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1. 因式分解：(1) $ x^{2}-4x= $____；(2) $ 4y^{2}-9= $____；(3) $ 4a^{2}-4a+1= $____.
答案
(1)$x(x-4)$；
(2)$(2y+3)(2y-3)$；
(3)$(2a-1)^{2}$.
2. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^{2}+4x+m^{2}-3m= 0 $ 的一个根为 $ 0 $,则 $ m $ 的值为____.
答案
3
解析
因为方程$mx^{2}+4x+m^{2}-3m=0$是一元二次方程，所以$m\neq0$。
已知方程的一个根为$0$，将$x=0$代入方程得：$m×0^{2}+4×0+m^{2}-3m=0$，即$m^{2}-3m=0$。
因式分解得$m(m - 3)=0$，所以$m=0$或$m=3$。
又因为$m\neq0$，所以$m=3$。
3
已知方程的一个根为$0$，将$x=0$代入方程得：$m×0^{2}+4×0+m^{2}-3m=0$，即$m^{2}-3m=0$。
因式分解得$m(m - 3)=0$，所以$m=0$或$m=3$。
又因为$m\neq0$，所以$m=3$。
3
3. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ x^{2}+6x= 0 $；(2) $ x^{2}+2x+1= 0 $；(3) $ y^{2}-4= 0 $.
(1) $ x^{2}+6x= 0 $；(2) $ x^{2}+2x+1= 0 $；(3) $ y^{2}-4= 0 $.
答案
(1)$x_{1}=0$,$x_{2}=-6$；
(2)$x_{1}=x_{2}=-1$；
(3)$y_{1}=2$,$y_{2}=-2$.
问题 已知实数 $ x,y $ 满足 $ (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-2)= -1 $,求 $ x^{2}+y^{2} $ 的值.
名师指导
如果能够把 $ x^{2}+y^{2} $ 视为一个整体,则已知条件可以转化成一元二次方程的形式,用因式分解法可以解这个一元二次方程.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
如果能够把 $ x^{2}+y^{2} $ 视为一个整体,则已知条件可以转化成一元二次方程的形式,用因式分解法可以解这个一元二次方程.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案
$ 1 $
解析
解：设 $ t = x^{2} + y^{2} $，则原方程可化为 $ t(t - 2) = -1 $。
整理得 $ t^{2} - 2t + 1 = 0 $。
因式分解，得 $ (t - 1)^{2} = 0 $。
解得 $ t_{1} = t_{2} = 1 $。
因为 $ x^{2} + y^{2} \geq 0 $，所以 $ t = 1 $。
即 $ x^{2} + y^{2} = 1 $。
整理得 $ t^{2} - 2t + 1 = 0 $。
因式分解，得 $ (t - 1)^{2} = 0 $。
解得 $ t_{1} = t_{2} = 1 $。
因为 $ x^{2} + y^{2} \geq 0 $，所以 $ t = 1 $。
即 $ x^{2} + y^{2} = 1 $。
1. 方程 $ (x+3)(x-4)= 0 $ 的根是____.
答案
$x_{1}=-3$,$x_{2}=4$.
2. 若 $ (2x+3y)^{2}+2(2x+3y)-8= 0 $,则 $ 2x+3y= $____.
答案
2或-4.
解析
设$ t = 2x + 3y $，则原方程化为$ t^2 + 2t - 8 = 0 $。
因式分解得$ (t + 4)(t - 2) = 0 $。
所以$ t + 4 = 0 $或$ t - 2 = 0 $，解得$ t = -4 $或$ t = 2 $。
即$ 2x + 3y = 2 $或$ -4 $。
2或-4.
因式分解得$ (t + 4)(t - 2) = 0 $。
所以$ t + 4 = 0 $或$ t - 2 = 0 $，解得$ t = -4 $或$ t = 2 $。
即$ 2x + 3y = 2 $或$ -4 $。
2或-4.
3. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ (x-5)^{2}+6x(x-5)= 0 $；(2) $ x(x-2)= 2-x $.
(1) $ (x-5)^{2}+6x(x-5)= 0 $；(2) $ x(x-2)= 2-x $.
答案
(1)$x_{1}=5$,$x_{2}=\frac{5}{7}$；
(2)$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$.
4. 一块矩形菜地的面积是 $ 120m^{2} $,如果它的长减少 $ 2m $,那么菜地就变成正方形,求原菜地的长.
答案
设原菜地的长为$x\ m$,则宽为$(x-2)\ m$.根据题意,得$x(x-2)=120$.解得$x_{1}=12$,$x_{2}=-10$(不合题意,舍去).
解析
设原菜地的长为$x\ m$，则宽为$(x - 2)\ m$。根据题意，得$x(x - 2)=120$。解得$x_{1}=12$，$x_{2}=-10$（不合题意，舍去）。
原菜地的长为$12\ m$。
原菜地的长为$12\ m$。
根据要求,解答下列问题.
(1) 解下列方程：
① 方程 $ x^{2}-2x+1= 0 $ 的解为______；
② 方程 $ x^{2}-3x+2= 0 $ 的解为______；
③ 方程 $ x^{2}-4x+3= 0 $ 的解为______；
……
(2) 根据以上方程特征及其解的特征,请猜想：
① 方程 $ x^{2}-9x+8= 0 $ 的解为______；
② 关于 $ x $ 的方程______的解为 $ x_{1}= 1,x_{2}= n $.
(3) 请解出方程 $ x^{2}-9x+8= 0 $,以验证猜想结论的正确性.
(1) 解下列方程：
① 方程 $ x^{2}-2x+1= 0 $ 的解为______；
② 方程 $ x^{2}-3x+2= 0 $ 的解为______；
③ 方程 $ x^{2}-4x+3= 0 $ 的解为______；
……
(2) 根据以上方程特征及其解的特征,请猜想：
① 方程 $ x^{2}-9x+8= 0 $ 的解为______；
② 关于 $ x $ 的方程______的解为 $ x_{1}= 1,x_{2}= n $.
(3) 请解出方程 $ x^{2}-9x+8= 0 $,以验证猜想结论的正确性.
答案
①$x_{1}=1$,$x_{2}=1$；②$x_{1}=1$,$x_{2}=2$；③$x_{1}=1$,$x_{2}=3$；
@@①$x_{1}=1$,$x_{2}=8$；②$x^{2}-(1+n)x+n=0$；
@@$x_{1}=1$,$x_{2}=8$.
@@①$x_{1}=1$,$x_{2}=8$；②$x^{2}-(1+n)x+n=0$；
@@$x_{1}=1$,$x_{2}=8$.
