6 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作$\odot O$.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形$A'B'CD'$的边$A'B'$与$\odot O$相切,切点为E,边$CD'$与$\odot O$相交于点F,过点O,E的直线交CF于点G,则CF的长为 ( )
A. 4.5
B. 4
C. 3.5
D. 3

B

7 (2024 呼和浩特)如图是平行四边形纸片$ABCD$，$BC=36\ \mathrm{cm}$，$∠ A=110°$，$∠ BDC=50°$，$M$为$BC$的中点，若以点$M$为圆心，$MC$为半径画弧交对角线$BD$于点$N$，则$∠ NMC=$ ______；将扇形$MCN$纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}.$

$40^{\circ}$ ; $2$

8 如图,正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连接CG,则CG的最小值为______.

$\sqrt{5}-1$

9 如图,矩形ABCD的对角线交于点O,∠AOB=60°,AB=4,P为△OCD内的一个动点,且∠CPD=120°,PE⊥OC于点E,PF⊥OD于点F,则PE+2PF的最小值为________.

$4\sqrt{3}-4$

10 (2024 绥化)如图 1，O 是正方形 ABCD 的对角线上一点，以点 O 为圆心，OC 长为半径的$\odot O$与 AD 相切于点 E，与 AC 相交于点 F.
（1）求证：AB 与$\odot O$相切；
（2）若正方形 ABCD 的边长为$\sqrt{2}+1$，求$\odot O$的半径；
（3）如图 2，在（2）的条件下，若 M 是半径 OC 上的一个动点，过点 M 作$MN ⊥ OC$交$\overset{\frown}{CE}$于点 N. 当$CM:FM=1:4$时，求 CN 的长.

​$ (1)$​证明：如图​$1，$​连接​$OE，$​过点​$O$​作​$OG\perp AB$​于点​$G$​∵​$\odot O$​与​$AD$​相切于点​$E，$​∴​$OE\perp AD$​∵四边形​$ABCD$​是正方形，​$AC$​是正方形​$ABCD$​的对角线∴​$∠BAC = ∠DAC = 45°$​∴​$\triangle AOE$​和​$\triangle AOG $​是等腰直角三角形∴​$OE = OG$​∵​$OE$​为​$\odot O$​的半径，∴​$OG $​为​$\odot O$​的半径∵​$OG\perp AB，$​∴​$AB$​与​$\odot O$​相切​$ (2)$​解：∵​$AC$​为正方形​$ABCD$​的对角线∴​$∠DAC = 45°$​∵​$\odot O$​与​$AD$​相切于点​$E，$​∴​$∠AEO = 90°$​​$ (1)$​可知​$AE = OE$​​$ $​设​$AE = OE = OC = OF = R$​​$ $​则在​$Rt\triangle AEO$​中，​$AE^2+EO^2=AO^2$​∴​$AO^2=R^2+R^2=2R^2$​∵​$R>0，$​∴​$AO = \sqrt 2RO$​ 又∵正方形​$ABCD$​的边长为​$\sqrt 2+1$​∴在​$Rt\triangle ADC$​中，​$AC=\sqrt {AD^2+CD^2}$​​$=\sqrt {(\sqrt 2+1)^2+(\sqrt 2+1)^2}=\sqrt 2(\sqrt 2+1)$​∵​$OA + OC = AC$​∴​$\sqrt 2R+R=\sqrt 2(\sqrt 2+1)，$​​$ (\sqrt 2+1)R=\sqrt 2(\sqrt 2+1)，$​解得​$R = \sqrt 2$​​$ $​故​$\odot O$​的半径为​$\sqrt 2$​​$ (3)$​解：如图​$2，$​连接​$FN，$​​$ON$​​$ $​设​$CM = k，$​∵​$CM∶FM = 1∶4，$​∴​$CF = 5k$​∴​$OC = ON = 2.5k，$​∴​$OM = OC - CM = 1.5k$​​$ $​在​$Rt\triangle OMN$​中，由勾股定理，​$MN=\sqrt {ON^2-OM^2}=\sqrt {(2.5k)^2-(1.5k)^2} = 2k$​​$ $​在​$Rt\triangle CMN$​中，由勾股定理，得​$CN=\sqrt {CM^2+MN^2}=\sqrt {k^2+(2k)^2}=\sqrt 5k$​ 又∵​$F C = 5k = 2R = 2\sqrt 2$​∴​$k=\frac {2\sqrt 2}5$​∴​$CN=\sqrt 5×\frac {2\sqrt 2}5=\frac {2\sqrt {10}}5$​ ;