{V}$、$W=Fs$；化学的$w=\frac{m_{质}}{m_{液}}$等。
符合反比例函数模型的：①$s$定值时$v=\frac{s}{t}$；②$F$定值时$p=\frac{F}{S}$；③$U$定值时$I=\frac{U}{R}$；④$m$定值时$\rho=\frac{m}{V}$；⑤$W$定值时$F=\frac{W}{s}$。
问题2
解答应用题步骤：审题→设元→建模→定范围→求解→验答。
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 跨学科公式应用
3. 应用题解题规范
【点评】
本题属于反比例函数基础预习类题目，既考查对反比例函数概念的理解应用能力，也引导学生建立不同学科知识的关联，同时明确了应用题的解题流程，为后续解决实际问题奠定基础。
【难度系数】
0.8
对于问题1，解题分为两步：第一步先回忆物理、化学等其他学科的常见公式；第二步紧扣反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为非零常数，自变量$x≠0$），判断各公式中当某个量为定值时，剩余两个变量是否符合反比例函数的形式即可。对于问题2，结合反比例函数实际应用题的逻辑，梳理从读题理解题意到最终规范作答的完整流程，每一步都要兼顾数学逻辑和实际应用的合理性。
【解析】
问题1解答
其他学科中学习过的常见公式举例：
物理学科：路程公式$s=vt$，压强公式$p=\frac{F}{S}$，欧姆定律公式$I=\frac{U}{R}$，密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，功的计算公式$W=Fs$等；
化学学科：溶质质量分数公式$w=\frac{m_{质}}{m_{液}}$等。
符合反比例函数模型（满足$y=\frac{k}{x}$，$k$为非零常数，自变量$x≠0$的形式）的有：
1. 当路程$s$为定值时，速度$v$与时间$t$满足$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数模型；
2. 当压力$F$为定值时，压强$p$与受力面积$S$满足$p=\frac{F}{S}$，属于反比例函数模型；
3. 当电压$U$为定值时，电流$I$与电阻$R$满足$I=\frac{U}{R}$，属于反比例函数模型；
4. 当物体质量$m$为定值时，密度$\rho$与体积$V$满足$\rho=\frac{m}{V}$，属于反比例函数模型；
5. 当功$W$为定值时，作用力$F$与沿力方向的位移$s$满足$F=\frac{W}{s}$，属于反比例函数模型。
问题2解答
解答应用题的一般步骤为：
1. 审题：梳理题目中的已知条件和等量关系，区分常量和变量；
2. 设元：根据题意设出自变量和对应的因变量；
3. 建模：根据等量关系列出对应的反比例函数解析式；
4. 定范围：结合实际意义，确定自变量的合理取值范围；
5. 求解：利用反比例函数的性质代入数值计算得到结果；
6. 验答：检验结果是否符合实际意义，最终写出规范作答。
【答案】
问题1
其他学科常见公式：物理的$s=vt$、$p=\frac{F}{S}$、$I=\frac{U}{R}$、$\rho=\frac{m}{V}$、$W=Fs$；化学的$w=\frac{m_{质}}{m_{液}}$等。
符合反比例函数模型的：①$s$定值时$v=\frac{s}{t}$；②$F$定值时$p=\frac{F}{S}$；③$U$定值时$I=\frac{U}{R}$；④$m$定值时$\rho=\frac{m}{V}$；⑤$W$定值时$F=\frac{W}{s}$。
问题2
解答应用题步骤：审题→设元→建模→定范围→求解→验答。
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 跨学科公式应用
3. 应用题解题规范
【点评】
本题属于反比例函数基础预习类题目，既考查对反比例函数概念的理解应用能力，也引导学生建立不同学科知识的关联，同时明确了应用题的解题流程，为后续解决实际问题奠定基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题】同学们用自制的密度计测量不同液体的密度.密度计能漂浮在液体中,当密度计漂浮在不同液体中时,其浸入液体的深度$h$(单位:cm)是液体的密度$\rho$(单位:g/cm³)的反比例函数.当密度计漂浮在密度为$1\ \mathrm{g/cm}^3$的水中时,$h=7.2\ \mathrm{cm}$.
(1)求$h$关于$\rho$的函数解析式.
(2)当密度计漂浮在另一种液体中时,$h=9\ \mathrm{cm}$,求该液体的密度$\rho$.
思路导引 (1)设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$,把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3,h=7.2\ \mathrm{cm}$代入函数解析式,解方程即可.
(2)把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$,即可求得$\rho$的值.
【解】(1)设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$.
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3,h=7.2\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$,得$7.2=\frac{k}{1}$.
解得$k=7.2$.
∴$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho}$.
(2)把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{7.2}{\rho}$,得$9=\frac{7.2}{\rho}$.解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
因此,该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
【即学即练】
已知杠杆原理为阻力×阻力臂=动力×动力臂.若阻力和阻力臂分别为$1\ 600\ \mathrm{N}$和$0.5\ \mathrm{m}$,动力为$F$(单位:N),动力臂为$l$(单位:m),则动力$F$关于动力臂$l$的函数解析式为
(1)求$h$关于$\rho$的函数解析式.
(2)当密度计漂浮在另一种液体中时,$h=9\ \mathrm{cm}$,求该液体的密度$\rho$.
思路导引 (1)设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$,把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3,h=7.2\ \mathrm{cm}$代入函数解析式,解方程即可.
(2)把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$,即可求得$\rho$的值.
【解】(1)设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$.
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3,h=7.2\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$,得$7.2=\frac{k}{1}$.
解得$k=7.2$.
∴$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho}$.
(2)把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{7.2}{\rho}$,得$9=\frac{7.2}{\rho}$.解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
因此,该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
【即学即练】
已知杠杆原理为阻力×阻力臂=动力×动力臂.若阻力和阻力臂分别为$1\ 600\ \mathrm{N}$和$0.5\ \mathrm{m}$,动力为$F$(单位:N),动力臂为$l$(单位:m),则动力$F$关于动力臂$l$的函数解析式为
$F=\frac{800}{l}$
.答案
$F=\frac{800}{l}$
解析
【分析】
解题时首先依据题干给出的杠杆原理等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂，先计算出阻力与阻力臂的乘积这个定值，再将公式变形，把动力F用动力臂l表示，即可得到对应的函数解析式。
【解析】
根据杠杆原理可得：$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$，
已知阻力为$1600\ \mathrm{N}$，阻力臂为$0.5\ \mathrm{m}$，将已知数值代入等量关系得：
$1600 × 0.5 = F · l$
计算左边乘积得$800 = F · l$，
将式子变形为用含$l$的代数式表示$F$，可得$F = \frac{800}{l}$（$l＞0$）。
【答案】
$F=\frac{800}{l}$
【知识点】
反比例函数解析式、实际问题列函数式、跨学科综合应用
【点评】
本题结合物理中的杠杆原理考查反比例函数的实际应用，解题核心是找准题干给出的等量关系，代入已知数值计算定值后变形即可得到所求表达式，属于基础类应用题，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
解题时首先依据题干给出的杠杆原理等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂，先计算出阻力与阻力臂的乘积这个定值，再将公式变形，把动力F用动力臂l表示，即可得到对应的函数解析式。
【解析】
根据杠杆原理可得：$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$，
已知阻力为$1600\ \mathrm{N}$，阻力臂为$0.5\ \mathrm{m}$，将已知数值代入等量关系得：
$1600 × 0.5 = F · l$
计算左边乘积得$800 = F · l$，
将式子变形为用含$l$的代数式表示$F$，可得$F = \frac{800}{l}$（$l＞0$）。
【答案】
$F=\frac{800}{l}$
【知识点】
反比例函数解析式、实际问题列函数式、跨学科综合应用
【点评】
本题结合物理中的杠杆原理考查反比例函数的实际应用，解题核心是找准题干给出的等量关系，代入已知数值计算定值后变形即可得到所求表达式，属于基础类应用题，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
