1. 点$(3,3)$关于x轴对称的点是()
A.$(3,-3)$
B.$(-3,3)$
C.$(3,3)$
D.$(-3,-3)$

A

关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。点$(3,3)$关于x轴对称的点，横坐标仍为3，纵坐标为$-3$，即$(3,-3)$。

2. 已知点$M(2,a)与点N(b,3)关于y$轴对称,则$b^{a}$的值为()
A.6
B.-6
C.8
D.-8

D

由于点$M(2,a)$和点$N(b,3)$关于$y$轴对称，根据对称性质，两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。
因此，有$b = -2$，$a = 3$。
进而计算$b^a = (-2)^3 = -8$。

3. 如图,$x轴是\triangle AOB$的对称轴,$y轴是\triangle BOC$的对称轴,点$A的坐标为(1,2)$,则点$C$的坐标为()

A.$(-1,-2)$
B.$(1,-2)$
C.$(-1,2)$
D.$(-2,-1)$

A

已知$x$轴是$\triangle AOB$的对称轴，点$A$的坐标为$(1,2)$，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点$A(1,2)$关于$x$轴对称的点坐标为$(1,-2)$，即点$B$的坐标为$(1,-2)$。
又因为$y$轴是$\triangle BOC$的对称轴，根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，那么点$B(1,-2)$关于$y$轴对称的点坐标为$(-1,-2)$，即点$C$的坐标为$(-1,-2)$。

4. 点$P(4,-7)$关于$y$轴对称的点的坐标是,关于$x$轴对称的点的坐标是。

(-4,-7)，(4,7)

关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，所以点P(4,-7)关于y轴对称的点的坐标是(-4,-7)；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以点P(4,-7)关于x轴对称的点的坐标是(4,7)。

5. 已知$\triangle ABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示,若$\triangle A'B'C'与\triangle ABC关于y$轴对称,则点$A的对应点A'$的坐标是。

(4,3)

由图可知点A的坐标为(-4,3)，关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以点A'的坐标是(4,3)。

6. 如图,已知平面直角坐标系中$A(-1,3)$,$B(2,0)$,$C(-3,-1)$。在图中作出$\triangle ABC关于y轴的对称图形\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出点$A_{1}$,$B_{1}$,$C_{1}$的坐标。

1. 关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变。
2. 点A(-1,3)关于y轴的对称点A₁的坐标为(1,3)；
3. 点B(2,0)关于y轴的对称点B₁的坐标为(-2,0)；
4. 点C(-3,-1)关于y轴的对称点C₁的坐标为(3,-1)；
5. 在坐标系中描出点A₁(1,3)、B₁(-2,0)、C₁(3,-1)，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
A₁(1,3)，B₁(-2,0)，C₁(3,-1)

7. 如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为$1$,请按要求完成下列各题：
(1) 写出$\triangle ABC$三个顶点的坐标；
(2) 画出$\triangle ABC关于x轴对称的\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,写出点$A_{1}$的坐标；
(3) 画出$\triangle ABC关于y轴对称的\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$,写出点$C_{2}$的坐标；
(4) 求$\triangle ABC$的面积。

(1) $A(0, - 1)$，$B(1, - 3)$，$C(3, - 1)$。
(2) 画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$（图略），$A_{1}(0,1)$。
(3) 画出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$（图略），$C_{2}( - 3, - 1)$。
(4) $S=\frac{1}{2}×\vert3 - 0\vert×\vert - 3+1\vert - \frac{1}{2}×\vert1 - 0\vert×\vert - 3+1\vert-\frac{1}{2}×\vert3 - 1\vert×\vert - 1+1\vert$
$=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×2 - 0$
$=3 - 1$
$= 3 - 1= 2+1=3$
故$\triangle ABC$的面积为$3$。

8. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-4,1)$,$B(1,1)$,$C(-3,3)$。
(1) 画出$\triangle ABC$,判断$\triangle ABC$的形状是三角形；
(2) 点$C关于x轴的对称点C'$的坐标为；
(3) 已知点$P是y$轴正半轴上一点,若$S_{\triangle ABC}= S_{\triangle ABP}$,则点$P$的坐标是。

(1)
画图：在平面直角坐标系中，根据$A(-4,1)$，$B(1,1)$，$C(-3,3)$的坐标描点并连接成$\triangle ABC$。
判断形状：
因为$A$、$B$两点纵坐标相同，所以$AB// x$轴，$AB = 1 - (-4)=5$。
过$C$作$CD\perp AB$于$D$，$D$点横坐标与$C$相同为$-3$，纵坐标与$A$、$B$相同为$1$，则$CD = 3 - 1 = 2$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AD= - 3-(-4)=1$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
在$Rt\triangle BCD$中，$BD=1 - (-3)=4$，$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为$AC^{2}+BC^{2}=5 + 20 = 25=AB^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
(2)
关于$x$轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以点$C(-3,3)$关于$x$轴的对称点$C'$的坐标为$(-3,-3)$。
(3)
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×5×2 = 5$。
设$P(0,y)(y\gt0)$，$A(-4,1)$，$B(1,1)$，则$AB = 5$，点$P$到$AB$的距离为$\vert y - 1\vert$。
因为$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}× AB×\vert y - 1\vert=5$，即$\frac{1}{2}×5×\vert y - 1\vert=5$，则$\vert y - 1\vert = 2$。
因为$y\gt0$，当$y - 1 = 2$时，$y = 3$；当$y - 1=-2$时，$y=-1$（舍去）。所以点$P$的坐标是$(0,3)$。
综上，答案依次为：(1)直角；(2)$(-3,-3)$；(3)$(0,3)$。