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(2025·南阳期末)综合与实践
【问题背景】
我们在初学二次函数时,遇到这样一个问题:用总长为20 m的围栏材料,一面靠墙(墙足够长),围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大?
AB的长/m |1|2|3|4|5|6|7|8|9
BC的长/m |18|16| |12| | |6|4|2
面积/m² |18|32| |48| | |42|32|18
【尝试探究】
(1)如图,设围成的矩形花圃为ABCD.我们先列举一些不同的围法,观察矩形花圃的面积是怎样变化的.请补充完整表格.
【观察发现】
(2)设AB的长为x m,矩形花圃的面积为y m²,我们发现:y是x的函数.
①请写出y与x的函数表达式为
②自变量x的取值范围是
【问题解决】
(3)请将y与x的函数表达式转化成顶点式,求出矩形花圃面积的最大值.
【拓展探究】
(4)用总长为a m的围栏材料,一面靠墙(墙足够长),围成一个矩形花圃.当与墙垂直的一边长度为多少时,围成的花圃的面积最大?最大面积为多少?
【问题背景】
我们在初学二次函数时,遇到这样一个问题:用总长为20 m的围栏材料,一面靠墙(墙足够长),围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大?
AB的长/m |1|2|3|4|5|6|7|8|9
BC的长/m |18|16| |12| | |6|4|2
面积/m² |18|32| |48| | |42|32|18
【尝试探究】
(1)如图,设围成的矩形花圃为ABCD.我们先列举一些不同的围法,观察矩形花圃的面积是怎样变化的.请补充完整表格.
【观察发现】
(2)设AB的长为x m,矩形花圃的面积为y m²,我们发现:y是x的函数.
①请写出y与x的函数表达式为
$y=-2x^2+20x$
(整理成一般形式);②自变量x的取值范围是
$0＜x＜10$
.【问题解决】
(3)请将y与x的函数表达式转化成顶点式,求出矩形花圃面积的最大值.
【拓展探究】
(4)用总长为a m的围栏材料,一面靠墙(墙足够长),围成一个矩形花圃.当与墙垂直的一边长度为多少时,围成的花圃的面积最大?最大面积为多少?
答案
(1) 解析:根据题意,结合矩形的面积公式计算完成填表即可.
(2) ①$y=-2x^2+20x$ 解析: $y=x(20-2x) = -2x^2+20x$.
②$0＜x＜10$ 解析: $\because \begin{cases} x＞0, \\ 20-2x＞0, \end{cases} \therefore 0＜x＜10$.故答案为$0＜x＜10$.
(3)$y=-2x^2+20x=-2(x-5)^2+50$,$\because -2＜0$,$\therefore$ 当$x=5$时,$y$的最大值为50,即矩形花圃面积的最大值为$50\ \mathrm{m}^2$.
(4)设与墙垂直的一边长度为$x\ \mathrm{m}$,围成的花圃的面积为$y\ \mathrm{m}^2$,依题意,$y=x(a-2x) = -2x^2+ax = -2(x-\dfrac{a}{4})^2+\dfrac{1}{8}a^2 (0＜x＜\dfrac{a}{2})$,$\therefore$ 当$x=\dfrac{a}{4}$时,$y$的最大值为$\dfrac{1}{8}a^2$,故当与墙垂直的一边长度为$\dfrac{a}{4}\ \mathrm{m}$时,围成的花圃的面积最大,最大面积为$\dfrac{1}{8}a^2\ \mathrm{m}^2$.
(2) ①$y=-2x^2+20x$ 解析: $y=x(20-2x) = -2x^2+20x$.
②$0＜x＜10$ 解析: $\because \begin{cases} x＞0, \\ 20-2x＞0, \end{cases} \therefore 0＜x＜10$.故答案为$0＜x＜10$.
(3)$y=-2x^2+20x=-2(x-5)^2+50$,$\because -2＜0$,$\therefore$ 当$x=5$时,$y$的最大值为50,即矩形花圃面积的最大值为$50\ \mathrm{m}^2$.
(4)设与墙垂直的一边长度为$x\ \mathrm{m}$,围成的花圃的面积为$y\ \mathrm{m}^2$,依题意,$y=x(a-2x) = -2x^2+ax = -2(x-\dfrac{a}{4})^2+\dfrac{1}{8}a^2 (0＜x＜\dfrac{a}{2})$,$\therefore$ 当$x=\dfrac{a}{4}$时,$y$的最大值为$\dfrac{1}{8}a^2$,故当与墙垂直的一边长度为$\dfrac{a}{4}\ \mathrm{m}$时,围成的花圃的面积最大,最大面积为$\dfrac{1}{8}a^2\ \mathrm{m}^2$.
