6. 在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A(-1,2)$，$B(2,3)$，函数$y=ax^2$的图象如图所示，则$a$的值可以为 （）

A.0.7
B.0.9
C.2
D.2.1

6.B

7.(2025·宿豫区期末)如图,正方形ABCD的边AD在x轴上,顶点B,C在二次函数的图象上,直线AC对应的函数表达式为$y=-x-2$,则这个二次函数图象对应的函数表达式为 ()

A.$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
B.$y=-x^2$
C.$y=-2x^2$
D.$y=-4x^2$

7.B

8.已知二次函数$y=202x^2$的图象经过原点，在第象限与第象限内，其图象上有两个不同点$P(t_1,\dfrac{1}{4}),Q(t_2,\dfrac{1}{4})$，则$t_1+t_2=$。

8.一 二 0

9. 已知二次函数$y=x^2$，当$-1≤ x≤ 2$时，函数值$y$的取值范围是。

9.$0≤y≤4$

10.(2025·闵行区期末)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点A,B在抛物线$y=x^2$上,点C在y轴上,A,B两点的横坐标分别为1和$b(b＞1)$,b的值为。

10.2

11.(2025·苏州期末)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥,当水面AB宽6 m时,水面距桥孔顶部3 m.因降暴雨水位上升了1 m到达CD位置.建立平面直角坐标系,如图①所示.(1)求此时水面CD的宽度;(结果保留根号)(2)一艘装满物资的小船,露出水面的高为0.5 m,宽为4 m(横断面如图②所示).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.

11.解:(1)设函数解析式为$y=ax^2$，
由题意,得A(3,-3),B(-3,-3)，
把点B的坐标代入,得9a=-3，
解得$a=-\dfrac{1}{3}$,$\therefore y=-\dfrac{1}{3}x^2$.
当y=-2时,$-\dfrac{1}{3}x^2=-2$,解得$x=±\sqrt{6}$.
$\therefore C(\sqrt{6},-2),D(-\sqrt{6},-2),\therefore CD=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$.
答:此时水面CD的宽度为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$.
(2)能.理由:当x=2时,$y=-\dfrac{1}{3}×2^2=-\dfrac{4}{3}$,
$\because -\dfrac{4}{3}-(-2)=\dfrac{2}{3}＞0.5$,
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.

12.已知O为坐标原点，某函数的图象是一条以y轴为对称轴，原点为顶点的抛物线，且经过点A(-2,2)。
(1)求这个函数的解析式。
(2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算出△AOB的面积。
(3)在抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△AOB的面积的一半？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由。
易错知识点:二次函数$y=ax^2$的图象和性质
易错考法:求点的坐标或字母的取值范围

12.解:(1)设这个函数的解析式为$y=ax^2$.
∵函数图象经过点A(-2,2)，
∴4a=2,解得$a=\dfrac{1}{2}$，
∴这个函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x^2$.
(2)
∵点A(-2,2)，
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为(2,2).
∵A(-2,2),B(2,2)，
∴AB=2-(-2)=2+2=4，
∴$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}×4×2=4$.
(3)存在.设点C到AB的距离为h，
则$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}·AB·h=\dfrac{1}{2}×4h=2h$.
∵△ABC的面积等于△AOB的面积的一半，
∴$2h=\dfrac{1}{2}×4$,解得h=1.
①当点C在AB下方时,点C的纵坐标为2-1=1，
此时$\dfrac{1}{2}x^2=1$,解得$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$，
∴点C的坐标为$(\sqrt{2},1)$或$(-\sqrt{2},1)$.
②当点C在AB上方时,点C的纵坐标为2+1=3，
此时$\dfrac{1}{2}x^2=3$,解得$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$，
∴点C的坐标为$(\sqrt{6},3)$或$(-\sqrt{6},3)$.
综上所述,点C的坐标为$(\sqrt{2},1)$或$(-\sqrt{2},1)$或$(\sqrt{6},3)$或$(-\sqrt{6},3)$.