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问题1 求线段和的最小值问题，常用的依据是什么？
问题2 结合实例说一说解决“牧民饮马问题及其拓展”与“造桥选址问题”的方法与原理。
问题1 求线段和的最小值问题，常用的依据是什么？
问题2 结合实例说一说解决“牧民饮马问题及其拓展”与“造桥选址问题”的方法与原理。
答案
解：
问题1：求线段和的最小值问题，常用的依据是：
① 两点之间，线段最短；
② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
问题2：
1. 牧民饮马问题及其拓展
实例：A、B是直线l同侧的两个定点，需要在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小。
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点P。
原理：根据轴对称的性质可得PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，依据“两点之间，线段最短”，线段A'的长度是点A'到点B的最短路径，因此此时PA+PB的和最小。
拓展：若A、B是相交直线m、n内部的两个定点，要分别在m、n上取点P、Q，使得A→P→Q→B的路径最短，方法是分别作点A关于直线m的对称点A'，点B关于直线n的对称点B'，连接A'B'，与直线m、n的交点即为所求的P、Q，原理是通过轴对称将折线段转化为两点之间的连线，利用两点之间线段最短得到最短路径。
2. 造桥选址问题
实例：A、B两点分别在两条平行的河岸的两侧，河宽为定值，要在河上修建一座与河岸垂直的桥，使得从A经过桥到B的总路径最短。
方法：将点A沿垂直于河岸的方向，向B所在一侧平移河宽的长度，得到点A'，连接A'B，与靠近B的河岸交于点N，过点N作河岸的垂线，交另一侧河岸于点M，则MN即为桥的位置。
原理：根据平移的性质可得AM=A'N，且桥长MN为固定的河宽，因此总路径长度AM+MN+NB = A'N + NB + MN，依据“两点之间，线段最短”，A'N+NB的最小值为线段A'B的长度，因此此时总路径最短。
问题1：求线段和的最小值问题，常用的依据是：
① 两点之间，线段最短；
② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
问题2：
1. 牧民饮马问题及其拓展
实例：A、B是直线l同侧的两个定点，需要在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小。
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点P。
原理：根据轴对称的性质可得PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，依据“两点之间，线段最短”，线段A'的长度是点A'到点B的最短路径，因此此时PA+PB的和最小。
拓展：若A、B是相交直线m、n内部的两个定点，要分别在m、n上取点P、Q，使得A→P→Q→B的路径最短，方法是分别作点A关于直线m的对称点A'，点B关于直线n的对称点B'，连接A'B'，与直线m、n的交点即为所求的P、Q，原理是通过轴对称将折线段转化为两点之间的连线，利用两点之间线段最短得到最短路径。
2. 造桥选址问题
实例：A、B两点分别在两条平行的河岸的两侧，河宽为定值，要在河上修建一座与河岸垂直的桥，使得从A经过桥到B的总路径最短。
方法：将点A沿垂直于河岸的方向，向B所在一侧平移河宽的长度，得到点A'，连接A'B，与靠近B的河岸交于点N，过点N作河岸的垂线，交另一侧河岸于点M，则MN即为桥的位置。
原理：根据平移的性质可得AM=A'N，且桥长MN为固定的河宽，因此总路径长度AM+MN+NB = A'N + NB + MN，依据“两点之间，线段最短”，A'N+NB的最小值为线段A'B的长度，因此此时总路径最短。
解析
【分析】
本题考查最短路径问题的基础原理与经典模型应用。解题时首先回忆几何中关于线段最短的两个核心公理，回答问题1；再分别针对“牧民饮马”“造桥选址”两类经典最短路径模型，结合实例说明具体操作方法，讲清方法背后的转化逻辑：即通过轴对称或平移将分散的折线段转化为两点之间的线段，最终用“两点之间线段最短”的公理解释对应原理即可。
【解析】
问题1解答
求线段和的最小值问题，常用的依据是：
① 两点之间，线段最短；
② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
问题2解答
1. 牧民饮马问题及其拓展
实例：A、B是直线l同侧的两个定点，需要在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小。
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点P。
原理：根据轴对称的性质可得PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，依据“两点之间，线段最短”，线段A'B的长度是点A'到点B的最短路径，因此此时PA+PB的和最小。
拓展：若A、B是相交直线m、n内部的两个定点，要分别在m、n上取点P、Q，使得A→P→Q→B的路径最短，方法是分别作点A关于直线m的对称点A'，点B关于直线n的对称点B'，连接A'B'，与直线m、n的交点即为所求的P、Q，原理是通过轴对称将折线段转化为两点之间的连线，利用两点之间线段最短得到最短路径。
2. 造桥选址问题
实例：A、B两点分别在两条平行的河岸的两侧，河宽为定值，要在河上修建一座与河岸垂直的桥，使得从A经过桥到B的总路径最短。
方法：将点A沿垂直于河岸的方向，向B所在一侧平移河宽的长度，得到点A'，连接A'B，与靠近B的河岸交于点N，过点N作河岸的垂线，交另一侧河岸于点M，则MN即为桥的位置。
原理：根据平移的性质可得AM=A'N，且桥长MN为固定的河宽，因此总路径长度AM+MN+NB = A'N + NB + MN，依据“两点之间，线段最短”，A'N+NB的最小值为线段A'B的长度，因此此时总路径最短。
【答案】
问题1：求线段和的最小值问题，常用的依据是：
① 两点之间，线段最短；
② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
问题2：
1. 牧民饮马问题及其拓展
实例：A、B是直线l同侧的两个定点，需要在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小。
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点P。
原理：根据轴对称的性质可得PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，依据“两点之间，线段最短”，线段A'B的长度是点A'到点B的最短路径，因此此时PA+PB的和最小。
拓展：若A、B是相交直线m、n内部的两个定点，要分别在m、n上取点P、Q，使得A→P→Q→B的路径最短，方法是分别作点A关于直线m的对称点A'，点B关于直线n的对称点B'，连接A'B'，与直线m、n的交点即为所求的P、Q，原理是通过轴对称将折线段转化为两点之间的连线，利用两点之间线段最短得到最短路径。
2. 造桥选址问题
实例：A、B两点分别在两条平行的河岸的两侧，河宽为定值，要在河上修建一座与河岸垂直的桥，使得从A经过桥到B的总路径最短。
方法：将点A沿垂直于河岸的方向，向B所在一侧平移河宽的长度，得到点A'，连接A'B，与靠近B的河岸交于点N，过点N作河岸的垂线，交另一侧河岸于点M，则MN即为桥的位置。
原理：根据平移的性质可得AM=A'N，且桥长MN为固定的河宽，因此总路径长度AM+MN+NB = A'N + NB + MN，依据“两点之间，线段最短”，A'N+NB的最小值为线段A'B的长度，因此此时总路径最短。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；平移的性质
【点评】
本题聚焦最短路径问题的基础原理与两类核心经典模型，核心考查转化思想的应用，通过轴对称或平移将折线路径转化为两点之间的线段，再结合基础公理求解，是各类最短路径变式题的解题基础，需熟练掌握两类模型的适用场景和操作步骤。
【难度系数】
0.7
本题考查最短路径问题的基础原理与经典模型应用。解题时首先回忆几何中关于线段最短的两个核心公理，回答问题1；再分别针对“牧民饮马”“造桥选址”两类经典最短路径模型，结合实例说明具体操作方法，讲清方法背后的转化逻辑：即通过轴对称或平移将分散的折线段转化为两点之间的线段，最终用“两点之间线段最短”的公理解释对应原理即可。
【解析】
问题1解答
求线段和的最小值问题，常用的依据是：
① 两点之间，线段最短；
② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
问题2解答
1. 牧民饮马问题及其拓展
实例：A、B是直线l同侧的两个定点，需要在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小。
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点P。
原理：根据轴对称的性质可得PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，依据“两点之间，线段最短”，线段A'B的长度是点A'到点B的最短路径，因此此时PA+PB的和最小。
拓展：若A、B是相交直线m、n内部的两个定点，要分别在m、n上取点P、Q，使得A→P→Q→B的路径最短，方法是分别作点A关于直线m的对称点A'，点B关于直线n的对称点B'，连接A'B'，与直线m、n的交点即为所求的P、Q，原理是通过轴对称将折线段转化为两点之间的连线，利用两点之间线段最短得到最短路径。
2. 造桥选址问题
实例：A、B两点分别在两条平行的河岸的两侧，河宽为定值，要在河上修建一座与河岸垂直的桥，使得从A经过桥到B的总路径最短。
方法：将点A沿垂直于河岸的方向，向B所在一侧平移河宽的长度，得到点A'，连接A'B，与靠近B的河岸交于点N，过点N作河岸的垂线，交另一侧河岸于点M，则MN即为桥的位置。
原理：根据平移的性质可得AM=A'N，且桥长MN为固定的河宽，因此总路径长度AM+MN+NB = A'N + NB + MN，依据“两点之间，线段最短”，A'N+NB的最小值为线段A'B的长度，因此此时总路径最短。
【答案】
问题1：求线段和的最小值问题，常用的依据是：
① 两点之间，线段最短；
② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
问题2：
1. 牧民饮马问题及其拓展
实例：A、B是直线l同侧的两个定点，需要在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小。
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点P。
原理：根据轴对称的性质可得PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，依据“两点之间，线段最短”，线段A'B的长度是点A'到点B的最短路径，因此此时PA+PB的和最小。
拓展：若A、B是相交直线m、n内部的两个定点，要分别在m、n上取点P、Q，使得A→P→Q→B的路径最短，方法是分别作点A关于直线m的对称点A'，点B关于直线n的对称点B'，连接A'B'，与直线m、n的交点即为所求的P、Q，原理是通过轴对称将折线段转化为两点之间的连线，利用两点之间线段最短得到最短路径。
2. 造桥选址问题
实例：A、B两点分别在两条平行的河岸的两侧，河宽为定值，要在河上修建一座与河岸垂直的桥，使得从A经过桥到B的总路径最短。
方法：将点A沿垂直于河岸的方向，向B所在一侧平移河宽的长度，得到点A'，连接A'B，与靠近B的河岸交于点N，过点N作河岸的垂线，交另一侧河岸于点M，则MN即为桥的位置。
原理：根据平移的性质可得AM=A'N，且桥长MN为固定的河宽，因此总路径长度AM+MN+NB = A'N + NB + MN，依据“两点之间，线段最短”，A'N+NB的最小值为线段A'B的长度，因此此时总路径最短。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；平移的性质
【点评】
本题聚焦最短路径问题的基础原理与两类核心经典模型，核心考查转化思想的应用，通过轴对称或平移将折线路径转化为两点之间的线段，再结合基础公理求解，是各类最短路径变式题的解题基础，需熟练掌握两类模型的适用场景和操作步骤。
【难度系数】
0.7
【典型例题1】如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A出发，先到公路$l_1$上设卡检查，再到公路$l_2$上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？
【解】(1)如图，作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$；
(2)作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
(3)连接$A'B'$，分别交直线$l_1,l_2$于点C,D，连接AC,BD。
所以他们按折线段AC—CD—DB的路线所走的总路程最短。
【解】(1)如图，作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$；
(2)作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
(3)连接$A'B'$，分别交直线$l_1,l_2$于点C,D，连接AC,BD。
所以他们按折线段AC—CD—DB的路线所走的总路程最短。
答案
解：
(1) 作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$；
(2) 作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
(3) 连接$A'B'$，分别交直线$l_1$、$l_2$于点C、D，连接AC、BD。
他们按折线段$AC-CD-DB$的路线行走，总路程最短。
(1) 作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$；
(2) 作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
(3) 连接$A'B'$，分别交直线$l_1$、$l_2$于点C、D，连接AC、BD。
他们按折线段$AC-CD-DB$的路线行走，总路程最短。
解析
【分析】
要解决从A出发，先后经过$l_1$、$l_2$上各一点再到B的最短路径问题，核心是利用轴对称性质将分散的折线段转化为可共线的线段，结合“两点之间线段最短”求解。首先根据轴对称的性质，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，因此作A关于$l_1$的对称点$A'$，可将A到$l_1$上点C的距离AC转化为$A'C$；再作B关于$l_2$的对称点$B'$，可将$l_2$上点D到B的距离DB转化为$DB'$，此时总路程$AC+CD+DB$等价于$A'C+CD+DB'$，要使这个和最小，只需让$A'$、C、D、$B'$四点共线即可，此时总长度就是线段$A'B'$的长度，为最短。
【解析】
我们按照以下步骤推导最短路径：
1. 作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$，根据轴对称性质，对于$l_1$上任意一点C，都有$AC=A'C$；
2. 作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$，同理，对于$l_2$上任意一点D，都有$DB=DB'$；
3. 总路程可转化为$AC+CD+DB=A'C+CD+DB'$，根据两点之间线段最短，$A'$到$B'$的最短距离为线段$A'B'$的长度，因此连接$A'B'$，分别交直线$l_1$、$l_2$于点C、D，此时$A'C+CD+DB'$的和最小，即总路程最短。
【答案】
(1) 作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$；
(2) 作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
(3) 连接$A'B'$，分别交直线$l_1$、$l_2$于点C、D，连接AC、BD。
他们按折线段$AC-CD-DB$的路线行走，总路程最短。
【知识点】
轴对称的性质、两点之间线段最短、最短路径作图
【点评】
本题是最短路径类问题的典型题型，解题核心是通过轴对称变换将折线路径的长度和转化为两点之间的线段长度，从而利用线段的基本性质找到最优解，掌握对称点的规范作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决从A出发，先后经过$l_1$、$l_2$上各一点再到B的最短路径问题，核心是利用轴对称性质将分散的折线段转化为可共线的线段，结合“两点之间线段最短”求解。首先根据轴对称的性质，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，因此作A关于$l_1$的对称点$A'$，可将A到$l_1$上点C的距离AC转化为$A'C$；再作B关于$l_2$的对称点$B'$，可将$l_2$上点D到B的距离DB转化为$DB'$，此时总路程$AC+CD+DB$等价于$A'C+CD+DB'$，要使这个和最小，只需让$A'$、C、D、$B'$四点共线即可，此时总长度就是线段$A'B'$的长度，为最短。
【解析】
我们按照以下步骤推导最短路径：
1. 作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$，根据轴对称性质，对于$l_1$上任意一点C，都有$AC=A'C$；
2. 作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$，同理，对于$l_2$上任意一点D，都有$DB=DB'$；
3. 总路程可转化为$AC+CD+DB=A'C+CD+DB'$，根据两点之间线段最短，$A'$到$B'$的最短距离为线段$A'B'$的长度，因此连接$A'B'$，分别交直线$l_1$、$l_2$于点C、D，此时$A'C+CD+DB'$的和最小，即总路程最短。
【答案】
(1) 作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$；
(2) 作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
(3) 连接$A'B'$，分别交直线$l_1$、$l_2$于点C、D，连接AC、BD。
他们按折线段$AC-CD-DB$的路线行走，总路程最短。
【知识点】
轴对称的性质、两点之间线段最短、最短路径作图
【点评】
本题是最短路径类问题的典型题型，解题核心是通过轴对称变换将折线路径的长度和转化为两点之间的线段长度，从而利用线段的基本性质找到最优解，掌握对称点的规范作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
