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16.(本小题满分12分)(1)当$m$取何值时,关于$x$的方程$\frac{4x}{2x+1}-\frac{m}{(x-1)(2x+1)}=\frac{2x+1}{x-1}$的解为正数?
(2)先化简代数式$(1-\frac{3}{a+2})÷\frac{a^2-2a+1}{a^2-4}$,再从$-2,2,0$三个数中选一个恰当的数作为$a$的值代入求值.
(2)先化简代数式$(1-\frac{3}{a+2})÷\frac{a^2-2a+1}{a^2-4}$,再从$-2,2,0$三个数中选一个恰当的数作为$a$的值代入求值.
答案
解 (1) 方程两边乘$(2x+1)(x-1)$,得$4x(x-1)-m=(2x+1)^2$。解得$x=-\frac{m+1}{8}$。
由题意,得$-\frac{m+1}{8}＞0$,且$-\frac{m+1}{8}≠1$,
解得$m＜-1$,且$m≠-9$。
(2) $(1-\frac{3}{a+2})÷ \frac{a^2-2a+1}{a^2-4}=(\frac{a+2}{a+2}-\frac{3}{a+2})· \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}=\frac{a-1}{a+2}· \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}=\frac{a-2}{a-1}$。
$\because a≠±2$,且$a≠1$,$\therefore a=0$,$\therefore$ 原式$=\frac{0-2}{0-1}=2$。
由题意,得$-\frac{m+1}{8}＞0$,且$-\frac{m+1}{8}≠1$,
解得$m＜-1$,且$m≠-9$。
(2) $(1-\frac{3}{a+2})÷ \frac{a^2-2a+1}{a^2-4}=(\frac{a+2}{a+2}-\frac{3}{a+2})· \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}=\frac{a-1}{a+2}· \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}=\frac{a-2}{a-1}$。
$\because a≠±2$,且$a≠1$,$\therefore a=0$,$\therefore$ 原式$=\frac{0-2}{0-1}=2$。
解析
【分析】
(1) 求解分式方程解为正数的问题，按三步思考：第一步将分式方程去分母转化为整式方程，求出含参数m的解；第二步根据“解为正数”列关于m的不等式；第三步牢记分式分母不能为0，排除使原方程产生增根的m值，最终得到m的取值范围。
(2) 分式化简求值问题，先按运算顺序计算：先算括号内的减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；选a的值时，需保证原式所有分母不为0，排除不符合要求的取值后代入计算即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(2x+1)(x-1)$，消去分母得：
$4x(x-1)-m=(2x+1)^2$
展开整理得：$4x^2-4x - m = 4x^2 +4x +1$
移项合并同类项得：$-8x = m +1$
解得：$x=-\frac{m+1}{8}$
根据题意，方程的解为正数且不为增根，即$x＞0$且$x≠1$：
列不等式组$\begin{cases}-\frac{m+1}{8}＞0 \\ -\frac{m+1}{8}≠1 \end{cases}$
解第一个不等式得$m＜-1$，解第二个不等式得$m≠-9$，即m的取值范围是$m＜-1$且$m≠-9$。
(2) 化简代数式：
$(1-\frac{3}{a+2})÷\frac{a^2-2a+1}{a^2-4}$
先通分计算括号内的减法，再将除法转化为乘法：
$=(\frac{a+2}{a+2}-\frac{3}{a+2})·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}$
$=\frac{a-1}{a+2}·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}$
约分后得最简结果：$\frac{a-2}{a-1}$
要使原式有意义，需满足$a≠±2$且$a≠1$，因此从$-2,2,0$中选$a=0$代入：
原式$=\frac{0-2}{0-1}=2$
【答案】
(1) $m＜-1$且$m≠-9$；
(2) 化简结果为$\frac{a-2}{a-1}$，代入$a=0$得值为2。
【知识点】
1. 分式方程的求解
2. 分式化简求值
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式相关运算，易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，导致第一问漏写$m≠-9$，第二问错选$a=\pm2$代入，解题时要先明确分式有意义的条件，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求解分式方程解为正数的问题，按三步思考：第一步将分式方程去分母转化为整式方程，求出含参数m的解；第二步根据“解为正数”列关于m的不等式；第三步牢记分式分母不能为0，排除使原方程产生增根的m值，最终得到m的取值范围。
(2) 分式化简求值问题，先按运算顺序计算：先算括号内的减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；选a的值时，需保证原式所有分母不为0，排除不符合要求的取值后代入计算即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(2x+1)(x-1)$，消去分母得：
$4x(x-1)-m=(2x+1)^2$
展开整理得：$4x^2-4x - m = 4x^2 +4x +1$
移项合并同类项得：$-8x = m +1$
解得：$x=-\frac{m+1}{8}$
根据题意，方程的解为正数且不为增根，即$x＞0$且$x≠1$：
列不等式组$\begin{cases}-\frac{m+1}{8}＞0 \\ -\frac{m+1}{8}≠1 \end{cases}$
解第一个不等式得$m＜-1$，解第二个不等式得$m≠-9$，即m的取值范围是$m＜-1$且$m≠-9$。
(2) 化简代数式：
$(1-\frac{3}{a+2})÷\frac{a^2-2a+1}{a^2-4}$
先通分计算括号内的减法，再将除法转化为乘法：
$=(\frac{a+2}{a+2}-\frac{3}{a+2})·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}$
$=\frac{a-1}{a+2}·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}$
约分后得最简结果：$\frac{a-2}{a-1}$
要使原式有意义，需满足$a≠±2$且$a≠1$，因此从$-2,2,0$中选$a=0$代入：
原式$=\frac{0-2}{0-1}=2$
【答案】
(1) $m＜-1$且$m≠-9$；
(2) 化简结果为$\frac{a-2}{a-1}$，代入$a=0$得值为2。
【知识点】
1. 分式方程的求解
2. 分式化简求值
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式相关运算，易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，导致第一问漏写$m≠-9$，第二问错选$a=\pm2$代入，解题时要先明确分式有意义的条件，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
17.(本小题满分12分)阅读以下材料,并解答下列问题:
有下列一组方程:①$x+\frac{2}{x}=3$,②$x+\frac{6}{x}=5$,③$x+\frac{12}{x}=7$,….小贤通过观察,发现了其中蕴含的规律,并顺利地求出了前三个方程的解,他的解答过程如下:
由①$x+\frac{1×2}{x}=1+2$,得$x=1$或$x=2$;由②$x+\frac{2×3}{x}=2+3$,得$x=2$或$x=3$;由③$x+\frac{3×4}{x}=3+4$,得$x=3$或$x=4$.
(1)若$n$为正整数,请直接写出第$n$个方程及其方程的解;
(2)若$n$为正整数,关于$x$的方程$x+\frac{n^2 +n}{x+3}=2n-2$的一个解是$x=7$,求$n$的值.
有下列一组方程:①$x+\frac{2}{x}=3$,②$x+\frac{6}{x}=5$,③$x+\frac{12}{x}=7$,….小贤通过观察,发现了其中蕴含的规律,并顺利地求出了前三个方程的解,他的解答过程如下:
由①$x+\frac{1×2}{x}=1+2$,得$x=1$或$x=2$;由②$x+\frac{2×3}{x}=2+3$,得$x=2$或$x=3$;由③$x+\frac{3×4}{x}=3+4$,得$x=3$或$x=4$.
(1)若$n$为正整数,请直接写出第$n$个方程及其方程的解;
(2)若$n$为正整数,关于$x$的方程$x+\frac{n^2 +n}{x+3}=2n-2$的一个解是$x=7$,求$n$的值.
答案
解 (1) 第$n$个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=n+n+1$,此方程的解为$x=n$或$x=n+1$。
(2) 方程整理,得$x+3+\frac{n(n+1)}{x+3}=2n+1$。
$\because$ 第$n$个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$,其解为$x=n$或$x=n+1$,$\therefore x+3=n$或$x+3=n+1$,把$x=7$代入,得$n=10$或$n=9$。
综上所述,$n$的值为9或10。
(2) 方程整理,得$x+3+\frac{n(n+1)}{x+3}=2n+1$。
$\because$ 第$n$个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$,其解为$x=n$或$x=n+1$,$\therefore x+3=n$或$x+3=n+1$,把$x=7$代入,得$n=10$或$n=9$。
综上所述,$n$的值为9或10。
解析
【分析】
（1）先观察已知的3个方程，总结规律：方程左侧分式的分子依次是相邻两个正整数的乘积，第n个的分子为n(n+1)；方程右侧是对应两个相邻正整数的和，即n+(n+1)，据此可写出第n个方程，再参考前三个方程的解的规律，直接得出第n个方程的解。
（2）先对给定方程变形，将左侧的x凑成(x+3)-3，移项后把(x+3)看作整体，转化为第（1）问总结的规律方程形式，再结合已知解x=7代入计算，即可求出n的值。
【解析】
(1) 观察给出的方程特征：
第1个方程：$x+\frac{1×2}{x}=1+2$，解为$x=1$或$x=2$；
第2个方程：$x+\frac{2×3}{x}=2+3$，解为$x=2$或$x=3$；
第3个方程：$x+\frac{3×4}{x}=3+4$，解为$x=3$或$x=4$；
类推可得，第$n$个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=n+(n+1)$（即$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$），方程的解为$x=n$或$x=n+1$。
(2) 整理方程$x+\frac{n^2 +n}{x+3}=2n-2$：
将方程左边变形为$(x+3)+\frac{n(n+1)}{x+3}-3$，代入原方程得：
$(x+3)+\frac{n(n+1)}{x+3}-3=2n-2$
移项化简得：$(x+3)+\frac{n(n+1)}{x+3}=2n+1$
对照第（1）问的规律，把$x+3$看作整体，可得$x+3=n$或$x+3=n+1$。
已知方程的一个解是$x=7$，分别代入：
当$x+3=n$时，$n=7+3=10$；
当$x+3=n+1$时，$n=7+3-1=9$。
【答案】
(1) 第$n$个方程为$\boldsymbol{x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1}$，解为$\boldsymbol{x=n}$或$\boldsymbol{x=n+1}$；
(2) $n$的值为$\boldsymbol{9}$或$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
分式方程规律探究；换元法；分式方程的解
【点评】
本题属于规律探究类题型，既考查学生的归纳总结能力，也考查换元思想的迁移应用，需要学生灵活运用发现的规律求解陌生方程，能有效检验学生的知识活用能力。
【难度系数】
0.6
（1）先观察已知的3个方程，总结规律：方程左侧分式的分子依次是相邻两个正整数的乘积，第n个的分子为n(n+1)；方程右侧是对应两个相邻正整数的和，即n+(n+1)，据此可写出第n个方程，再参考前三个方程的解的规律，直接得出第n个方程的解。
（2）先对给定方程变形，将左侧的x凑成(x+3)-3，移项后把(x+3)看作整体，转化为第（1）问总结的规律方程形式，再结合已知解x=7代入计算，即可求出n的值。
【解析】
(1) 观察给出的方程特征：
第1个方程：$x+\frac{1×2}{x}=1+2$，解为$x=1$或$x=2$；
第2个方程：$x+\frac{2×3}{x}=2+3$，解为$x=2$或$x=3$；
第3个方程：$x+\frac{3×4}{x}=3+4$，解为$x=3$或$x=4$；
类推可得，第$n$个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=n+(n+1)$（即$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$），方程的解为$x=n$或$x=n+1$。
(2) 整理方程$x+\frac{n^2 +n}{x+3}=2n-2$：
将方程左边变形为$(x+3)+\frac{n(n+1)}{x+3}-3$，代入原方程得：
$(x+3)+\frac{n(n+1)}{x+3}-3=2n-2$
移项化简得：$(x+3)+\frac{n(n+1)}{x+3}=2n+1$
对照第（1）问的规律，把$x+3$看作整体，可得$x+3=n$或$x+3=n+1$。
已知方程的一个解是$x=7$，分别代入：
当$x+3=n$时，$n=7+3=10$；
当$x+3=n+1$时，$n=7+3-1=9$。
【答案】
(1) 第$n$个方程为$\boldsymbol{x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1}$，解为$\boldsymbol{x=n}$或$\boldsymbol{x=n+1}$；
(2) $n$的值为$\boldsymbol{9}$或$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
分式方程规律探究；换元法；分式方程的解
【点评】
本题属于规律探究类题型，既考查学生的归纳总结能力，也考查换元思想的迁移应用，需要学生灵活运用发现的规律求解陌生方程，能有效检验学生的知识活用能力。
【难度系数】
0.6
18.(本小题满分13分)两个小组同时开始攀登一座450 m高的山,第一组的攀登速度是第二组的1.2倍,他们比第二组早15 min到达顶峰.
(1)求第二组的攀登速度；
(2)第二组下山时为了缩短时间,准备加快速度,现有两种方案:
①前一半路程速度为$p$ m/min,后一半路程速度为$q$ m/min；
②返回速度始终保持为$\frac{p+q}{2}$ m/min.
其中$p≠q$,且$p,q$均为正数.两种方案哪种平均速度更快？
(1)求第二组的攀登速度；
(2)第二组下山时为了缩短时间,准备加快速度,现有两种方案:
①前一半路程速度为$p$ m/min,后一半路程速度为$q$ m/min；
②返回速度始终保持为$\frac{p+q}{2}$ m/min.
其中$p≠q$,且$p,q$均为正数.两种方案哪种平均速度更快？
答案
18. 解 (1) 设第二组的攀登速度为$x$ m/min,则第一组的攀登速度为$1.2x$ m/min。
根据题意,得$\frac{450}{1.2x}+15=\frac{450}{x}$。解得$x=5$。
经检验,$x=5$是原分式方程的解,且符合题意。
答: 第二组的攀登速度为 5 m/min。
(2) 方案①的平均速度为$\frac{450}{\frac{225}{p}+\frac{225}{q}}=\frac{2pq}{p+q}$ m/min,
$\frac{p+q}{2}-\frac{2pq}{p+q}=\frac{(p+q)^2-4pq}{2(p+q)}=\frac{(p-q)^2}{2(p+q)}$,
$\because p≠q$,且$p,q$均为正数,
$\therefore (p-q)^2＞0,2(p+q)＞0$,
$\therefore \frac{(p-q)^2}{2(p+q)}＞0$,$\therefore \frac{p+q}{2}＞\frac{2pq}{p+q}$,
$\therefore$ 方案②的平均速度更快。
根据题意,得$\frac{450}{1.2x}+15=\frac{450}{x}$。解得$x=5$。
经检验,$x=5$是原分式方程的解,且符合题意。
答: 第二组的攀登速度为 5 m/min。
(2) 方案①的平均速度为$\frac{450}{\frac{225}{p}+\frac{225}{q}}=\frac{2pq}{p+q}$ m/min,
$\frac{p+q}{2}-\frac{2pq}{p+q}=\frac{(p+q)^2-4pq}{2(p+q)}=\frac{(p-q)^2}{2(p+q)}$,
$\because p≠q$,且$p,q$均为正数,
$\therefore (p-q)^2＞0,2(p+q)＞0$,
$\therefore \frac{(p-q)^2}{2(p+q)}＞0$,$\therefore \frac{p+q}{2}＞\frac{2pq}{p+q}$,
$\therefore$ 方案②的平均速度更快。
解析
【分析】
(1) 本题是行程类分式方程应用题，核心利用“时间=路程÷速度”的关系找等量关系。已知两组攀登的路程相同，第一组速度是第二组的1.2倍，且比第二组早15分钟登顶，可设第二组速度为x m/min，用x表示两组的登顶时间，根据“第一组登顶时间+15分钟=第二组登顶时间”列方程求解，注意分式方程要检验根是否符合题意。
(2) 比较两种方案的平均速度，首先明确平均速度=总路程÷总时间，先分别计算两种方案的平均速度，再用作差法比较大小：将两个平均速度相减，用完全平方公式化简差的代数式，结合p、q为正数且p≠q的条件判断差的符号，即可得出结论。
【解析】
(1) 设第二组的攀登速度为$x$ m/min，则第一组的攀登速度为$1.2x$ m/min。
根据题意列方程：
$\frac{450}{1.2x}+15=\frac{450}{x}$
去分母得：$450 + 18x = 540$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$1.2x≠0$，所以$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 计算方案①的平均速度：
方案①前、后一半路程均为$450÷2=225$ m，总时间为$\frac{225}{p}+\frac{225}{q}$ min，
因此平均速度$v_1=\frac{450}{\frac{225}{p}+\frac{225}{q}}=\frac{2pq}{p+q}$ m/min。
方案②的平均速度$v_2=\frac{p+q}{2}$ m/min。
作差比较大小：
$\frac{p+q}{2}-\frac{2pq}{p+q}=\frac{(p+q)^2-4pq}{2(p+q)}=\frac{(p-q)^2}{2(p+q)}$
∵$p≠q$，且$p,q$均为正数，
∴$(p-q)^2＞0$，$2(p+q)＞0$，
∴$\frac{(p-q)^2}{2(p+q)}＞0$，即$\frac{p+q}{2}＞\frac{2pq}{p+q}$。
【答案】
(1) 第二组的攀登速度为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m/min}}$；
(2) $\boldsymbol{方案②}$的平均速度更快。
【知识点】
分式方程的应用；平均速度计算；作差法比较大小
【点评】
本题结合实际场景考查分式方程应用与代数式大小比较，解题关键是找准行程问题的等量关系列方程，牢记平均速度为总路程与总时间的比值，注意分式方程求解后必须验根，作差比较时要熟练运用完全平方公式化简判断符号。
【难度系数】
0.65
(1) 本题是行程类分式方程应用题，核心利用“时间=路程÷速度”的关系找等量关系。已知两组攀登的路程相同，第一组速度是第二组的1.2倍，且比第二组早15分钟登顶，可设第二组速度为x m/min，用x表示两组的登顶时间，根据“第一组登顶时间+15分钟=第二组登顶时间”列方程求解，注意分式方程要检验根是否符合题意。
(2) 比较两种方案的平均速度，首先明确平均速度=总路程÷总时间，先分别计算两种方案的平均速度，再用作差法比较大小：将两个平均速度相减，用完全平方公式化简差的代数式，结合p、q为正数且p≠q的条件判断差的符号，即可得出结论。
【解析】
(1) 设第二组的攀登速度为$x$ m/min，则第一组的攀登速度为$1.2x$ m/min。
根据题意列方程：
$\frac{450}{1.2x}+15=\frac{450}{x}$
去分母得：$450 + 18x = 540$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$1.2x≠0$，所以$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 计算方案①的平均速度：
方案①前、后一半路程均为$450÷2=225$ m，总时间为$\frac{225}{p}+\frac{225}{q}$ min，
因此平均速度$v_1=\frac{450}{\frac{225}{p}+\frac{225}{q}}=\frac{2pq}{p+q}$ m/min。
方案②的平均速度$v_2=\frac{p+q}{2}$ m/min。
作差比较大小：
$\frac{p+q}{2}-\frac{2pq}{p+q}=\frac{(p+q)^2-4pq}{2(p+q)}=\frac{(p-q)^2}{2(p+q)}$
∵$p≠q$，且$p,q$均为正数，
∴$(p-q)^2＞0$，$2(p+q)＞0$，
∴$\frac{(p-q)^2}{2(p+q)}＞0$，即$\frac{p+q}{2}＞\frac{2pq}{p+q}$。
【答案】
(1) 第二组的攀登速度为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m/min}}$；
(2) $\boldsymbol{方案②}$的平均速度更快。
【知识点】
分式方程的应用；平均速度计算；作差法比较大小
【点评】
本题结合实际场景考查分式方程应用与代数式大小比较，解题关键是找准行程问题的等量关系列方程，牢记平均速度为总路程与总时间的比值，注意分式方程求解后必须验根，作差比较时要熟练运用完全平方公式化简判断符号。
【难度系数】
0.65
