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1 在一个直角三角形中，已知下列条件：① 两条边的长度；② 两个锐角的度数；③ 一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个,能解这个直角三角形的有 （）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
B
解析
解直角三角形需要求出三角形所有未知的边和角：
1. 对于条件①：已知两条边的长度，可通过勾股定理求出第三条边，再利用锐角三角函数求出两个锐角，能够解该直角三角形；
2. 对于条件②：仅知道两个锐角的度数，只能确定三角形的形状，无法确定各边的长度，不能解该直角三角形；
3. 对于条件③：已知一个锐角的度数和一条边的长度，可先通过直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，再利用锐角三角函数求出剩余两条边，能够解该直角三角形。
因此能解直角三角形的条件是①③。
1. 对于条件①：已知两条边的长度，可通过勾股定理求出第三条边，再利用锐角三角函数求出两个锐角，能够解该直角三角形；
2. 对于条件②：仅知道两个锐角的度数，只能确定三角形的形状，无法确定各边的长度，不能解该直角三角形；
3. 对于条件③：已知一个锐角的度数和一条边的长度，可先通过直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，再利用锐角三角函数求出剩余两条边，能够解该直角三角形。
因此能解直角三角形的条件是①③。
2 如图，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，点$D$在$AC$上，$∠ DBC=∠ A$。若$AC=4$，$\cos A=\dfrac{4}{5}$，则$BD$的长为（）
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$4$
（第2题）
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$4$
（第2题）答案
C
解析
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，由$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{5}$，且$AC=4$，可得$AB=\dfrac{AC}{\cos A}=5$。
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
因为$∠ DBC=∠ A$，所以$\cos∠ DBC=\cos A=\dfrac{4}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，$\cos∠ DBC=\dfrac{BC}{BD}$，因此$BD=\dfrac{BC}{\cos∠ DBC}=\dfrac{3}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{15}{4}$。
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
因为$∠ DBC=∠ A$，所以$\cos∠ DBC=\cos A=\dfrac{4}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，$\cos∠ DBC=\dfrac{BC}{BD}$，因此$BD=\dfrac{BC}{\cos∠ DBC}=\dfrac{3}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{15}{4}$。
3 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{4}{5}$，$AB=25$，则$△ ABC$的周长是。
答案
$\boldsymbol{60}$
解析
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$，$AB=25$，
$\therefore BC = AB · \sin A = 25 × \frac{4}{5} = 20$。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15$，
$\therefore △ ABC$的周长为$AB + BC + AC = 25 + 20 + 15 = 60$。
最终
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$，$AB=25$，
$\therefore BC = AB · \sin A = 25 × \frac{4}{5} = 20$。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15$，
$\therefore △ ABC$的周长为$AB + BC + AC = 25 + 20 + 15 = 60$。
最终
4 如图，在$△ ABC$中，$BC=12$，$\tan A=\dfrac{3}{4}$，$∠ B=30°$，则$AC$的长为，$AB$的长为。
答案
$\boldsymbol{10}$；$\boldsymbol{8+6\sqrt{3}}$
解析
解：过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=12，
∴ $CD = BC·\sin30° = 12×\frac{1}{2}=6$，
$BD = BC·\cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，$\tan A=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，
即 $\frac{6}{AD}=\frac{3}{4}$，解得$AD=8$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∴ $AB=AD+BD=8+6\sqrt{3}$。
在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=12，
∴ $CD = BC·\sin30° = 12×\frac{1}{2}=6$，
$BD = BC·\cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，$\tan A=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，
即 $\frac{6}{AD}=\frac{3}{4}$，解得$AD=8$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∴ $AB=AD+BD=8+6\sqrt{3}$。
5 [2025 北京]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F。若AB=1，∠EBC=30°，则△ABF的面积为。
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$
解析
解：
在正方形ABCD中，$AB=BC=1$，$∠ ABC=90°$。
$\because CF⊥ BE$，$∠ EBC=30°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BF = BC·\cos30° = 1×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
过点$F$作$FG⊥ AB$于点$G$，
$\because ∠ ABF = ∠ ABC - ∠ EBC = 90° - 30° = 60°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BFG$中，$FG = BF·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$。
$\therefore S_{△ ABF} = \frac{1}{2}· AB· FG = \frac{1}{2}×1×\frac{3}{4} = \frac{3}{8}$。
最终
在正方形ABCD中，$AB=BC=1$，$∠ ABC=90°$。
$\because CF⊥ BE$，$∠ EBC=30°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BF = BC·\cos30° = 1×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
过点$F$作$FG⊥ AB$于点$G$，
$\because ∠ ABF = ∠ ABC - ∠ EBC = 90° - 30° = 60°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BFG$中，$FG = BF·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$。
$\therefore S_{△ ABF} = \frac{1}{2}· AB· FG = \frac{1}{2}×1×\frac{3}{4} = \frac{3}{8}$。
最终
6 教材变式题 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a$，$b$，$c$分别为$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边，请根据下面的条件解直角三角形.
(1) $a=2\sqrt{6}$，$c=7$（角度精确到$0.01°$）；
(2) $∠ B=30°$，$a - b=3\sqrt{3} - 3$.
(1) $a=2\sqrt{6}$，$c=7$（角度精确到$0.01°$）；
(2) $∠ B=30°$，$a - b=3\sqrt{3} - 3$.
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{7^2-(2\sqrt{6})^2}=\sqrt{49-24}=5$。
$\because \cos A=\frac{b}{c}=\frac{5}{7}\approx0.7143$，
$\therefore ∠ A\approx44.42°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A\approx45.58°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$∠ A=90°-∠ B=90°-30°=60°$。
$\because \tan B=\frac{b}{a}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore a=\sqrt{3}b$。
将$a=\sqrt{3}b$代入$a-b=3\sqrt{3}-3$，得：
$\sqrt{3}b - b = 3\sqrt{3}-3$，
整理得$b(\sqrt{3}-1)=3(\sqrt{3}-1)$，
$\therefore b=3$，
$\therefore a=\sqrt{3}b=3\sqrt{3}$，
由直角三角形中$30°$角对的直角边等于斜边的一半，得$c=2b=6$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{7^2-(2\sqrt{6})^2}=\sqrt{49-24}=5$。
$\because \cos A=\frac{b}{c}=\frac{5}{7}\approx0.7143$，
$\therefore ∠ A\approx44.42°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A\approx45.58°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$∠ A=90°-∠ B=90°-30°=60°$。
$\because \tan B=\frac{b}{a}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore a=\sqrt{3}b$。
将$a=\sqrt{3}b$代入$a-b=3\sqrt{3}-3$，得：
$\sqrt{3}b - b = 3\sqrt{3}-3$，
整理得$b(\sqrt{3}-1)=3(\sqrt{3}-1)$，
$\therefore b=3$，
$\therefore a=\sqrt{3}b=3\sqrt{3}$，
由直角三角形中$30°$角对的直角边等于斜边的一半，得$c=2b=6$。
7 如图,在$\odot O$中,$OA ⊥ BC$,$∠ ADB=30°$,$BC=2\sqrt{3}$,则$OC$的长为 （）
A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
答案
B
解析
设OA与BC的垂足为E，1. 由垂径定理：OA⊥BC，可得CE=BE=½BC=√3，且弧AB=弧AC；2. 由圆周角定理：∠ADB=30°，弧AB对应的圆心角∠AOC=2∠ADB=60°；3. 在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∠EOC=60°，CE=√3，由sin60°=CE/OC，即√3/2=√3/OC，解得OC=2。
