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9. 已知$a$,$b$分别为等腰三角形的两条边长,且$a$,$b$满足$a = 5\sqrt{b - 6}-4\sqrt{12 - 2b}+3$,则此三角形的周长为
15
。答案
15
解析
由题意，根据二次根式有意义的条件得：$\begin{cases}b-6\geq0,\\12-2b\geq0.\end{cases}$
解不等式组得$b\geq6$且$b\leq6$，所以$b = 6$。
把$b = 6$代入$a = 5\sqrt{b - 6}-4\sqrt{12 - 2b}+3$，可得$a=3$。
分两种情况讨论：
当$a = 3$为腰长时，三边长分别为$3$，$3$，$6$，由于$3 + 3 = 6$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
当$b = 6$为腰长时，三边长分别为$6$，$6$，$3$，因为$3 + 6＞6$，满足三角形三边关系，此时周长为$6 + 6 + 3 = 15$。
解不等式组得$b\geq6$且$b\leq6$，所以$b = 6$。
把$b = 6$代入$a = 5\sqrt{b - 6}-4\sqrt{12 - 2b}+3$，可得$a=3$。
分两种情况讨论：
当$a = 3$为腰长时，三边长分别为$3$，$3$，$6$，由于$3 + 3 = 6$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
当$b = 6$为腰长时，三边长分别为$6$，$6$，$3$，因为$3 + 6＞6$，满足三角形三边关系，此时周长为$6 + 6 + 3 = 15$。
10. 已知$(x - 2y + 3)^{2}+\sqrt{2 - y}= 0$,求$x + y$的平方根。
答案
因为一个数的平方是非负数，一个数的算术平方根也是非负数，两个非负数的和为$0$，则这两个非负数分别为$0$。
所以可得方程组：
$\begin{cases}x - 2y + 3 = 0 \\ 2 - y = 0\end{cases}$
由$2 - y = 0$，解得$y = 2$。
将$y = 2$代入$x - 2y + 3 = 0$，得$x - 2×2 + 3 = 0$，即$x - 4 + 3 = 0$，解得$x = 1$。
所以$x + y = 1 + 2 = 3$。
$3$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
故答案为$\pm\sqrt{3}$。
所以可得方程组：
$\begin{cases}x - 2y + 3 = 0 \\ 2 - y = 0\end{cases}$
由$2 - y = 0$，解得$y = 2$。
将$y = 2$代入$x - 2y + 3 = 0$，得$x - 2×2 + 3 = 0$，即$x - 4 + 3 = 0$，解得$x = 1$。
所以$x + y = 1 + 2 = 3$。
$3$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
故答案为$\pm\sqrt{3}$。
11. (1) 已知实数$x满足|\sqrt{2026}-x|+\sqrt{x - 2025}= x$,求$x$的值；
(2) 若$x$,$y$为实数,且$y\lt\sqrt{3 - x}+\sqrt{x - 3}+2$,试化简：$x^{2}+|y - 2|-\sqrt{y^{2}-6y + 9}$。
(2) 若$x$,$y$为实数,且$y\lt\sqrt{3 - x}+\sqrt{x - 3}+2$,试化简：$x^{2}+|y - 2|-\sqrt{y^{2}-6y + 9}$。
答案
(1) $4051$；(2) $8$。
解析
(1) 由二次根式有意义的条件得：$x - 2025 \geq 0$，即$x \geq 2025$。
因为$x \geq 2025 ＞ \sqrt{2026}$，所以$|\sqrt{2026} - x| = x - \sqrt{2026}$。
原方程可化为：$x - \sqrt{2026} + \sqrt{x - 2025} = x$，
整理得：$\sqrt{x - 2025} = \sqrt{2026}$，
两边平方：$x - 2025 = 2026$，解得$x = 4051$。
(2) 由二次根式有意义的条件得：$\begin{cases}3 - x \geq 0 \\ x - 3 \geq 0\end{cases}$，解得$x = 3$。
则$y ＜ \sqrt{3 - 3} + \sqrt{3 - 3} + 2 = 2$，即$y ＜ 2$。
化简原式：
$x^2 = 3^2 = 9$；
$|y - 2| = 2 - y$（因为$y ＜ 2$）；
$\sqrt{y^2 - 6y + 9} = \sqrt{(y - 3)^2} = |y - 3| = 3 - y$（因为$y ＜ 2 ＜ 3$）。
原式$= 9 + (2 - y) - (3 - y) = 9 + 2 - y - 3 + y = 8$。
因为$x \geq 2025 ＞ \sqrt{2026}$，所以$|\sqrt{2026} - x| = x - \sqrt{2026}$。
原方程可化为：$x - \sqrt{2026} + \sqrt{x - 2025} = x$，
整理得：$\sqrt{x - 2025} = \sqrt{2026}$，
两边平方：$x - 2025 = 2026$，解得$x = 4051$。
(2) 由二次根式有意义的条件得：$\begin{cases}3 - x \geq 0 \\ x - 3 \geq 0\end{cases}$，解得$x = 3$。
则$y ＜ \sqrt{3 - 3} + \sqrt{3 - 3} + 2 = 2$，即$y ＜ 2$。
化简原式：
$x^2 = 3^2 = 9$；
$|y - 2| = 2 - y$（因为$y ＜ 2$）；
$\sqrt{y^2 - 6y + 9} = \sqrt{(y - 3)^2} = |y - 3| = 3 - y$（因为$y ＜ 2 ＜ 3$）。
原式$= 9 + (2 - y) - (3 - y) = 9 + 2 - y - 3 + y = 8$。
12. 若$a$,$b$是一直角三角形的两边长,且满足等式$2\sqrt{2a - 4}+3\sqrt{2 - a}= b - 5$。
(1) 求$a$,$b$的值；
(2) 求第三边的长。
(1) 求$a$,$b$的值；
(2) 求第三边的长。
答案
(1)$a = 2$，$b = 5$；(2)$\sqrt{21}$或$\sqrt{29}$。
解析
(1)由二次根式有意义的条件得：
$\begin{cases}2a - 4 \geq 0 \\2 - a \geq 0\end{cases}$
解得$a \geq 2$且$a \leq 2$，故$a = 2$。
将$a = 2$代入等式$2\sqrt{2a - 4} + 3\sqrt{2 - a} = b - 5$，得：
$2\sqrt{0} + 3\sqrt{0} = b - 5$，即$0 = b - 5$，解得$b = 5$。
(2)分两种情况：
①若$a$，$b$为直角边，第三边（斜边）长为$\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$；
②若$b$为斜边，第三边（直角边）长为$\sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}$。
综上，第三边的长为$\sqrt{21}$或$\sqrt{29}$。
$\begin{cases}2a - 4 \geq 0 \\2 - a \geq 0\end{cases}$
解得$a \geq 2$且$a \leq 2$，故$a = 2$。
将$a = 2$代入等式$2\sqrt{2a - 4} + 3\sqrt{2 - a} = b - 5$，得：
$2\sqrt{0} + 3\sqrt{0} = b - 5$，即$0 = b - 5$，解得$b = 5$。
(2)分两种情况：
①若$a$，$b$为直角边，第三边（斜边）长为$\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$；
②若$b$为斜边，第三边（直角边）长为$\sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}$。
综上，第三边的长为$\sqrt{21}$或$\sqrt{29}$。
