6. 阅读材料,按要求完成下面各题。
【数学背景】对于一个三位数$\overline{ABC}$,根据三位数的组成可知,$\overline{ABC}=100×A+10×B+C$,结合运算律,可以将这个式子转化为$\overline{ABC}=99×A+9×B+(A+B+C)$,由于$99×A$一定是3的倍数,$9×B$也一定是3的倍数,所以当且仅当$A+B+C$是3的倍数时,三位数$\overline{ABC}$是3的倍数。
【阅读理解】为什么$99×A$和$9×B$是3的倍数?
【知识迁移】四位数$\overline{ABCD}$是9的倍数,它满足什么特征?
【总结归纳】9的倍数的特征是:

。

【阅读理解】99、9都是3的倍数,故99×A、9×B都是3的倍数。
提示:先看两个基础的数:99=3×33,所以99×A=3×33×A,这个数可以写成“3乘一个整数”,符合3的倍数特征,所以99×A一定是3的倍数。9=3×3,所以9×B=3×3×B,同样是“3乘一个整数”,因此9×B也一定是3的倍数。即99和9本身就是3的倍数,它们乘任何整数A、B,结果还是3的倍数。
【知识迁移】数A、B、C、D的和是9的倍数。
提示:根据三位数的推导方法,我们先把四位数展开:四位数$\overline{ABCD}=1000×A+100×B+10×C+D$,我们把它拆成9的倍数加剩余部分:1000×A+100×B+10×C+D=(999×A+A)+(99×B+B)+(9×C+C)+D=(999×A+99×B+9×C)+(A+B+C+D),999×A=9×111×A,99×B=9×11×B,9×C=9×1×C,这三部分都是9的倍数,加起来的和999×A+99×B+9×C一定是9的倍数。因此,当A+B+C+D是9的倍数时,四位数$\overline{ABCD}$是9的倍数。
【总结归纳】各个数位上的数之和是9的倍数
提示:仿照【知识迁移】的过程,将一个数构造为9的倍数加各个数位上数的和的形式,如果各个数位上数的和是9的倍数,那么这个数就是9的倍数。

7. a、b、c都是素数，并且$a+b=33$，$b+c=44$，$c+d=66$。求$c×d$。

a+d=33+66-44=55
由于a+b、a+d都是奇数,则a=2
b=33-2=31 c=44-31=13
d=66-13=53 c×d=13×53=689
提示:根据题意,a+d=(a+b)+(c+d)-(b+c)=55,而a和b都是素数,且a+b、a+d都是奇数,所以a是偶数2,进而依次求出b、c、d的值,据此计算c×d。

8.50名学生面向老师站成一行，按老师的口令从左往右依次报数：1、2、3……报完数后，老师让所报的数是3的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在仍然有多少名同学面向老师？

解:50÷3=16(名)……2(名) 50÷5=10(名)
3和5的最小公倍数是15
50÷15=3(名)……5(名)
50-16-(10-3)+3=30(名)
答:现在仍然面向老师的有30名学生。
提示:先求出两次分别向后转的人数,因为50内有3和5的公倍数,因此有学生向后转了两次,此时是面向老师,所以用50减去第一次向后转的人数和只在第二次向后转的人数,再加上两次都向后转的人数,得到的就是现在面向老师的学生的数量。

9. 一个自然数除以6余2,除以8余4,除以9余5,这个自然数最小是多少?

解:6-2=8-4=9-5=4
6=2×3 8=2×2×2 9=3×3
2×2×2×3×3=72 72-4=68
答:这个自然数最小是68。
提示:由于6-2=8-4=9-5=4,所以题目中的信息可以转化为,这个数增加4后,除以6、8、9都没有余数,由于6、8、9的最小公倍数是72,所以这个数最小是72-4=68。

10. 在一根绳子上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将绳子平均分成10份、12份和15份，如果沿着三种标记把绳子剪断，一共能剪成多少段？

解:10=2×5 12=2×2×3 15=3×5
2×2×3×5=60
60÷10=6(厘米) 60÷12=5(厘米)
60÷15=4(厘米)
60以内6和5的公倍数:30
60以内5和4的公倍数:20、40
60以内6和4的公倍数:12、24、36、48
(10-1)+(12-1)+(15-1)-1-2-4+1=28(段)
答:一共能剪成28段。
提示:10、12和15的最小公倍数是60,所以设这根绳子长60厘米,这样三种颜色的标记分别把绳子分成的小段长是60÷10=6(厘米)、60÷12=5(厘米)和60÷15=4(厘米)。因为在60以内,6和5的公倍数有1个,6和4的公倍数有4个,5和4的公倍数有2个,因此,绳子总共被剪成(10-1)+(12-1)+(15-1)-1-2-4+1=28(段)。