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1.「2026四川眉山期末」从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
1.B 画树状图如下：
共有12种等可能的结果,其中被抽到的2名同学都是男生的结果有6种,
∴ 被抽到的2名同学都是男生的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.故选B.
解析
【分析】
本题是典型的等可能事件概率计算问题，解题思路如下：首先明确抽取规则是从4名同学中不放回抽取2名，所有抽取结果的可能性相等；其次我们可以通过画树状图的方法列举出所有抽取结果：第一步先列第一次抽取的4种可能（甲、乙、丙、丁），第二步对应每一种第一次抽取的结果，列第二次抽取剩余3人的所有可能，得到总等可能结果数；再从中筛选出“2名都是男生”的结果（即抽取的两人都属于乙、丙、丁三名男生），最后代入概率公式“P=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中被抽到的2名同学都是男生的结果有6种，
根据概率公式可得，被抽到的2名同学都是男生的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
树状图列举法；概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，重点考查用列举法求概率的能力，解题的核心是准确列举所有等可能的结果，列举时要做到不重不漏，再筛选出符合条件的结果代入公式求解，掌握树状图的画法和概率公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是典型的等可能事件概率计算问题，解题思路如下：首先明确抽取规则是从4名同学中不放回抽取2名，所有抽取结果的可能性相等；其次我们可以通过画树状图的方法列举出所有抽取结果：第一步先列第一次抽取的4种可能（甲、乙、丙、丁），第二步对应每一种第一次抽取的结果，列第二次抽取剩余3人的所有可能，得到总等可能结果数；再从中筛选出“2名都是男生”的结果（即抽取的两人都属于乙、丙、丁三名男生），最后代入概率公式“P=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中被抽到的2名同学都是男生的结果有6种，
根据概率公式可得，被抽到的2名同学都是男生的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
树状图列举法；概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，重点考查用列举法求概率的能力，解题的核心是准确列举所有等可能的结果，列举时要做到不重不漏，再筛选出符合条件的结果代入公式求解，掌握树状图的画法和概率公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2.「2025福建中考」在分别写有-1,1,2的三张卡片中,不放回地随机抽取两张,这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是 (
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.B 画树状图如下：
共有6种等可能的结果,其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种,
∴ 这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.故选B.
解析
【分析】
要解决这个概率问题，我们可按以下思路思考：本题是不放回的随机抽取试验，所有抽取结果都是等可能的，适用古典概型的概率计算方法。第一步，用树状图或列表法列举出所有抽取两张卡片的等可能结果，注意不放回意味着第一次抽到的卡片不会出现在第二次的抽取选项中；第二步，根据相反数的定义，找出两张卡片数字互为相反数的符合条件的结果；第三步，用符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
我们通过画树状图分析所有可能的抽取结果：
画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片数字互为相反数})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
树状图求概率，相反数的定义，古典概型计算
【点评】
本题属于概率计算的基础常规题，主要考查对不放回试验的理解以及用树状图列举所有等可能结果的能力，解题时注意区分放回与不放回试验的差异，避免漏计或多计结果，掌握列举法求概率的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要解决这个概率问题，我们可按以下思路思考：本题是不放回的随机抽取试验，所有抽取结果都是等可能的，适用古典概型的概率计算方法。第一步，用树状图或列表法列举出所有抽取两张卡片的等可能结果，注意不放回意味着第一次抽到的卡片不会出现在第二次的抽取选项中；第二步，根据相反数的定义，找出两张卡片数字互为相反数的符合条件的结果；第三步，用符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
我们通过画树状图分析所有可能的抽取结果：
画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片数字互为相反数})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
树状图求概率，相反数的定义，古典概型计算
【点评】
本题属于概率计算的基础常规题，主要考查对不放回试验的理解以及用树状图列举所有等可能结果的能力，解题时注意区分放回与不放回试验的差异，避免漏计或多计结果，掌握列举法求概率的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
3.「2025山东济南中考」某学校食堂准备了A,B,C,D四种营养套餐,如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐,则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是 (
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
3.A 画树状图如下：
由树状图可知一共有16种等可能的结果,其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种,
∴ 选到同一种营养套餐的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.故选A.
解析
【分析】
本题考查两步等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确该事件分为两个步骤：第一步小明选套餐，有4种等可能的选择；第二步小亮选套餐，同样有4种等可能的选择。我们可以通过画树状图的方式不重不漏地列举出所有等可能结果，再从中筛选出两人选择同一种套餐的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
画树状图如下：
由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选到同一种营养套餐的结果有4种（即都选A、都选B、都选C、都选D），
∴ 他们恰好选到同一种营养套餐的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】A
【知识点】
树状图求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础常规题型，重点考查树状图列举法的应用，解题关键是准确列举所有等可能结果、找准符合条件的结果数，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
本题考查两步等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确该事件分为两个步骤：第一步小明选套餐，有4种等可能的选择；第二步小亮选套餐，同样有4种等可能的选择。我们可以通过画树状图的方式不重不漏地列举出所有等可能结果，再从中筛选出两人选择同一种套餐的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
画树状图如下：
由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选到同一种营养套餐的结果有4种（即都选A、都选B、都选C、都选D），
∴ 他们恰好选到同一种营养套餐的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】A
【知识点】
树状图求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础常规题型，重点考查树状图列举法的应用，解题关键是准确列举所有等可能结果、找准符合条件的结果数，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
4. 情境现实生活
社会发展「2026 河南省实验中学期中」2025 年国产AI大模型的爆火,引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同学从 A,B,C,D 四种应用软件中随机选取两种进行学习,则小庆同学选取的两种软件为 A,B 的概率为
社会发展「2026 河南省实验中学期中」2025 年国产AI大模型的爆火,引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同学从 A,B,C,D 四种应用软件中随机选取两种进行学习,则小庆同学选取的两种软件为 A,B 的概率为
$\frac{1}{6}$
.答案
4.答案 $\frac{1}{6}$
解析 根据题意列出表格如下：
| 第一种\第二种 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知,共有12种等可能的结果,其中恰好选中A和B的有2种,
∴ 小庆同学恰好选中A和B的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析 根据题意列出表格如下：
| 第一种\第二种 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知,共有12种等可能的结果,其中恰好选中A和B的有2种,
∴ 小庆同学恰好选中A和B的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路为：首先明确试验是从4种软件中不放回随机选取2种，属于两步试验，可通过列表法不重不漏列举出所有等可能的结果，再统计出“选取的两种软件为A、B”的结果数，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的选取结果，由于选取的两种软件不能重复，列表如下：
| 第一种\第二种 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选取的两种软件为A、B的结果有(A,B)、(B,A)，共2种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率、古典概型、概率公式
【点评】
本题结合AI大模型的热点情境考查概率基础计算，解题核心是通过列表法准确列举所有等可能结果，避免出现重复或遗漏的情况。
【难度系数】
0.8
本题考查古典概型的概率计算，解题思路为：首先明确试验是从4种软件中不放回随机选取2种，属于两步试验，可通过列表法不重不漏列举出所有等可能的结果，再统计出“选取的两种软件为A、B”的结果数，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的选取结果，由于选取的两种软件不能重复，列表如下：
| 第一种\第二种 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选取的两种软件为A、B的结果有(A,B)、(B,A)，共2种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率、古典概型、概率公式
【点评】
本题结合AI大模型的热点情境考查概率基础计算，解题核心是通过列表法准确列举所有等可能结果，避免出现重复或遗漏的情况。
【难度系数】
0.8
5.聚焦中考 跨学科主题学习「2026河南平顶山叶县期中」老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中(如图)，甲口袋中装有A,B两张卡片，乙口袋中装有C,D,E三张卡片。小明从两个口袋中分别随机取出1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率.(注:没有生成其他物质的变化叫作物理变化;生成其他物质的变化叫作化学变化) 
答案
5.解析 易知A(衣服晾干)和C(冰化成水)是物理变化,其余的是化学变化,
列表如下：
| 甲\乙 | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
由表格知,共有6种等可能的结果,其中抽出的两张卡片均是物理变化的结果有1种,为(A,C),
所以$P$(抽出的两张卡片均是物理变化)$=\frac{1}{6}$.
列表如下：
| 甲\乙 | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
由表格知,共有6种等可能的结果,其中抽出的两张卡片均是物理变化的结果有1种,为(A,C),
所以$P$(抽出的两张卡片均是物理变化)$=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
首先需根据物理变化和化学变化的定义判断5种现象所属的变化类型：无新物质生成的是物理变化，有新物质生成的是化学变化，先筛选出属于物理变化的卡片。本次抽取是从两个口袋各取1张的两步随机试验，我们可以用列表法列出所有等可能的抽取结果，再统计出两张卡片均为物理变化的结果数，最后根据概率公式计算对应概率即可。
【解析】
首先根据变化的定义判断：衣服晾干（A）是水的蒸发过程，无新物质生成，属于物理变化；牛奶变质（B）有新物质生成，属于化学变化；冰化成水（C）是物质状态的改变，无新物质生成，属于物理变化；铁棒生锈（D）、酒精燃烧（E）均有新物质生成，属于化学变化，即物理变化的卡片为A、C，其余为化学变化。
从甲、乙两个口袋中各随机抽取1张卡片，列表如下：
| 甲\乙 | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是物理变化的结果只有1种，为(A,C)。
根据概率公式可得：$P$(抽出的两张卡片均是物理变化)$=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 物理变化与化学变化的区分
2. 列表法求概率
【点评】
本题是跨学科融合的基础题，将化学中物质变化的判别和概率计算相结合，既考查了基础概念的掌握情况，也考查了用列表法求解概率的基本技能，只要能正确区分两种变化，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
首先需根据物理变化和化学变化的定义判断5种现象所属的变化类型：无新物质生成的是物理变化，有新物质生成的是化学变化，先筛选出属于物理变化的卡片。本次抽取是从两个口袋各取1张的两步随机试验，我们可以用列表法列出所有等可能的抽取结果，再统计出两张卡片均为物理变化的结果数，最后根据概率公式计算对应概率即可。
【解析】
首先根据变化的定义判断：衣服晾干（A）是水的蒸发过程，无新物质生成，属于物理变化；牛奶变质（B）有新物质生成，属于化学变化；冰化成水（C）是物质状态的改变，无新物质生成，属于物理变化；铁棒生锈（D）、酒精燃烧（E）均有新物质生成，属于化学变化，即物理变化的卡片为A、C，其余为化学变化。
从甲、乙两个口袋中各随机抽取1张卡片，列表如下：
| 甲\乙 | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是物理变化的结果只有1种，为(A,C)。
根据概率公式可得：$P$(抽出的两张卡片均是物理变化)$=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 物理变化与化学变化的区分
2. 列表法求概率
【点评】
本题是跨学科融合的基础题，将化学中物质变化的判别和概率计算相结合，既考查了基础概念的掌握情况，也考查了用列表法求解概率的基本技能，只要能正确区分两种变化，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
6. 聚焦 中考 跨学科主题学习 「2025山东滨州中考，★☆」在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等。如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是
$\frac{1}{4}$
。答案
6.答案 $\frac{1}{4}$
解析 画树状图如下：
共有4种等可能的结果,A,B之间电流能够正常通过的结果有1种,
∴ A,B之间电流能够正常通过的概率为$\frac{1}{4}$,
故答案为$\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
首先判断电路连接方式：元件1和元件2为串联，因此A到B电流正常通过的前提是两个元件同时处于通电状态。已知每个元件通电、断电的可能性相等，我们可以通过树状图列举两个元件的所有状态组合，统计符合通路条件的组合数，再利用等可能事件的概率公式计算概率即可。
【解析】
由于元件1与元件2串联，A、B之间电流能正常通过的条件为：元件1和元件2均通电。
每个元件有通电、断电2种等可能的状态，画树状图分析所有结果：
由树状图可得，总共有4种等可能的结果，其中满足A、B之间电流正常通过的结果只有1种。
根据等可能事件概率公式，所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
串联电路特点，树状图求概率，概率公式
【点评】
本题属于跨学科融合题，结合了物理电路知识与数学概率计算，解题的核心是先明确串联电路的通路要求，再用树状图列举所有等可能情况求解，考查学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先判断电路连接方式：元件1和元件2为串联，因此A到B电流正常通过的前提是两个元件同时处于通电状态。已知每个元件通电、断电的可能性相等，我们可以通过树状图列举两个元件的所有状态组合，统计符合通路条件的组合数，再利用等可能事件的概率公式计算概率即可。
【解析】
由于元件1与元件2串联，A、B之间电流能正常通过的条件为：元件1和元件2均通电。
每个元件有通电、断电2种等可能的状态，画树状图分析所有结果：
由树状图可得，总共有4种等可能的结果，其中满足A、B之间电流正常通过的结果只有1种。
根据等可能事件概率公式，所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
串联电路特点，树状图求概率，概率公式
【点评】
本题属于跨学科融合题，结合了物理电路知识与数学概率计算，解题的核心是先明确串联电路的通路要求，再用树状图列举所有等可能情况求解，考查学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7.「2025四川成都中考，★☆」从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值，则关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$有实数根的概率为
$\frac{1}{2}$
。答案
7.答案 $\frac{1}{2}$
解析 画树状图如图：
共有6种等可能的结果,当一元二次方程有实数根时,$b^2-4a\ge0$,
∴ 能使该一元二次方程有实数根的有3种,
∴ 关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,故答案为$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题是概率与一元二次方程根的判别式结合的综合题，解题可分三步思考：第一步，明确“从三个数中任取两个分别作为a、b”属于有序取数，所有结果等可能，可通过树状图枚举所有(a,b)组合，得到总结果数；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：一是二次项系数a≠0（本题a的候选值均不为0，可直接满足），二是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，本题中c=1，即需满足$b^2≥4a$；第三步，统计满足判别式条件的结果数，根据概率公式计算最终概率即可。
【解析】
解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，分别为：$\begin{cases} a=-1,b=1 \\a=-1,b=2 \\a=1,b=-1 \\a=1,b=2 \\a=2,b=-1 \\a=2,b=1 \end{cases}$
关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根，需满足判别式$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$，逐个验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×(-1)=5≥0$，符合要求；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×(-1)=8≥0$，符合要求；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×1=-3＜0$，不符合要求；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×1=0≥0$，符合要求；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×2=-7＜0$，不符合要求；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×2=-7＜0$，不符合要求。
综上，符合条件的结果共有3种，因此该方程有实数根的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
树状图求概率；一元二次方程根的判别式；概率公式
【点评】
本题将概率计算和一元二次方程的性质结合考查，难度适中，解题的关键是准确枚举所有等可能的取值情况，同时牢记一元二次方程有实根的判别式条件，计算时注意不要忽略取值的顺序性，避免统计结果数出错。
【难度系数】
0.7
本题是概率与一元二次方程根的判别式结合的综合题，解题可分三步思考：第一步，明确“从三个数中任取两个分别作为a、b”属于有序取数，所有结果等可能，可通过树状图枚举所有(a,b)组合，得到总结果数；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：一是二次项系数a≠0（本题a的候选值均不为0，可直接满足），二是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，本题中c=1，即需满足$b^2≥4a$；第三步，统计满足判别式条件的结果数，根据概率公式计算最终概率即可。
【解析】
解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，分别为：$\begin{cases} a=-1,b=1 \\a=-1,b=2 \\a=1,b=-1 \\a=1,b=2 \\a=2,b=-1 \\a=2,b=1 \end{cases}$
关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根，需满足判别式$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$，逐个验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×(-1)=5≥0$，符合要求；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×(-1)=8≥0$，符合要求；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×1=-3＜0$，不符合要求；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×1=0≥0$，符合要求；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×2=-7＜0$，不符合要求；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×2=-7＜0$，不符合要求。
综上，符合条件的结果共有3种，因此该方程有实数根的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
树状图求概率；一元二次方程根的判别式；概率公式
【点评】
本题将概率计算和一元二次方程的性质结合考查，难度适中，解题的关键是准确枚举所有等可能的取值情况，同时牢记一元二次方程有实根的判别式条件，计算时注意不要忽略取值的顺序性，避免统计结果数出错。
【难度系数】
0.7
8.「2025安徽中考，★☆」在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的物品后，天平倾斜（如图所示）。现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
8.答案 $\frac{1}{3}$
解析 20 g+50 g=70 g,10 g+40 g=20 g+30 g=50 g,
把质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品分别记为1,2,3,4,
画树状图如下：
共有12种等可能的结果,其中天平恢复平衡的结果有4种,
∴ 天平恢复平衡的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,故答案为$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
首先明确天平恢复平衡的条件：左盘总质量等于右盘总质量。先计算左盘需要添加的总质量：右盘现有70g，左盘现有20g，因此左盘需要添加的两件物品总质量为$70\mathrm{g}-20\mathrm{g}=50\mathrm{g}$。接下来计算从4件物品中随机选2件、总质量为50g的概率：用树状图枚举所有等可能的选取结果，再统计符合总质量为50g的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
要使天平恢复平衡，左盘添加的两件物品总质量应为$70\mathrm{g}-20\mathrm{g}=50\mathrm{g}$，符合总质量为50g的组合有：$10\mathrm{g}+40\mathrm{g}=50\mathrm{g}$，$20\mathrm{g}+30\mathrm{g}=50\mathrm{g}$。
把质量为10g、20g、30g、40g的四件物品分别记为1、2、3、4，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中选取的两件物品总质量为50g（即天平恢复平衡）的结果有4种，
因此天平恢复平衡的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率计算 2. 树状图法求概率 3. 等量关系应用
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查概率求解，解题时需先根据题意确定符合要求的物品组合，再准确枚举所有等可能的选取结果，注意选取两件物品为不放回抽取，避免重复或漏算结果，属于基础的概率应用题型。
【难度系数】
0.7
首先明确天平恢复平衡的条件：左盘总质量等于右盘总质量。先计算左盘需要添加的总质量：右盘现有70g，左盘现有20g，因此左盘需要添加的两件物品总质量为$70\mathrm{g}-20\mathrm{g}=50\mathrm{g}$。接下来计算从4件物品中随机选2件、总质量为50g的概率：用树状图枚举所有等可能的选取结果，再统计符合总质量为50g的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
要使天平恢复平衡，左盘添加的两件物品总质量应为$70\mathrm{g}-20\mathrm{g}=50\mathrm{g}$，符合总质量为50g的组合有：$10\mathrm{g}+40\mathrm{g}=50\mathrm{g}$，$20\mathrm{g}+30\mathrm{g}=50\mathrm{g}$。
把质量为10g、20g、30g、40g的四件物品分别记为1、2、3、4，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中选取的两件物品总质量为50g（即天平恢复平衡）的结果有4种，
因此天平恢复平衡的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率计算 2. 树状图法求概率 3. 等量关系应用
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查概率求解，解题时需先根据题意确定符合要求的物品组合，再准确枚举所有等可能的选取结果，注意选取两件物品为不放回抽取，避免重复或漏算结果，属于基础的概率应用题型。
【难度系数】
0.7
