【例1】 先化简代数式：$(\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{2}{a-2})÷\dfrac{1}{a^2-4}$，然后选取一个合适的$a$值，代入求值.
思路分析:此类题是中考常见题型,解题方法都是先化简,后求值,不能直接把值代入计算;解的时候,要根据式子的特点,适当地选择方法和顺序;当要求自己选值时,要注意所选取的未知数的值要使式子在运算过程中始终有意义.
解: $(\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{2}{a-2})÷\dfrac{1}{a^2-4}$
$=[\dfrac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)}+\dfrac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)}]÷\dfrac{1}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{a^2+4}{(a+2)(a-2)}·(a+2)(a-2)$
$=a^2+4$,
取$a=1$时,原式$=5$.

解：
由分式有意义的条件可得：$a+2≠0$，$a-2≠0$，即$a≠\pm2$。
$\begin{aligned}&(\frac{a}{a+2}+\frac{2}{a-2})÷\frac{1}{a^2-4}\\=&[\frac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)}+\frac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)}]÷\frac{1}{(a+2)(a-2)}\\=&\frac{a^2-2a+2a+4}{(a+2)(a-2)}·(a+2)(a-2)\\=&a^2+4\end{aligned}$
取$a=1$代入，得原式$=1^2+4=5$。

【例 2】 解下列分式方程：
(1)$\frac{4x}{x-2}-1=\frac{3}{2-x}$；
(2)$\frac{x}{x-3}-\frac{1}{2x-6}=\frac{1}{2}$；
(3)$\frac{x}{x+3}=1+\frac{2}{x-1}$。
思路分析:先找出各分母的最简公分母,再去分母,转化为整式方程求解,要注意检验.
解:(1)去分母,得$4x-(x-2)=-3$,解得$x=-\frac{5}{3}$.
检验:当$x=-\frac{5}{3}$时,$x-2≠0$,$\therefore$原分式方程的解是$x=-\frac{5}{3}$.
(2)去分母,得$2x-1=x-3$,解得$x=-2$.
检验:当$x=-2$时,$2(x-3)≠0$,$\therefore$原分式方程的解是$x=-2$.
(3)去分母,得$x(x-1)=(x+3)(x-1)+2(x+3)$,解得$x=-\frac{3}{5}$.
检验:当$x=-\frac{3}{5}$时,$(x-1)(x+3)≠0$,$\therefore$原分式方程的解是$x=-\frac{3}{5}$.

解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，得
$4x-(x-2)=-3$
解得$x=-\frac{5}{3}$。
检验：当$x=-\frac{5}{3}$时，$x-2≠0$，
$\therefore$原分式方程的解是$x=-\frac{5}{3}$。
(2) 先将分母因式分解，得$\frac{x}{x-3}-\frac{1}{2(x-3)}=\frac{1}{2}$，方程两边同乘最简公分母$2(x-3)$，得
$2x-1=x-3$
解得$x=-2$。
检验：当$x=-2$时，$2(x-3)≠0$，
$\therefore$原分式方程的解是$x=-2$。
(3) 方程两边同乘最简公分母$(x+3)(x-1)$，得
$x(x-1)=(x+3)(x-1)+2(x+3)$
解得$x=-\frac{3}{5}$。
检验：当$x=-\frac{3}{5}$时，$(x-1)(x+3)≠0$，
$\therefore$原分式方程的解是$x=-\frac{3}{5}$。

【例3】 小华想练习解分式方程：$\frac{\blacksquare}{x-2}+3=\frac{1}{2-x}$，有一个数“$\blacksquare$”看不清楚。
(1)她把这个数“$\blacksquare$”猜成5，请帮小华解这个分式方程。
(2)小华的妈妈说：“我看到参考答案是原分式方程无解。”请求出原分式方程中“$\blacksquare$”代表的数是多少。
思路分析：分式方程无解可能有两种情况：(1)去分母后化成的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0；(2)去分母后化成的整式方程无解，即$ax=b$中，$a=0$且$b≠0$。
解:(1)原方程为$\frac{5}{x-2}+3=\frac{1}{2-x}$，方程两边乘$x-2$，得
$5+3(x-2)=-1$，解得$x=0$。
检验:$x=0$时，$x-2≠0$，$\therefore x=0$是原分式方程的解。
(2)设$\blacksquare=m$，方程两边乘$x-2$，得$m+3(x-2)=-1$。
$\because$原分式方程无解，$\therefore x=2$，
把$x=2$代入上面的等式，得$m+3×(2-2)=-1$，解得$m=-1$。
$\therefore$原分式方程中“$\blacksquare$”代表的数是$-1$。

解：(1) 原方程为$\frac{5}{x-2}+3=\frac{1}{2-x}$，
方程两边乘$x-2$，得
$5+3(x-2)=-1$，
解得$x=0$。
检验：$x=0$时，$x-2≠0$，
$\therefore x=0$是原分式方程的解。
(2) 设$\blacksquare = m$，方程两边乘$x-2$，得
$m + 3(x-2) = -1$，
整理得$3x = 5 - m$。
∵原分式方程无解，
∴原分式方程的增根满足$x-2=0$，即$x=2$，
把$x=2$代入$m + 3(x-2) = -1$，得
$m + 3×(2-2) = -1$，
解得$m=-1$。
又该整式方程中$x$的系数为$3≠0$，整式方程一定有解，不存在整式方程无解的情况，
$\therefore$原分式方程中“$\blacksquare$”代表的数是$-1$。