2. (2025 上海改编) 在 $ □ ABCD $ 中，$ E $ 是 $ BC $ 中点，$ F $ 是边 $ CD $ 上一点。
- (1) 如图1，若 $ AE = EF $，求证：$ \angle BAE = \angle EFC $；
- (2) 如图2，若 $ CF = DF $，连接 $ BF $ 交 $ AE $ 于 $ G $，求 $ \frac{S_{\triangle BEG}}{S_{\triangle AEF}} $ 的值。
- (1) 如图1，若 $ AE = EF $，求证：$ \angle BAE = \angle EFC $；
- (2) 如图2，若 $ CF = DF $，连接 $ BF $ 交 $ AE $ 于 $ G $，求 $ \frac{S_{\triangle BEG}}{S_{\triangle AEF}} $ 的值。
答案
(1)证明见解析；(2)2/15
解析
(1)延长AE至H，使EH=AE，连CH。∵E为BC中点，∴BE=CE。在△ABE和△HCE中，AE=HE，∠AEB=∠HEC，BE=CE，∴△ABE≌△HCE(SAS)。∴∠BAE=∠H，AB=CH。∵□ABCD中AB=CD，∴CH=CD，故H、C、D共线。∵AE=EF，∴EH=EF，∴∠H=∠EFC。∴∠BAE=∠EFC。
(2)设B(0,0)，C(2a,0)，E(a,0)，A(p,q)，则D(p+2a,q)，F(p/2+2a,q/2)。AE方程：y=q(x-a)/(p-a)，BF方程：y=qx/(p+4a)。联立得G((p+4a)/5,q/5)。S△BEG=1/2·a·q/5=aq/10，S△AEF=1/2|p(0-q/2)+a(q/2-q)+(p/2+2a)(q-0)|=3aq/4。∴S△BEG/S△AEF=2/15。
(2)设B(0,0)，C(2a,0)，E(a,0)，A(p,q)，则D(p+2a,q)，F(p/2+2a,q/2)。AE方程：y=q(x-a)/(p-a)，BF方程：y=qx/(p+4a)。联立得G((p+4a)/5,q/5)。S△BEG=1/2·a·q/5=aq/10，S△AEF=1/2|p(0-q/2)+a(q/2-q)+(p/2+2a)(q-0)|=3aq/4。∴S△BEG/S△AEF=2/15。
3. 如图，点 $ C $ 是线段 $ BD $ 上一点，$ \angle ABC = \angle ACE = \angle CDE = \alpha $。
- (1) 如图1，若 $ \alpha = 90° $，求证：$ \triangle ABC \sim \triangle CDE $。
- (2) 如图2，若 $ \alpha \neq 90° $，(1) 中的结论是否仍然成立？请说明理由。
- (1) 如图1，若 $ \alpha = 90° $，求证：$ \triangle ABC \sim \triangle CDE $。
- (2) 如图2，若 $ \alpha \neq 90° $，(1) 中的结论是否仍然成立？请说明理由。
答案
(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析。
解析
(1)∵∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，点C在BD上，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，∴∠ACB+∠ECD=90°。在△ABC中，∠ABC=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠ACB。在△CDE中，∠CDE=90°，∴∠ECD+∠CED=90°，∴∠ECD=90°-∠ACB，∴∠BAC=∠ECD。又∵∠ABC=∠CDE=90°，∴△ABC∽△CDE。
(2)结论仍然成立。理由：∵∠ABC=∠ACE=∠CDE=α，点C在BD上，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，∴∠ACB+∠ECD=180°-α。在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-∠ACB。在△CDE中，∠CED=180°-∠CDE-∠ECD=180°-α-∠ECD。∵∠ACB+∠ECD=180°-α，∴∠ECD=180°-α-∠ACB，∴∠BAC=∠ECD。又∵∠ABC=∠CDE=α，∴△ABC∽△CDE。
(2)结论仍然成立。理由：∵∠ABC=∠ACE=∠CDE=α，点C在BD上，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，∴∠ACB+∠ECD=180°-α。在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-∠ACB。在△CDE中，∠CED=180°-∠CDE-∠ECD=180°-α-∠ECD。∵∠ACB+∠ECD=180°-α，∴∠ECD=180°-α-∠ACB，∴∠BAC=∠ECD。又∵∠ABC=∠CDE=α，∴△ABC∽△CDE。
