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22. (7 分)关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+2kx + 2 = 0$.
(1) 求证:无论 $k$ 为何值,方程总有实数根;
(2) 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $(k - 1)x^{2}+2kx + 2 = 0$ 的两个根,记 $S= \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}+x_{1}+x_{2}$,$S$ 的值能为 $2$ 吗? 若能,求出此时 $k$ 的值;若不能,请说明理由.
(1) 求证:无论 $k$ 为何值,方程总有实数根;
(2) 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $(k - 1)x^{2}+2kx + 2 = 0$ 的两个根,记 $S= \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}+x_{1}+x_{2}$,$S$ 的值能为 $2$ 吗? 若能,求出此时 $k$ 的值;若不能,请说明理由.
答案
（1）①当$k-1=0$,即$k=1$时，方程为一元一次方程$2x+2=0$,$x=-1$,有一个解；②当$k-1\neq0$,即$k\neq1$时，方程为一元二次方程，$\Delta=(2k)^{2}-4×2(k-1)=4k^{2}-8k+8=4(k-1)^{2}+4\gt0$,方程有两不等根.综合①②得：无论$k$为何值，方程总有实数根.（2）根据一元二次方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,由一元二次方程根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=\frac{-2k}{k-1}$,$x_{1}x_{2}=\frac{2}{k-1}$.又
∵$S=\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}+x_{1}+x_{2}=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}+x_{1}+x_{2}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}+x_{1}+x_{2}=\frac{(\frac{-2k}{k-1})^{2}-\frac{4}{k-1}}{\frac{2}{k-1}}+\frac{-2k}{k-1}=2k-2$.当$S=2$时，即$2k-2=2$,解得$k=2$.
∴当$k=2$时，$S$的值为2
∵$S=\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}+x_{1}+x_{2}=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}+x_{1}+x_{2}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}+x_{1}+x_{2}=\frac{(\frac{-2k}{k-1})^{2}-\frac{4}{k-1}}{\frac{2}{k-1}}+\frac{-2k}{k-1}=2k-2$.当$S=2$时，即$2k-2=2$,解得$k=2$.
∴当$k=2$时，$S$的值为2
23. (8 分)某水果店购进成本价为 $14$ 元/kg 的 $A、B$ 两种水果,经市场调研发现,若 $A、B$ 两种水果售价分别为 $20$ 元/kg、$18$ 元/kg,这两种水果每天可分别销售 $200$ kg、$400$ kg. 由于 $B$ 水果更受大众喜欢,该店为了增加利润,准备提高 $B$ 种水果的售价,同时降低 $A$ 种水果的售价(不低于成本价). 若 $A$ 种水果售价每降低 $1$ 元,每天可多卖 $20$ kg; $B$ 种水果售价每提高 $1$ 元,每天就少卖 $10$ kg. 如果这两种水果每天销售的总量不变,且进货当天全部售完,该店计划销售这两种水果一天的总利润为 $4180$ 元,则 $A、B$ 两种水果每天进货量各为多少?
答案
A种水果的进货量为260 kg,B种水果进货量为340 kg
解析
设A种水果售价降低$x$元，则A种水果售价为$(20 - x)$元/kg，每天销量为$(200 + 20x)$kg；B种水果售价提高$y$元，则B种水果售价为$(18 + y)$元/kg，每天销量为$(400 - 10y)$kg。
由两种水果每天销售总量不变，得：$200 + 20x + 400 - 10y = 200 + 400$，化简得$2x - y = 0$，即$y = 2x$。
A种水果每千克利润为$(20 - x - 14) = (6 - x)$元，B种水果每千克利润为$(18 + y - 14) = (4 + y)$元，将$y = 2x$代入得B种水果每千克利润为$(4 + 2x)$元。
总利润为：$(6 - x)(200 + 20x) + (4 + 2x)(400 - 10y)$，把$y = 2x$代入$400 - 10y$得$400 - 20x$，则总利润表达式为$(6 - x)(200 + 20x) + (4 + 2x)(400 - 20x)$。
展开计算：
$\begin{aligned}&(6 - x)(200 + 20x) + (4 + 2x)(400 - 20x)\\=&1200 + 120x - 200x - 20x^2 + 1600 - 80x + 800x - 40x^2\\=&(1200 + 1600) + (120x - 200x - 80x + 800x) + (-20x^2 - 40x^2)\\=&2800 + 640x - 60x^2\end{aligned}$
令总利润为4180元，得方程：$-60x^2 + 640x + 2800 = 4180$，化简为$60x^2 - 640x + 1380 = 0$，即$3x^2 - 32x + 69 = 0$。
解方程$3x^2 - 32x + 69 = 0$，判别式$\Delta = 32^2 - 4×3×69 = 1024 - 828 = 196$，解得$x = \frac{32 ± 14}{6}$，即$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{23}{3}$（$x_2$代入$20 - x$得售价低于成本价，舍去）。
当$x = 3$时，A种水果进货量为$200 + 20×3 = 260$kg，B种水果进货量为$400 - 10y = 400 - 10×2x = 400 - 60 = 340$kg。
A种水果的进货量为260 kg，B种水果进货量为340 kg。
由两种水果每天销售总量不变，得：$200 + 20x + 400 - 10y = 200 + 400$，化简得$2x - y = 0$，即$y = 2x$。
A种水果每千克利润为$(20 - x - 14) = (6 - x)$元，B种水果每千克利润为$(18 + y - 14) = (4 + y)$元，将$y = 2x$代入得B种水果每千克利润为$(4 + 2x)$元。
总利润为：$(6 - x)(200 + 20x) + (4 + 2x)(400 - 10y)$，把$y = 2x$代入$400 - 10y$得$400 - 20x$，则总利润表达式为$(6 - x)(200 + 20x) + (4 + 2x)(400 - 20x)$。
展开计算：
$\begin{aligned}&(6 - x)(200 + 20x) + (4 + 2x)(400 - 20x)\\=&1200 + 120x - 200x - 20x^2 + 1600 - 80x + 800x - 40x^2\\=&(1200 + 1600) + (120x - 200x - 80x + 800x) + (-20x^2 - 40x^2)\\=&2800 + 640x - 60x^2\end{aligned}$
令总利润为4180元，得方程：$-60x^2 + 640x + 2800 = 4180$，化简为$60x^2 - 640x + 1380 = 0$，即$3x^2 - 32x + 69 = 0$。
解方程$3x^2 - 32x + 69 = 0$，判别式$\Delta = 32^2 - 4×3×69 = 1024 - 828 = 196$，解得$x = \frac{32 ± 14}{6}$，即$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{23}{3}$（$x_2$代入$20 - x$得售价低于成本价，舍去）。
当$x = 3$时，A种水果进货量为$200 + 20×3 = 260$kg，B种水果进货量为$400 - 10y = 400 - 10×2x = 400 - 60 = 340$kg。
A种水果的进货量为260 kg，B种水果进货量为340 kg。
24. (8 分)如图,已知甲、乙两人分别从正方形场地 $ABCD$ 的顶点 $C,B$ 两点同时出发,甲由 $C$ 向 $D$ 运动,乙由 $B$ 向 $C$ 运动,甲的速度为 $1$ km/min,乙的速度为 $2$ km/min,若正方形场地的周长为 $40$ km,则多长时间后,两人首次相距 $2\sqrt{10}$ km?
答案
2 min后，两人首次相距$2\sqrt{10}$ km
