对点训练 4. (人教八上 P119 改编)因式分解:
(1)$15a^{3}+10a^{2}=$;(2)$1-36b^{2}=$;
(3)$1+10t+25t^{2}=$;(4)$4xy^{2}-4x^{2}y-y^{3}=$.
(1)$15a^{3}+10a^{2}=$;(2)$1-36b^{2}=$;
(3)$1+10t+25t^{2}=$;(4)$4xy^{2}-4x^{2}y-y^{3}=$.
答案
(1) $5a^{2}(3a + 2)$
(2) $(1 - 6b)(1 + 6b)$
(3) $(1 + 5t)^{2}$
(4) $-y(2x - y)^{2}$
(2) $(1 - 6b)(1 + 6b)$
(3) $(1 + 5t)^{2}$
(4) $-y(2x - y)^{2}$
5. 已知$a+b=4,ab=2$,则$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}=$
32
.答案
∵$a + b = 4$，$ab = 2$，
∴$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$
$ = ab(a^{2} + 2ab + b^{2})$
$ = ab(a + b)^{2}$
$ = 2×4^{2}$
$ = 2×16$
$ = 32$
故答案为$32$。
∴$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$
$ = ab(a^{2} + 2ab + b^{2})$
$ = ab(a + b)^{2}$
$ = 2×4^{2}$
$ = 2×16$
$ = 32$
故答案为$32$。
1. (2025 河南,13)观察$2x,4x^{2},6x^{3},8x^{4},···$,根据这些式子的变化规律,可得第n个式子为
$2nx^{n}$
.答案
$2nx^{n}$
解析
由于$2x,4x^{2},6x^{3},8x^{4},···$，
观察系数，系数是首项为$2$，公差为$2$的等差数列，所以第$n$项系数为$2n$，
观察次数，$x$的次数与项数相同，
所以第$n$个式子为$2nx^{n}$。
观察系数，系数是首项为$2$，公差为$2$的等差数列，所以第$n$项系数为$2n$，
观察次数，$x$的次数与项数相同，
所以第$n$个式子为$2nx^{n}$。
2. 按一定规律排列的单项式:$2x,-5x^{3},10x^{5},-17x^{7},···$,则第n个单项式是
$(-1)^{n+1}(n^2+1)x^{2n-1}$
.答案
$(-1)^{n+1}(n^2+1)x^{2n-1}$
解析
观察单项式符号：正负交替，用$(-1)^{n+1}$表示；系数绝对值：$2=1^2+1$，$5=2^2+1$，$10=3^2+1$，$17=4^2+1$，故系数绝对值为$n^2+1$；x的指数：1，3，5，7，为$2n-1$。综上，第n个单项式为$(-1)^{n+1}(n^2+1)x^{2n-1}$。
3. (2024 河南,7)计算$(\underbrace{a· a····· a}_{a个})^{3}$的结果是 (
A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{a+3}$
D.$a^{3a}$
D
)A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{a+3}$
D.$a^{3a}$
答案
D
解析
括号内为a个a相乘，根据乘方定义，结果为$a^a$。再将其立方，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，即$(a^a)^3 = a^{a×3} = a^{3a}$。
4. (2022 河南,4)下列运算正确的是 (
A.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
B.$(a+1)^{2}=a^{2}+1$
C.$(a^{2})^{3}=a^{5}$
D.$2a^{2}· a=2a^{3}$
D
)A.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
B.$(a+1)^{2}=a^{2}+1$
C.$(a^{2})^{3}=a^{5}$
D.$2a^{2}· a=2a^{3}$
答案
D
解析
对于选项A：根据二次根式的减法法则，同类二次根式相减，根指数不变，系数相减，$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2 - 1)\sqrt{3}=\sqrt{3}\neq2$，所以A选项错误；
对于选项B：根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2+2ab + b^2$，则$(a + 1)^2=a^2+2a + 1\neq a^2+1$，所以B选项错误；
对于选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}\neq a^{5}$，所以C选项错误；
对于选项D：根据单项式乘单项式法则，单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，$2a^{2}· a=2a^{2 + 1}=2a^{3}$，所以D选项正确。
对于选项B：根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2+2ab + b^2$，则$(a + 1)^2=a^2+2a + 1\neq a^2+1$，所以B选项错误；
对于选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}\neq a^{5}$，所以C选项错误；
对于选项D：根据单项式乘单项式法则，单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，$2a^{2}· a=2a^{2 + 1}=2a^{3}$，所以D选项正确。
5. (2021 河南,4)下列运算正确的是 (
A.$(-a)^{2}=-a$
B.$2a^{2}-a^{2}=2$
C.$a^{2}· a=a^{3}$
D.$(a-1)^{2}=a^{2}-1$
C
)A.$(-a)^{2}=-a$
B.$2a^{2}-a^{2}=2$
C.$a^{2}· a=a^{3}$
D.$(a-1)^{2}=a^{2}-1$
答案
C
解析
A. 选项运算：$(-a)^{2} = a^{2}$，不等于$-a$，故此选项错误；
B. 选项运算：$2a^{2} - a^{2} = a^{2}$，不等于$2$，故此选项错误；
C. 选项运算：$a^{2} · a = a^{2+1} = a^{3}$，运算正确；
D. 选项运算：$(a - 1)^{2} = a^{2} - 2a + 1$，不等于$a^{2} - 1$，故此选项错误。
B. 选项运算：$2a^{2} - a^{2} = a^{2}$，不等于$2$，故此选项错误；
C. 选项运算：$a^{2} · a = a^{2+1} = a^{3}$，运算正确；
D. 选项运算：$(a - 1)^{2} = a^{2} - 2a + 1$，不等于$a^{2} - 1$，故此选项错误。
6. (2025 河南,16(2))化简:$(x+1)^{2}-x(x+2)$.
答案
$1$
解析
首先，根据完全平方公式，将$(x+1)^{2}$展开得到$x^{2}+2x+1$。
然后，将$x(x+2)$展开得到$x^{2}+2x$。
接着，将两个展开后的式子相减：
$(x^{2}+2x+1)-(x^{2}+ 2x)=x^{2}+2x+1 - x^{2}-2x=1$。
然后，将$x(x+2)$展开得到$x^{2}+2x$。
接着，将两个展开后的式子相减：
$(x^{2}+2x+1)-(x^{2}+ 2x)=x^{2}+2x+1 - x^{2}-2x=1$。
7. (2025 南阳一模)计算:$(x+y)(x-y)-(4x^{3}y-8xy^{3})÷ 2xy$.
答案
$-x^{2}+3y^{2}$
解析
首先利用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$，得：$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$。
接着对$(4x^3y - 8xy^3) ÷ 2xy$进行除法运算，分别将每一项除以$2xy$：$\frac{4x^3y}{2xy} = 2x^2, \quad \frac{-8xy^3}{2xy} = -4y^2$。
因此，$(4x^3y - 8xy^3) ÷ 2xy = 2x^2 - 4y^2$。
最后将两部分相减：$x^2 - y^2 - (2x^2 - 4y^2) = x^2 - y^2 - 2x^2 + 4y^2 = -x^2 + 3y^2$。
接着对$(4x^3y - 8xy^3) ÷ 2xy$进行除法运算，分别将每一项除以$2xy$：$\frac{4x^3y}{2xy} = 2x^2, \quad \frac{-8xy^3}{2xy} = -4y^2$。
因此，$(4x^3y - 8xy^3) ÷ 2xy = 2x^2 - 4y^2$。
最后将两部分相减：$x^2 - y^2 - (2x^2 - 4y^2) = x^2 - y^2 - 2x^2 + 4y^2 = -x^2 + 3y^2$。
8. 【新考向】已知$9^{m}=3,27^{n}=4$,则$3^{2m+3n}=$ (
A.1
B.6
C.7
D.12
D
)A.1
B.6
C.7
D.12
答案
D
解析
因为$9^{m}=(3^{2})^{m}=3^{2m}=3$，$27^{n}=(3^{3})^{n}=3^{3n}=4$，所以$3^{2m + 3n}=3^{2m} × 3^{3n}=3×4=12$
9. (2025 长春改编)先化简,再求值:$(1-x)^{2}-(2x+3)(3-2x)+2x$,其中$x=\sqrt{3}$.
答案
7
解析
$\begin{aligned}&(1 - x)^2 - (2x + 3)(3 - 2x) + 2x\\=&1 - 2x + x^2 - (9 - 4x^2) + 2x\\=&1 - 2x + x^2 - 9 + 4x^2 + 2x\\=&(x^2 + 4x^2) + (-2x + 2x) + (1 - 9)\\=&5x^2 - 8\end{aligned}$
当$x = \sqrt{3}$时，$5x^2 - 8 = 5×(\sqrt{3})^2 - 8 = 5×3 - 8 = 15 - 8 = 7$
当$x = \sqrt{3}$时，$5x^2 - 8 = 5×(\sqrt{3})^2 - 8 = 5×3 - 8 = 15 - 8 = 7$
10. (2025 郑州一模)先化简,再求值:$(x+y)^{2}+x(x-2y)$,其中$x=1,y=-2$.
答案
6
解析
$(x+y)^{2}+x(x-2y)$
$=x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-2xy$
$=2x^{2}+y^{2}$
当$x=1,y=-2$时，原式$=2×1^{2}+(-2)^{2}=2+4=6$
$=x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-2xy$
$=2x^{2}+y^{2}$
当$x=1,y=-2$时，原式$=2×1^{2}+(-2)^{2}=2+4=6$
11. (2025 三门峡二模)先化简,再求值:$x^{2}-2y^{2}-(-3xy+x^{2})-3(-y^{2}+\frac{1}{2}xy)$,其中$(x-1)^{2}+\vert y+2\vert=0$.
答案
1
解析
首先对原式进行化简：
$x^{2}-2y^{2}-(-3xy + x^{2})-3(-y^{2}+\frac{1}{2}xy)$
$=x^{2}-2y^{2}+3xy - x^{2}+3y^{2}-\frac{3}{2}xy$
$=(x^{2}-x^{2})+(3y^{2}-2y^{2})+(3xy-\frac{3}{2}xy)$
$=y^{2}+\frac{3}{2}xy$
因为$(x - 1)^{2}+\vert y + 2\vert=0$，一个数的平方非负，一个数的绝对值非负，要使两者之和为$0$，则：
$\begin{cases}(x - 1)^{2}=0\\ \vert y + 2\vert=0\end{cases}$
即$\begin{cases}x - 1=0\\y + 2=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 1\\y=-2\end{cases}$
把$x = 1$，$y = - 2$代入$y^{2}+\frac{3}{2}xy$得：
$(-2)^{2}+\frac{3}{2}×1×(-2)$
$=4-3$
$=1$
$x^{2}-2y^{2}-(-3xy + x^{2})-3(-y^{2}+\frac{1}{2}xy)$
$=x^{2}-2y^{2}+3xy - x^{2}+3y^{2}-\frac{3}{2}xy$
$=(x^{2}-x^{2})+(3y^{2}-2y^{2})+(3xy-\frac{3}{2}xy)$
$=y^{2}+\frac{3}{2}xy$
因为$(x - 1)^{2}+\vert y + 2\vert=0$，一个数的平方非负，一个数的绝对值非负，要使两者之和为$0$，则：
$\begin{cases}(x - 1)^{2}=0\\ \vert y + 2\vert=0\end{cases}$
即$\begin{cases}x - 1=0\\y + 2=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 1\\y=-2\end{cases}$
把$x = 1$，$y = - 2$代入$y^{2}+\frac{3}{2}xy$得：
$(-2)^{2}+\frac{3}{2}×1×(-2)$
$=4-3$
$=1$
