1. (2025·成都期中)新定义:关于x的一元二次方程$a_1(x-c)^2 +k=0$与$a_2(x-c)^2 +k=0$称为“同族二次方程”,例如:$5(x-6)^2 +7=0$与$6(x-6)^2 +7=0$是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程$(m+2)x^2 +(n-4)x +8=0$与$2(x-1)^2 +1=0$是“同族二次方程”,则代数式$mx^2 +nx +2030$的最小值是.

1. 2 025 解析:
∵ 关于x的一元二次方程$(m+2)x^2+(n-4)x+8=0$与$2(x-1)^2+1=0$是“同族二次方程”,
∴ $(m+2)x^2+(n-4)x+8=(m+2)(x-1)^2+1$,
∴ $(m+2)x^2+(n-4)x+8=(m+2)x^2-2(m+2)x+m+3$,
∴ $\begin{cases}-2(m+2)=n-4,\\m+3=8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=5,\\n=-10,\end{cases}$
∴ $mx^2+nx+2 030=5x^2-10x+2 030=5(x-1)^2+2 025$.
∵ $5(x-1)^2+2 025≥2 025$,
∴ 代数式$mx^2+nx+2 030$的最小值是2 025.

2. (2025·深圳月考)定义:在$□ ABCD$中,如果有一条对角线的长等于其中一条边的长,则称这个平行四边形为“N字平行四边形”.
(1)下面的图形中是“N字平行四边形”的有________;
A. 正方形
B. 矩形
C. 有一个角是$60°$的菱形
D. 有一个角是$60°$的平行四边形
E. 有一个角是$45°$的平行四边形
(2)在“N字平行四边形”中,$∠ A = 45°$,则$\frac{AB}{BC} = \_\_\_\_\_\_$;
(3)如图,在矩形$ABCD$中,点$E,F$分别是$BC$边和$AD$边上的点,四边形$BEDF$为“N字平行四边形”,若$AB=2AF$,求$\frac{AB}{BC}$的值.

2. (1)C 解析: A. 正方形的对角线为边长的$\sqrt{2}$倍,故不满足;B. 矩形的对角线长不等于其中一条边的长,故不满足;C. 有一个角是$60°$的菱形,有一条对角线的长等于其中一条边的长,故满足;D. 有一个角是$60°$的平行四边形,对角线不一定等于其中一条边的长,故不满足;E. 有一个角是$45°$的平行四边形,对角线不一定等于其中一条边的长,故不满足.
(2)$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解析: 当$AB＞BC$时,如图①所示,,
∵ 平行四边形$ABCD$是“N字平行四边形”,
∴ $AD=BD=BC$,
∴ $∠A=∠ABD=45°$,
∴ $∠ADB=180°-∠A-∠ABD=90°$,
∴ $AB=\sqrt{2}AD=\sqrt{2}BC$,
∴ $\frac{AB}{BC}=\sqrt{2}$;当$AB＜BC$时,如图②所示,,
∵ 平行四边形$ABCD$是“N字平行四边形”,
∴ $AB=BD$,$AD=BC$,
∴ $∠A=∠ADB=45°$,
∴ $∠ABD=180°-∠A-∠ADB=90°$,
∴ $BC=AD=\sqrt{2}AB$,
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{\sqrt{2}AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 综上,$\frac{AB}{BC}=\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)过点E作$EM⊥BF$于点M,过点F作$FN⊥BE$于点N,连接BD,如图③所示,,
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ $AD=BC$,$∠A=∠C=90°$,$AB=DC=FN$.
∵ 四边形BEDF为平行四边形,
∴ $FD=BE$,$FB=DE$,
∴ $AF=AD-FD$,$CE=BC-BE$,即$AF=CE$.
∵ 四边形BEDF为N字平行四边形,又$BD＞BE$,$BD＞DE$,
∴ 有以下两种情况:①当$FB=FE$时,$FN⊥BE$,
∴ N为BE的中点,
∴ $BN=NE$. 在矩形ABNF中,$AF=BN$,又
∵ $AF=CE$,
∴ $BN=NE=CE=AF$,
∴ $BC=BN+NE+CE=3AF$,$AB=2AF$,
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{2AF}{3AF}=\frac{2}{3}$;②当$EB=EF$时,
∵ $EM⊥BF$,
∴ M为BF的中点,
∴ $BM=\frac{1}{2}BF$,设$AF=t$,则$AB=2t$,在$Rt△ABF$中,$BF=\sqrt{AF^2+AB^2}=\sqrt{5}t$,$BM=\frac{\sqrt{5}}{2}t$.
∵ $EM⊥BF$,
∴ $∠EMB=90°$.
∵ $AD//BC$,
∴ $∠AFB=∠MBE$,
∴ $Rt△BAF∽Rt△EMB$,
∴ $AF:AB:BF=MB:ME:BE=1:2:\sqrt{5}$. 由$BM=\frac{\sqrt{5}}{2}t$可得$BE=\frac{5}{2}t$.
∴ $BC=\frac{7}{2}t$,
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{2t}{\frac{7}{2}t}=\frac{4}{7}$. 综上,$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$或$\frac{4}{7}$.

3. (2025·西安月考)新定义:若抛物线M和抛物线N的对称轴为同一条直线,我们称M和N互为“同枝”抛物线.
(1)如图,抛物线M:$y=x^2-4x+3$与坐标轴交于A,B,C三点,请任意写出一个与抛物线M互为“同枝”抛物线的表达式;
(2)抛物线N与M互为“同枝”抛物线,且N与M的形状相同,若N与坐标轴仅有两个交点,请求出N的表达式.

3. (1)抛物线M:$y=x^2-4x+3$的对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2×1}=2$,则与抛物线M互为“同枝”抛物线的表达式可以为$y=x^2-4x+5$.(答案不唯一)
(2)由抛物线M的表达式$y=x^2-4x+3$可知其对称轴为直线$x=2$,二次项系数为1,若N与坐标轴仅有两个交点,①N的图象的顶点位于x轴上,由抛物线N与M互为“同枝”抛物线,且N与M的形状相同,可知N的顶点为$(2,0)$且N的二次项系数$|a|=1$,则N的表达式为$y=(x-2)^2$或$y=-(x-2)^2$,展开得到一般形式为$y=x^2-4x+4$或$y=-x^2+4x-4$;②N的图象经过点$(0,0)$,又由抛物线N与M互为“同枝”抛物线,则抛物线N的对称轴为直线$x=2$,
∴ 抛物线N与x轴另一交点为$(4,0)$.
∵ N与M的形状相同,
∴ N的二次项系数$|a|=1$,则N的表达式为$y=±(x-0)(x-4)$,展开得到一般形式为$y=x^2-4x$或$y=-x^2+4x$. 综上,N的表达式为$y=x^2-4x+4$或$y=-x^2+4x-4$或$y=x^2-4x$或$y=-x^2+4x$.